中学数学基本能力培养.ppt

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1、,第9章中学数学基本能力的培养,第9章中学数学基本能力的培养,掌握数学基本知识和培养学生的数学能力是中学数学教学大纲中规定的中学数学教学的目的之一。它能促进学生认知结构的完善和发展。 数学知识、技能和能力三者是紧密联系在一起的整体，它们是相辅相成、互相依存、互相促进的。能力是在知识的学习和技能的训练过程中通过有意识地培养而发展的。与此同时，能力的提高又会促进知识的深刻理解和技能的掌握,91 运算能力的培养,一、什么是运算能力? 所谓运算是在运算律指导下对具体式子变形的演绎过程，它主要包括数值运算、变换，对各种代数式或方程作等价或不等价变形的代数运算、命题演算等。 运算能力是正确运用各种运算规律

2、合乎逻辑地进行各种数学运算的能力，其事实上是逻辑思维能力和运算技能的结合。这里的运算能力主要指会根据法则、公式正确地进行运算、处理数据，并理解算理，据问题条件寻求与设计合理、简捷的运算途径。,运算能力具有综合性和层次性的特点。 综合性是指运算能力不可能独立地存在和发展，而是与记忆、理解、表达、空间想象等能力互相渗透、互相支持。 学生不熟记各种数据和公式，就无法正确、迅速地进行各种运算。若对数学概念或基础知识的理解不透彻，运算时就会带有盲目性。学生不善于推理，就无法选取合理的运算方法，甚至对显然不合理的运算结果也觉察不出。运算能力的综合性特点说明运算能力的培养决不能离开其它能力的培养而孤立地进行

3、。,sinx+cosx=tanx+cotx,例1：把一块木板锯成两块，第一块的长度是整块的三分之二，但比第二块短四英尺，问木板在锯开前的长度是多少？ 例2：牛羊船长年龄问题,运算能力的层次性是指运算能力的发展总是从简单到复杂，从低级到高级、从具体到抽象、有层次地发展起来。从直接运用单一知识运算，公式逆用到运用两个以上的数学知识进行简单多步运算，以及运用概念、公式、性质、法则的各种变形进行综合运算。,运算能力是否只在代数学习中培养?,二、如何进行数学运算能力的培养呢？,1加强数学基础知识的教学 数学中的概念、性质、法则、公式等是进行运算的依据，若对这些基础知识理解得清楚、深刻，则在运算时就能思路

4、敏捷、迅速正确，否则便会陷入一种盲目迟钝的状态。 学好有关运算的基础知识是培养学生运算能力的根本。当前教学中不少教师只注重算法和运算结果，很少注意算理和运算过程。,数学运算也是一种推理，是一种根据运算定义、性质从已知数据及算式推导结果的推理，因此要引导学生在算理的指导下完成算法。,2加强基本技能的训练 能力总是存在于人的具体活动之中，离开具体活动就无所谓能力，因此要培养学生的运算能力，就必须加强基本技能的训练。 基本技能包括心算、速算等的训练，它们是提高运算能力的有效途径之一，可节省时间和精力达到迅速运算的目的。 如十位数相同，个位数之和为10的两位数的乘积规律。用乘法公式简化数值计算，用分母

5、有理化方法求根式的值，用韦达定理求解一元二次方程，利用1的变形求值等。,为了提高运算的速度和准确性，还应要求学生熟记一些常用值：120的平方，勾股数，e的近似值，特殊三角函数值、正三角形的高、面积、外接圆、内切圆半径与边长的关系。 其次加强运算练习，讲究训练层次，由模仿练习到变式练习，由单一训练到综合训练。,3掌握运算的通法通则 尽管数学运算种类繁多，运算方法因人而异，但有些方法、法则具有共同性。运算程序先高级后低级，四则运算要求先乘除、后加减，先内层、后外层，先局部后整体，先化简后代值。掌握运算的基本思路。,4提高运算的简捷性和验算能力(元认知能力) 运算的简捷性是提高运算能力的核心。一般的

6、运算大多数有一定的模式可循，但由于所选择的基础知识、基本技能的不同，往往繁简各异，因此要使学生会做并不困难，困难的是使学生达到灵活、简捷。(例题),已知:,92 思维能力的培养,一、逻辑思维能力的培养 逻辑思维能力包含的基本内容有：能正确理解和运用各种逻辑方法和推证方法，思维过程目的明确、条理清楚，善于将知识系统化、结构化。 逻辑思维能力具有层次性(由填充理由，了解推理格式到掌握简单证法，过渡为进行复杂的推理和表述)。培养逻辑思维能力要求在思考问题、解决问题时能够正确使用概念、恰当地判断，合乎逻辑地进行分析和综合、抽象概括和推理论证。培养学生的逻辑思维能力，可考虑以下做法。,1培养学生正确运用

