《主讲教师刘泽仁.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《主讲教师刘泽仁.ppt（77页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、,主讲教师：刘泽仁,制作：刘泽仁,第七章：抽样推断,统计推断包括参数估计和假设检验，即通过样本统计量来估计和检验总体的参数。统计推断的目的在于认识未知的总体参数及其分布特征。,第七章,抽样推断,1. 点 估 计,一、点估计,点估计是通过计算一个统计量(样本元素的函数)，将它作为未知参数的估计。,X1, Xn,未知参数,样本,统计量,对一次具体的抽样,参数估计有点估计和区间估计。,= d (X1, Xn),二、估计量,1. 估计量是用来估计参数的统计量,用来估计参数 的估计量 记为,2. 点估计量的构造方法常用的有：,矩法和极大似然法,(略),例：从平均值为，标准差为的总体中抽出样本X1, Xn
2、,3. 点估计量优劣的判别标准,衡量一个估计量好坏的标准通常有以下3个：,(1) 无偏性：,如果一个估计量的数学期望值等于被估计参数，则这个估计量称为被估参数的无偏估计量。也就是说：,故 s2 是 的无偏估计量。,(2) 一致性,若随着样本容量n的增大，估计量的值越来越接近于被估计的参数，则该估计量称为一致估计量。,n3n2n1,(3) 有效性,设 是参数 的两个无偏估计量，若 的方差比 的方差小，则称 比 有效。,4. 几种总体参数的点估计量,例：某公司考虑购买一批减价商品，这批商品共2000件，其中有些是次品，但不知次品量或次品率是多少。公司得知每件次品的修复成本为0.25元，并认为若总的
3、修复成本低于50元，购买这批商品是有利可图的。在决定前，公司抽取100件商品进行调查，发现12件次品。问你估计这批商品的次品率为多少？你认为公司是否可购买这一批商品？,解：设样本次品率为p, 则总体中的次品量为NP, 即,计算结果表明：该批商品估计的次品率为12%，次品量为240件，所以该品商品的修复成本为：2400.25=60(元)。由此可见，公司不能购买这批商品。,2. 区 间 估 计,一、置信区间与置信度,(0 ),则称 1为置信度(或置信水平)；,只有一个下限值或只有一个限值的置信区间是单侧置信区间：,或,1,置信度与置信区间的关系：,置信度越大，则置信区间越长，反之亦然。若要同时使置
4、信度尽可能的大和置信区间尽可能的小，只有提高样本容量n。,n,n,nn,二、正态总体参数的区间估计,1. 参数 的置信区间,(1) 已知时， 的置信区间,给定置信度1，要求, 式的等式左边的括号内的不等式, 式转化为,由于 等于 ，所以等于,式中的z1，z2是根据1 的大小确定的。,见下图：,1,z2,z1,z,z1,z2,因而，的双侧置信区间的上、下限公式为：,同理可得的单侧置信区间的上限公式或下限公式：,或另一种情形：,(2) 未知时， 的置信区间 (小样本),同(1)类似地，可得,或,例：设在某证券交易所上市的工业类股票的日收盘价格是下态分布随机变量，随机抽取其中20种股票收盘价得知样本
5、的平均收盘价为30元，方差为6.32。求该市场工业类股票的平均收盘价格的置信区间(=2%)。,解：已知n20，s2=6.32, 未知。,查表得,=(28.57, 31.43),根据以上计算结果，我们可以说，按此区间估计方法，将有98%这样的置信区间包括工业类的股票平均收盘平均收盘价格。或者说，我们有98%的把握说工业类的股票收盘价格界于28.57元至31.43元之间。,2. 参数2 的置信区间,或,三、两个总体平均数之差12的区间估计,对于给定的1，使得：,要求 LCL， UCL,P(LCL12 UCL)=1,同理可得：,12的双侧置信区间 (LCL， UCL),12的单侧置信区间,或,对于给
6、定的1，使得：,要求 LCL， UCL,P(LCL12 UCL)=1,同理可得：,12的双侧置信区间 (LCL， UCL),12的单侧置信区间,或,四、两个总体方差之比 的区间估计,要求 LCL， UCL,或,五、总体比例P的区间估计,假定n 30，且np 5，n(1p) 5，,可近似地把 p(1p) 替代 P(1P),或,六、两个总体比例之差P1P2的区间估计,P1P2的双侧置信区间 LCL， UCL,P1P2的单侧置信区间,或,3 假设检验的一般方法,一、假设检验的基本思想,例：根据过去的测试知某种电子元件的使用寿命服从N (0, 2)，经过该产品技术改进后，随机抽取了n个产品进行使用寿命
7、测试结果为：X1, X2, Xn，得到平均寿命,根据以上资料，可以进行两类统计推断：,如果要对技术改进后的产品使用寿命进行统计推断，则可在给定1置信度时对总体平均值作区间估计，即：,第一种：,第二种：,如果要问改进后的平均使用寿命是否与改进前的0有明显的差别，则可在给定显著性水平时对进行假设检验。,(表明技术改进前后的平均使用寿命没有明显差别),(表明技术改进前后的平均使用寿命有明显差别),建立 原假设：,备择假设：,H0： = 0,H1： 0,通过置信区间构造一个水平的检验：,当且仅当0落在区间之内，就接受H0。,/2,1,z/2,z/2,/2,f (Z),z,拒绝域,接受域,拒绝域,也有单
