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1、直线与椭圆的位置关系,直线与椭圆,直线与椭圆的位置关系,种类:,相离(没有交点),相切(一个交点),相交(二个交点),相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点),一、直线与椭圆的位置关系的判定,代数方法,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2 ，判断 它们的位置关系.,直线与椭圆位置关系,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2 ，判断 它们的位置关系.,解：联立方程组,直线与椭圆位置关系,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2 ，判断 它们的位置关系.,解：联立方程组,消去y,（）,直线与椭圆位置关系,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2 ，判断 它们的位置关系.,解：联立方程组,
2、消去y,（）,直线与椭圆位置关系,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2 ，判断 它们的位置关系.,解：联立方程组,消去y,所以方程（）有两个不等实根，,（）,直线与椭圆位置关系,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2 ，判断 它们的位置关系.,解：联立方程组,消去y,所以方程（）有两个不等实根，,则原方程组有两组解,（）,直线与椭圆位置关系,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2 ，判断 它们的位置关系.,解：联立方程组,消去y,所以方程（）有两个不等实根，,则原方程组有两组解,（）,即直线与椭圆相交.,直线与椭圆位置关系,1、判断直线kx-y+3=0与椭圆 的位置关系,练习,变式：若直线k
3、x-y+3=0与椭圆 恒相交，求K的取值范围,【解析】 由,整理得：,，,，,当,，即,，,即,或,时，直线与椭圆相交；,，,，,当,即,时，直线与椭圆相切；,当,即,时，直线与椭圆相离.,1、直线与圆相交的弦长,二、直线与椭圆相交的弦长问题,1、直线与圆相交的弦长,二、直线与椭圆相交的弦长问题,1、直线与圆相交的弦长,A（x1,y1）,B（x2,y2）,二、直线与椭圆相交的弦长问题,1、直线与圆相交的弦长,A（x1,y1）,B（x2,y2）,二、直线与椭圆相交的弦长问题,r,1、直线与圆相交的弦长,d,A（x1,y1）,B（x2,y2）,二、直线与椭圆相交的弦长问题,r,1、直线与圆相交的弦
4、长,d,A（x1,y1）,B（x2,y2）,2、直线与椭圆相交的弦长,二、直线与椭圆相交的弦长问题,r,1、直线与圆相交的弦长,d,A（x1,y1）,B（x2,y2）,2、直线与椭圆相交的弦长,1、直线与圆相交的弦长,A（x1,y1）,d,r,2、直线与椭圆相交的弦长,B（x2,y2）,方法1：求出A、B坐标，利用两点间距离公式；,A（x1,y1）,B（x2,y2）,二、直线与椭圆相交的弦长问题,1、直线与圆相交的弦长,A（x1,y1）,d,r,2、直线与椭圆相交的弦长,利用弦长公式:,B（x2,y2）,方法1：求出A、B坐标，利用两点间距离公式；,方法2：,A（x1,y1）,B（x2,y2）
5、,y=kx+b,二、直线与椭圆相交-弦长问题,1、直线与圆相交的弦长,A（x1,y1）,d,r,2、直线与椭圆相交的弦长,利用弦长公式:,其中k 是弦的斜率，(x1, y1) 、(x2, y2)是弦的端点坐标.,B（x2,y2）,方法1：求出A、B坐标，利用两点间距离公式；,方法2：,A（x1,y1）,B（x2,y2）,y=kx+b,二、直线与椭圆相交-弦长问题,1、直线与圆相交的弦长,A（x1,y1）,d,r,2、直线与椭圆相交的弦长,利用弦长公式:,其中k 是弦的斜率，(x1, y1) 、(x2, y2)是弦的端点坐标.,B（x2,y2）,方法1：求出A、B坐标，利用两点间距离公式；,方法
6、2：,A（x1,y1）,B（x2,y2）,设而不求,y=kx+b,二、直线与椭圆相交-弦长问题,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2.,解：联立方程组,消去y,所以方程（）有两个实数根，,(2) 相交所得弦AB的弦长是多少？,则原方程组有两组解, 即直线与椭圆相交.,弦长问题,（）,(1)判断它们的位置关系.,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2.,解：联立方程组,消去y,所以方程（）有两个实数根，,(2) 相交所得弦AB的弦长是多少？,解:,则原方程组有两组解, 即直线与椭圆相交.,（）,(1)判断它们的位置关系.,弦长问题,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2.,解：联立方程组,消去
7、y,所以方程（）有两个实数根，,(2) 相交所得弦AB的弦长是多少？,解:,则原方程组有两组解, 即直线与椭圆相交.,（）,(1)判断它们的位置关系.,弦长问题,例1：已知直线 与椭圆x2+4y2=2.,解：联立方程组,消去y,所以方程（）有两个实数根，,(2) 相交所得弦AB的弦长是多少？,解:,则原方程组有两组解, 即直线与椭圆相交.,（）,(1)判断它们的位置关系.,弦长问题,弦长问题小结,例3已知椭圆 及直线 （）当直线和椭圆有公共点时，求实数 的取值范围； （）求椭圆截得的最长弦所在的直线方程 分析：用方程组解的情况来判断，从方程角度看，主要是由一元二次方程根的判别式 解:）解方程组
8、 消去 整理得,，,（） （）由韦达定理得 ， 弦长 ， 当 时，L取得最大值为，此时直线方程为 ,求椭圆 被过右焦点且垂 直于x轴的直线所截得的弦长。,练习,1,A,B,中点弦问题,A,M(2,1),B,中点弦问题,M(2,1),中点弦问题,解:依题意,所求直线斜率存在,M(2,1),x,y,o,中点弦问题,解:依题意,所求直线斜率存在,设它的方程为y-1=k(x-2),M(2,1),x,y,o,中点弦问题,解:依题意,所求直线斜率存在,设它的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆方程并整理得:,M(2,1),x,y,o,中点弦问题,解:依题意,所求直线斜率存在,设它的方程为y-1=k(x
