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1、直角三角形的性质 和判定（）,1.2,如图1-9， 在方格纸上（设小方格边长为单位1） 画一个顶点都在格点上的直角三角形， 使其两直角边 分别为3， 4， 量出这个直角三角形斜边的长度.,图1-9,我量得c为5.,在方格纸上， 以图1-9 中的RtABC 的三边为边长 分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10， 那么这三个正方形的面积S1， S2 ， S3 之间有什么关系呢？,图1-10,在图1-10 中， S1 + S2 =S3 ， 即BC2 +AC2 =AB2 ， 那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？,图1-10,如图1-11，任作一个RtAB
2、C，C= 90， 若BC= a，AC= b， AB= c， 那么a2 + b2 = c2 是否成立呢？,图1-11,步骤1 先剪出4个如图1-11 所示的直角三角形， 由 于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中 b a），于是它们全等（SAS），从而它们的 斜边长相等. 设斜边长为c.,图1-11,我们来进行研究.,步骤2 再剪出1 个边长为c 的正方形，如图1-12所示.,图1-12,步骤3 把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成 如图1-13的图形.,图1-13,由于DHKEIH， 2 4.,又 1 +2 = 90，, 1 +4 = 90.,因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a
3、+ b)， 它的面积为(a + b)2 .,又KHI = 90， 1 +KHI +4 = 180， 即D，H，E 在一条直线上.,图1-13,同理E，I，F在一条直线上； F ，J，G 在一条直线上； G ，K，D 在一条直线上.,又正方形DEFG 的面积为c2 + ，,图1-13,直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方. a2+ b2 = c2,由此得到直角三角形的性质定理：,其实我国早在三千多年前就已经知道直角三 角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角 边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为 弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.,勾股定理揭示了直角三角形三边
4、之间的关系. 在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长， 我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.,勾,股,弦,故AD的长为12cm.,在RtADB中，由勾股定理得 AD2+BD2 =AB2 ，,解 在ABC中， AB = AC = 13 ，BC = 10 ，ADBC， BD = = 5.,在RtABC中，C= 90. （1） 已知a = 25，b = 15，求c； （2） 已知a = 5，c = 9，求b； （3） 已知b = 5，c=15，求a.,答：（1）c= ；（2） ；（3）,如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC 靠在 墙上，使梯脚C 离墙脚B 的距离为1.5m，准备在 墙上安
5、装电灯. 当他爬上梯子后，发现高度不够， 于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C处. 那么，梯子顶端是否往上移动0.5m 呢？,图1-16,在RtABC中，AC=4m，BC=1.5m，,图1-17,由勾股定理得， （m）.,图1-16,由图1-16 抽象出示意图1-17. 在RtABC 中，计算出AB； 再在Rt 中， 计算出 ，则可得出梯子往上移动的距离为（ -AB）m.,即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.,图1-17,因此 = 3.87 - 3.71 = 0.16（m）.,在Rt 中， = 4m， = 1m， 故,分析 根据题意，先画出水池截面示意图， 如图
6、1-18. 设AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，即1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B.,在RtACB中， 根据勾股定理，得 x2 + 52 =（x+ 1）2，,答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.,图1-18,因为正方形池塘边长为10尺， 所以 BC = 5尺.,解得 x=12. 则芦苇长为13尺.,1. 如图，一艘渔船以30 海里/h 的速度由西向东追赶 鱼群. 在A 处测得小岛C 在船的北偏东60方向；40 min 后，渔船行至B 处，此时测得小岛C 在船的北偏东30方向. 已知以小岛C 为中心，周围10 海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？,解
7、：过点C作CDAB，垂足为D，,D,因CD距离不在以点C为中心，周围10 海里范围内， 所以轮船不会触礁.,由已知得AB=30 （海里），,在RtCBD中，BCD=30，,2. 如图，AE 是位于公路边的电线杆，高为12m， 为了使电线CDE 不影响汽车的正常行驶，电力 部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥 撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距 离为8m，电线CD 与水平线AC 的夹角为60. 求电线CDE 的总长L（A，B，C 三点在同一直线 上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）.,M,易知四边形MABD为矩形，MA=BD=6m，,所以ME=EA-MA=12-6=6(m).,在R
8、tEMD中，由勾股定理得,所以L= ED+CD=10+ （m）.,我们已经知道勾股定理：“直角三角形两直角边a，b 的平方和，等于斜边c的平方.” 那么，这个定理的逆命题成立吗？,如图1-19，在ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b， 且a2+ b2 =c2 ， 那么ABC是直角三角形吗？,图1-19,如果我们能构造一个直角三角形， 然后证明ABC 与所构造的直角三角 形全等， 即可得ABC 是直角三角形., a2+ b2 = c2 ，,图1-20, = c., 2 = c2., ABC是直角三角形.,先构造满足某些条件的 图形，然后根据所求证的图 形与所构造图形之间的关系，
9、完成证明，这也是常用的问 题解决策略., C = = 90.,如果三角形的三条边长a，b，c 满足关系： ，那么这个三角形是直角三角形.,由此得到直角三角形的判定定理：,上述定理被称为勾股定理的逆定理.,分析 根据勾股定理的逆定理， 判断一个三角形是不是直角三角形， 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.,举 例,满足a2+ b2 = c2的 三个正整数称为勾股 数.,（2） 122 + 152 = 369， 202 = 400， 122 + 152202. 这个三角形不是直角三角形.,（1）a = 6，b = 8，c = 10；,（2）a = 12，b = 15，c = 20.,例4,如图1-21，在ABC 中，已知AB = 10，BD = 6， AD = 8，AC = 17. 求DC的长.,图1-21,举 例,答：（1）是 ； （2）不是； （3）是.,2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点， E是BC上一点， 且EC= BC. 求证： AEF是直角三角形.,例,如图所示，在RtABD中，D=90，C为AD上一点，则x可能是（ ）. A.10 B.20 C.30 D.40,B,结 束,