7、逻辑思维形式的能力 基础知识是逻辑思维能力形成的基础，是构成判断、推理的要素。概念、 判断、推理是人们认识客观事物的基本思维形式。因此培养学生的逻辑思维能力，首先要培养学生准确地使用概念，恰当地判断和合乎逻辑地进行推理的能力。,概念的思维训练中体现具体-抽象-具体，利用反例强化概念。判断是把概念之间以一定方式连结起来，是对事物有所断定的思维形式。推理是从已知判断推出新的判断的思维形式。 在教学中注重分析，讲清思路和推理格式。如三垂线定理的证明，不等式证明的基本思路。（what? how? why?),2指导学生严格遵守思维规律，养成严谨思维的习惯。 严格遵守思维规律，推理严谨、言必有据，这是逻

8、辑思维的核心问题。 首先在教学中重视逻辑初步知识的教学，诸如形式逻辑的基本规律，命题的四种关系、充分条件、必要条件等。,教师做出示范，通过反例剖析、纠正逻辑性错误。不允许偷换论题，否则违反同一律。不允许假造论据，否则违犯充足理由律，不允许判断自相矛盾，否则违反矛盾律，不允许模棱两可，否则违犯排中律，不允许循环论证，不允许用特例验证来代替一般性证明。 (三角形内角和的代数证明.一组对边和一组对角) 学生犯错误不可怕，可怕的是教师错误地对待学生的错误。”,3重视知识获取过程的教学 数学教学实质上是数学思维活动过程的教学。教师讲课的重点是知识的发生过程，讲解问题解决的思维过程，揭示问题解决的思想和方

9、法。(等比数列) 如何从实际事物中发现和抽象出数学问题，怎样对实际事物或已有知识进行分析、综合、抽象、概括，如何综合和选取已有的数学知识的发生过程，问题解决的思维过程和思想方法。,适当揭示前人在抽象数学概念和寻找数学定理、公式时艰苦的思维过程，开始如何考虑，思维受阻后又如何进行思考，从失败中获得成功。有利于学生从中吸取经验和发展逻辑思维能力。 培养逻辑思维能力的过程也是逐步形成运用数学知识来分析和解决问题的能力的过程。( 稚化思路,避免过早说破),你有5瓶药。每粒药丸重10克，只有一瓶药受到了污染，药丸的重量发生了变化，。每粒药丸重9克，你怎样一次就测出哪瓶药是遭到污染的呢？,1、给每个瓶子标

10、上1，2，3，4，5 2、1号瓶中取1个药丸，2号瓶中取2个药丸，3号瓶中取3个药丸，4号瓶中取4个药丸，5号瓶中取5个药丸。 3、称出这些药丸的重量 4、用1*10+2*10+3*10+4*10+5*10-称出的重量； 5、结果就是受污染的药丸的瓶子号码。,二、创造性思维能力的培养 创造性思维是人类高级的思维活动，是指人们对事物间的联系进行前所未有的思考，并产生创见的思维。即通过思维不仅能揭示客观事物的本质和规律，而且在此基础上可以产生新颖、独特的想法，至少是思维者头脑中以前不存在的东西。 如发现新解法，发现定理证明的新方法，对问题进行推广等均可看作是数学创造性思维的表现。,创造性思维能力是

11、组织和改造先前已获得的知识，使之适合当前有关的问题，从而解决问题的思想活动能力。其主要特征是新颖性、独创性、突破性、真理性和价值性，并以此作为检验思维成果的标准。,培养学生的创造性思维能力可从以下几方面入手： 1运用开放式、启发式、多类型的教学思想和方法，充分揭示数学思维过程。 数学创造性思维不仅存在于数学家的创造活动中，也存在于学生的学习活动中。学生学习的知识虽然是前人创造性思维的结果，但学生的学习是人类发现基础上的再发现。,学生的思维活动中，也常常产生对他们来说是新鲜、开创的因素，只要有新思想、新观念，新的设计和方法，对学生来说即为创造。 因此首先在教学中应变注入式为启发式，封闭式为开放式