9、-2),把它代入椭圆方程并整理得:,设直线与椭圆的交点为:A (x1 , y1)、B (x2 , y2),A,（x2 , y2）,M(2,1),x,y,o,（x1 , y1）,B,中点弦问题,解:依题意,所求直线斜率存在,设它的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆方程并整理得:,设直线与椭圆的交点为:A (x1 , y1)、B (x2 , y2),于是,A,（x2 , y2）,M(2,1),x,y,o,（x1 , y1）,B,中点弦问题,解:依题意,所求直线斜率存在,设它的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆方程并整理得:,设直线与椭圆的交点为:A (x1 , y1)、B (x2 ,
10、y2),于是,又M为AB的中点,A,（x2 , y2）,M(2,1),x,y,o,（x1 , y1）,B,中点弦问题,解:依题意,所求直线斜率存在,设它的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆方程并整理得:,设直线与椭圆的交点为:A (x1 , y1)、B (x2 , y2),于是,又M为AB的中点,A,（x2 , y2）,M(2,1),x,y,o,（x1 , y1）,B,中点弦问题,解:依题意,所求直线斜率存在,设它的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆方程并整理得:,设直线与椭圆的交点为:A (x1 , y1)、B (x2 , y2),于是,又M为AB的中点,A,（x2 , y2）,
11、M(2,1),x,y,o,（x1 , y1）,B,中点弦问题,解:依题意,所求直线斜率存在,设它的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆方程并整理得:,设直线与椭圆的交点为:A (x1 , y1)、B (x2 , y2),于是,又M为AB的中点,A,（x2 , y2）,M(2,1),x,y,o,（x1 , y1）,B,故所求直线的方程为x+2y-4=0,中点弦问题,中点弦问题小结,弦中点问题的两种处理方法：,（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解之；,弦中点问题的两种处理方法：,中点弦问题小结,（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解之；,（2）点差法：将弦的两端点坐标，代
12、入曲线方程相减后 分解因式，便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联 系起来。,弦中点问题的两种处理方法：,中点弦问题小结,例5、已知椭圆 , 求斜率为2的直线截椭圆所得的平行弦的中点轨迹方程。,例题讲解,例5、已知椭圆 , 求斜率为2的直线截椭圆所得的平行弦的中点轨迹方程。,例题讲解,例6.中心在原点一个焦点为 的椭圆的截直线 所得弦的中点横坐标为 ，求椭圆的方程,分析：根据题意可设椭圆的标准方程，与直线方程连里解方程组，利用中点公式求得弦的中点的横坐标，最后解关于 的方程组即可,解：设所求椭圆的方程为 由 得 把直线方程代入椭圆方程，整理得 设弦的两个端点为 ， ，则由根与系数的关系得 又中点的
13、横坐标为 由此得,解、得：,例7已知椭圆 与直线 相交于 两点， 是的 中 点若 ， 斜率为 （为原点）， 求椭圆方程,例7已知椭圆 与直线 相交于 两点， 是的 中 点若 ， 斜率为 （为原点）， 求椭圆方程,分析：本例是一道综合性比较强的问题，求解 本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜 率，另外还要用到弦长公式：,解：由方程组,消去 整理得：,即：,解得,所求的椭圆方程为,课堂练习,1、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线与 椭圆相交于A、B两点, 则弦长 |AB|= _ .,2、若对任意实数k，直线y=kx+1与椭圆 恒有公共点，则m的范围是（ ） A、（0，1）
14、 B、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（1，+ ）,课堂练习,1、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线与 椭圆相交于A、B两点, 则弦长 |AB|= _ .,2、若对任意实数k，直线y=kx+1与椭圆 恒有公共点，则m的范围是（ ） A、（0，1） B、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（1，+ ）,课堂练习,1、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线与 椭圆相交于A、B两点, 则弦长 |AB|= _ .,2、若对任意实数k，直线y=kx+1与椭圆 恒有公共点，则m的范围是（ ） A、（0，1） B、（0，5 ） C、 1，5）（
15、5，+ ） D、（1，+ ）,6、 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.,3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理 ； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减后分解因式 ， 可联系弦的斜率。,1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法;,2、弦长的计算方法： （1）求出A、B坐标，利用两点间距离公式； （2）弦长公式： |AB|= =,课堂小结,1、若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交 于A、B两点，M为AB中点，直线 OM （0为原点）的斜率为 ，求 的值。,课后作业,2、椭圆 的两个焦点为F1 、F2 ， 过左焦点作直线与椭圆交于A，B 两点， 若 AB F2 的面积为20, 求直线AB的方程。,