8、侧情形:,H0： 0,H1： 0,或,H0： 0,H1： 0,假设检验的基本思想：,经过抽样获取一组数据，即一个来自总体的(随机)样本，如果根据样本计算的某个统计量表明在假设成立的条件下几乎是不可能发生的，就拒绝或否定这个假设，如果不然，则接受这个假设。,二、两类错误,第I类错误：原假设H0成立，但检验结果是拒绝H0 ，这类错误常称为 “ 弃真”，P(I) = ,第II类错误：原假设H0不成立，但检验结果是接受H0 ，这类错误常称为“ 纳伪”，P(II) = ,0,1,0,1,是可以选择的， 而 一般是不能计算的。因为当H0不成立时 的真值与0的偏离可能大也可能小，若偏差大，则较小，而当很接近
9、0时， 有可能很大。,一个好的检验应使犯两类错误的概率都很小，但要做到这点，除非所取的样本很大，当样本大小n固定时， 与通常就不能兼顾，通常我们主要考虑控制 ，在选定水平后，使尽可能小。,在假设检验中，称为检验数水平，也称显著性水平。,三、假设检验的步骤,(一) 提出假设,H0和H1是两个相反的假设，包括原假设H0和备择假设H1。其所有可能的结果都应包含在这两个假设的范围内，它们的提出确定了所要检验的对象。,(二) 计算检验统计量，确定 (显著性水平) 下的拒绝域,构造一个检验统计量，要求这个统计量包含着待检验的参数，除此之外，其余的参数(检验统计量所包含的参数)必须是已知的，我们可以通过检验
10、统计量的分布在指定的下来确定拒绝域。,(三) 作出决策(结论)并加以解释,在决定是否拒绝H0时，我们自然希望作出的决策是正确的，尽量减少犯错误的概率，但在n不变的情况下，要减少 ，必然会增加 ，而同时减少和是不可能的。因此，通常我们主要考虑控制 ，在选定水平后，如果检验统计量的值落入拒绝域内，我们就拒绝原假设，即因为H0不成立，否则就不拒绝H0 。必须指出，若H0在一次检验后没有被拒绝，我们并不能肯定H0一定成立，我们只能说不拒绝，习惯上称为“ 接受” H0 。,4 参数的假设检验,一、总体均值的假设检验,(一) 提出假设,H0： = 0,H1： 0,(三) 作出结论,若|z| z/2，则“
11、接受” H0,若|z| z/2，则拒绝 H0,(二) 检验统计量 (若已知),例：设总体服从标准差为50的正态分布，从该总体抽出某容量为25的随机样本，得出样本平均值为70，试以=0.05的显著水平检验原假设0=90。,解：由题意，已知 n=25, =50,0=90,H0： = 90,H1： 90,检验统计量：,计算,查表得,拒绝域为：, 计算结果为:, 拒绝H0, 也就是说有95%的把握否定原假定。,=1.96,2,z =,关于参数的假设检验表,原假设H0,备择假设H1,已知条件,检验统计量,拒 绝 域, = 0, 0, 0, = 0, 0, 0,已知,|z| z/2,z z,z z, =
12、0, 0, 0, 0, 0, 0, 未知小样本,|t| t/2(n1),t t(n1),t t(n1),大样本,二、总体方差2的假设检验,原假设H0,备择假设H1,检验统计量,拒 绝 域,2 = 20,2 20,2 20,2 20,2 20,2 20,三、两个总体均值之差,原假设H0,备择假设H1,已知条件,检验统计量,拒 绝 域,1 = 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 2,|z| z/2,z z/2,z z/2,|t|t/2(n1+n22),t t(n1+n22),t t(n1+n22),1 = 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 2,已知,未知小样本,大样本时：t z,四、两个
13、总体的方差比 的假设检验,原假设H0,备择假设H1,检验统计量,拒 绝 域,五、成数p 的假设检验,原假设H0,备择假设H1,检验统计量,拒 绝 域,P = P0,P P0,P P0,P P0,P P0,P P0,|z| z/2,z z,z z,六、两总体成数之差的假设检验,原假设H0,备择假设H1,检验统计量,拒 绝 域,P1 = P2,P1 P2,P1 P2,P1 P2,P1 P2,P1 P2,|z| z/2,z z,z z,(分别用p1, p2近似代替P1, P2),例：某制造厂生产某装置的平均工作温度是190C。今从一个由16台装置构成的随机样本求得的工作温度的平均数和标准差分别是194 C和8 C，能否说明平均工作温度比制造厂规定的要高呢？设=0.05，并假定工作温度服从正态分布。,解：已知n=16,0=190,H0： 190,H1： 190,s=8,计算,检验统计量,查表得,拒绝域为：, 计算结果为:, 拒绝H0, 也就是说，样本数据说明了平均工作温度比制造厂规定的要高。,=1.753,2,t =,