12、、发现式。适度运用潜科学教学法，充分揭示数学思维过程，使学生开阔眼界，促使想象的展开与直觉顿悟的产生，为学生创造性思维的产生形成良好的氛围。,2加强发散思维能力的培养，注重变式方法在教学中的运用。 由于发散思维不局限于固定模式，因此可使学生克服静止孤立思考问题的习惯，训练学生对问题从不同角度，用不同方法进行思维想象。(例子) 在此变式指：一题多变(条件、结论变更、推广、引申）；一题多问，即对结论发散，无固定结论，如目前开放题的引入；一题多解，从中择优；一法多用，如RMI原则，MM方法，反证法等；一图多画(不但注重标准图形，而且注意变式图形)；一式多变(注重逆向思维的训练). 给定的数学关系式不

13、但注意其标准形式，而且注重它的等价形式及各种公式、法则等的逆用。,x0,y 0,z 0,求证:,证明： x2/y+y2/z+z2/xx+y+z x2/y+y2/z+z2/x-x-y-z0 (x2/y-2x+y)+(y2/z-2y+z)+(z2/x-2z+x)0 (x-y)2/y+(y-z)2/z+(z-x)2/x0 由于x,y,z不全相等，故上式大于0恒成立。 证毕。,3加强数学直觉思维的训练，打破思维定势，克服负迁移。 直觉思维是不受固定的逻辑规则约束，对于事物作出迅速的判断、敏锐而深入的洞察，直接进行领悟的思维或认知。它具有快速性、间断性、不可解释性等特点。 直觉思维是学习数学与创造数学必

14、不可少的思维形式，一般认为直觉是发现的工具，因此在培养学生创造性思维能力中要训练学生的直觉思维能力。在此要鼓励学生猜测，注意数学语言和教学的直观性，发展形数结合的能力。,4注重归纳、类比等合情推理思想的运用，培养学生建立数学猜想的能力。 数学创造性成果，最初常常以猜想的形式出现，而归纳、类比是建立数学猜想，提出问题、发现问题的主要途径。在教学中可将一些命题的结论暂不揭示，而引导学生通过观察、联想、归纳、类比等方法，对结论提出猜想，再加以核对和证明。,归纳推理是从个别、特殊事例出发得出一般结论的思维方法，它分为完全归纳和不完全归纳法。如同底数幂乘除法法则、积的算术平方根、不等式的性质、凸多面体的

15、欧拉定理等均是不完全归纳的结果。 类比推理是据两类数学对象在某些方面相同或相似，由此得出在其它方面也相同、相似或可用变通方法来解决。如不等式解法类比方程解法，不等式性质类比等式性质，等比数列研究类比等差数列，多项式的整除类比数的整除，四面体与三角形类比等。,求自然数倒数平方的级数和： 这是数学家伯努利（Bernoulli，16541705）的一个级数求和难题，伯努利是17世纪杰出的数学家，他是古典概率论的创始人，对古典微积分学以及级数求和等问题都有贡献，但是他却没有办法算出自然数倒数平方的级数和于是他公开征解，可惜直到他逝世时还未见到有人解出此难题这个难题过了数十年之后才由欧拉解答出来在这里欧

16、拉巧妙地利用了类比推理完成了一项非常有趣的发现，给出了伯努利所未能找到的级数和,欧拉又考虑了三角方程：,他把它看成是只含有偶次项的无穷次代数方程由于此方程含有相异根,于是欧拉采用了类比法，即仿照上述2n次多项式分解成乘积的形式，把这里出现的所谓无限次多项式也照样分解成因式乘积形式：,这便是著名的“欧拉乘积公式”这样一来，再把右边的乘积展开，便发现x2项的系数是：,即,奇迹出现了,在数学中经常给学生出一些创新题去运算，对学生的运算能力培养是十分有益的当然这些创新题应是学生力所能及的，那种一提“创造”就认为是让学生解答数学家所未能解答的问题的态度，显然是不可取的,5加强灵感思维和数学美感的训练 灵

17、感思维是对问题长期思考，百思不得其解时，受偶然因素激发而产生的顿悟或脑风暴。闪现出新思想、新方法，是一种非逻辑思维。(笛卡儿、阿基米德)长期积累偶然得之. 灵感是人们在创造活动中因思想高度集中、情绪高涨而突然表现出来的能力。把灵感认为是“神灵的启示”以及“不可知”是唯心主义灵感论，唯物主义认为灵感是客观存在的一种精神状态，是一种思维，获得灵感的前提是丰富的实践，同时也必须有较高的知识与思维素养。 数学美的体味和鉴赏：统一、匀称、简洁、奇异,93空间想象能力能力的培养,一、空间想象能力的涵义 空间想象能力是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象、概括，在头脑中形成并反映客观事物的形象和图形

18、，正确判断空间元素之间的位置关系和度量关系的能力。 它可看成是逻辑思维与一些经验几何知识和识图、作图技能相结合而在处理空间形式方面的表现。,空间想象能力是否只是立体几何教学的任务?,过去人们往往误认为培养空间想象能力是立体几何的任务。事实上尽管客观事物存在于三维空间之中，其空间形式需要表现为三维的，但对三维空间形式的认识常常需分解为二维的。因而对基本图形的数量分析及识图要从平面几何开始。 在平面解几何中常要靠图形的变换，抽象地思考点如何通过运动形成不同的曲线。在代数和三角中空间想象也扮演重要角色，结合函数图象便于理解、掌握函数的性质，利用数形结合常能简化解答. 因此单凭立体几何培养空间想象能力

19、是不全面的，应当通过各科教学共同培养.,二、空间想象能力的培养,（一）空间想象能力的培养应当包括哪些要求？ 1、对于客观存在的空间形式，能在头脑中反映出正确的形象来，即形成空间概念。 2、能将空间形式，按照统一规定，绘成平面图形，反之，能从已知的平面图形想象出它所表达的空间形式 3、不但能进行逻辑思维，而且能进行形象思维，也就是说能运用图形的几何直觉去研究某些问题.,（二）如何培养空间想象能力(链接教学录象片段:最短路径演示技能),(一)学好有关空间形式的基础知识 1 运用实物、模型等进行直观教学，使学生在头脑中形成空间概念的整体形象 2 通过教师和学生绘制草图和示意图，使头脑中形成的空间概念

20、的形象“具体化” 3 研究图形的组成元素及其性质，深入了解空间形式的内部结构和特性 4 根据给定条件，运用画图工具作图，切实掌握空间形式的常用表达方法,(二)加强教学的实践性 空间观念的形成需要以一定的知识经验为基础。在教学中可利用实体或几何模型的具体形象性，指导学生观察、剖析、制作模型，实地实物测量。使空间形式在学生头脑中形象化、具体化，使学生在头脑中形成空间形式的整体形象和实际位置的关系。 如两圆位置关系，最后离开实物、模型、图形而进行空间形式的思考。空间位置关系也可类似处理。 (三)通过数形结合培养空间想象能力 数、形是数学中最基本的两大概念，数量关系借助图形性质使抽象概念的关系直观、形

21、象化，而图形运用公式、法则等知识后变得易于处理。,华罗庚教授关于数形结合有一段精辟论述：数与形本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非，切莫望，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。 (四)加强识图、画图的教学(多媒体的度) 识别和绘制直观图是发展空间想象能力的关键，从直观图分析图形基本位置关系。从实物或普通语言描述的空间形式，画出直观图并在头脑中想象形状、位置、度量关系。画图时不仅要画标准图形，更要注意画变式图形，培养识图能力。,(五)加强训练是培养空间想象能力的有效途径 （异面直线间的距离） 在教学中经常提出一些能引起学生空间想象思考的问题。

22、 如学习二元一次方程组的解时，可问学生，当组成方程组的两个方程对应系数不成比例时，为什么只有一解，给予几何解释。其次指导学生作想象练习，拚图和分解图形。,94 分析和解决问题的能力培养,我们常听到问题是数学的心脏，通过数学问题解决的教学，不但能使学生巩固与加深所学的基础知识，掌握基本技能，同时有利于培养学生的数学能力。 目前各级各类考试都是通过给出问题让学生解决来进行的，因而数学问题的解决能力是衡量学生数学水平的主要标志之一，也是衡量教师教学工作水平的标准和基本方法,(一)解答数学问题的基本要求 解答数学题有一定的规格要求，解题能力首先表现在对这些规格要求实现的程度上 1解答要正确、合理 解答

23、的正确性是指在解题过程中，列式运算、推理、作图和所得结果都必须正确无误。解题的合理性是指叙述要合理，对列式、计算、推理、作图都要有充足的理由，遵循正确的思维规律和形式。做到言必有据，理由充足，叙述合乎逻辑性。,2解题要简捷、规范、完满 解题简捷是指应采取最简捷有效的解题方法解题。 规范性指任何数学问题的解答都有一定的规格、要求(如证明题需写已知、求证、证明等，应用题需作答等)。无论那种格式，叙述都应层次分明、条理清楚、表述规范、详略适度。 完满指全面考虑题目提出的全部问题，详尽无疑地求出全部结果。题目无解时说明理由，不合题意的解要予以剔除，应作检验的题目必须验算。,(二)分析和解决数学问题的培

24、养,1审题 （理解题意）波利亚 审题是解题过程的首要步骤，是发现解法的前提，可以为探索解法指明方向。审题直接影响解题的成效。审明题意就是要辨明条件和结论，弄清题目的结构特征，判别题目类型。罗列明显条件、挖掘隐含条件，弄清条件的等价说法，把条件做适合解题需要的转换，分析条件、结论的联系方式及逻辑关系。,实数x,y满足,2探索解法(观察联想类比、转化等)：拟定方案 、执行方案 审题之后开始探索解题途径，这是整个题题过程的中心环节，若直接套用不行，就必须进行联想，灵活变通地解决问题。 如立体几何联想平面几何，因式分解联想多项式乘法，一元二次方程联想二次函数。 联想：以前是否见过类似问题，与此问题有关

25、的知识有哪些。 转化：数形转化，恒等变换，等价问题等。 若联想仍解决不了问题就要大胆猜想，可从特殊到一般，从相似或相近联想、类比到同构模型，突破旧模式。,3解题后的反思 ：回顾 分析总结解题思路，注意对题目进行引申和变更，积累解题经验，掌握解题规律。这是目前教学中的薄弱环节。 (1)变更问题的条件和结论 （推广、引申例题） (2)一题多解，选择最优解法 (3)一题多变构造不同题目 在教学过程中选取一些有代表性的题目，做一题多变的示范教学，或让学生自己去发挥，激发学生的学习兴趣，加深对有关知识的理解。,a0,b0,c0,a+b+c=1, 因式分解：,因式分解,1、4个连续自然数的乘积加1为完全平

26、方数。 时4个连续自然数的乘积不为完全平方数 3.求 4.解,4积累解题经验 指导学生善于识别习题类型、归纳解题策略、概括解题要点。如列方程解应用题的步骤(审题、设元、列式、解方程、检验、作答)。 求函数定义域的基本方法，要求分母不为0，偶次根号下被开方式为正，对数中真数大于0，底数0且1,tgx中，xk 2。 注意逻辑方法和通法(配方、消元、换元、待定系数、化归等)的运用。,数学课程标准中增加了 从数学的角度提出问题（义教） 数学地提出问题的能力（高中） 那么如何培养学生数学地提出问题的能力? 1.鉴赏数学的内在价值（思维价值和美学价值） ，对数学学习有好奇心，不断发现提出问题.（数学美的体

27、现） 2.创设问题情境，产生认知冲突，形成学习需要，不断提出问题。,3.借助观察、实验、归纳发现提出问题. 4.借助联想类比发现、提出问题 5.直觉与逻辑推理的协同发展，发现、提出、解决问题。 6.通过反思性数学教学与学习引导学生发现、提出问题. ,运算能力的培养 思维能力的培养 空间想象能力的培养 分析和解决问题的能力培养（发现提出数学问题能力）,本章回顾,第9章 中学数学基本能力培养,本章小结： 世界各国的教育家很早就认识到培养学生能力的重大意义我国古代教育早就有“举一反三”、“触类旁通”的教学经验概括，至于古语中的“授人以鱼，供一饭之需；教人以渔，则终身受益”，则更是精辟地指出了培养学生

28、能力和学习方法的重要性 18世纪捷克教育家第斯多惠指出：“一个坏的教师廉价奉送真理，一个好的教师教人发现真理”这句话更加深刻地对培养能力作出了高度评价，现代苏联教育家赞可夫说：“教学应同时完成两重任务：既在掌握知识和技巧方面达到高质量，又在学生发展上取得重大进步”,在数学教学中，三种基本能力的培养是十分重要的培养这三种基本能力是数学的内在要求，是数学本身的特点所决定的因为数学是研究客观世界中数量关系和空间形成的一门科学数学本身就具有逻辑的严谨性，所以数学教学中选择诸多能力中的三种，即运算能力，空间想象能力，思维能力，对学生加以培养，是很自然的事情 培养学生的三种能力的最终归宿是使学生逐步形成分析问题和解决问题的能力问题是什么？是数学问题和由现实世界中抽象出来的数学问题 要分析和解决这些问题，说到底，就是解数学题当然与运算能力、空间想象能力、思维能力紧密相关，还与其他一般能力相关也就是说解数学题要靠三种能力和一般能力交互作用，其中思维能力起着核心作用,培养学生的“分析问题和解决问题的能力”，并不是单靠培养三种基本能力能完成的 在数学教学过程中，还必须注意其它能力的培养，例如观察能力，理解能力，记忆能力和运用能力，它们都是在教学过程中的各个阶段所需要的“一般能力”,