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1、第二篇 动 态 电 路,第五章 动态电路的时域分析,第六章 动态电路的复频域分析,第七章 动态电路的状态变量分析,第五章 动态电路的时域分析,动态元件如电容元件和电感元件能储存能量，其端口电压电流关系要用微分方程描述。,动态电路的时域分析中，激励和响应都是时间的函数，电路方程是微分方程。直接求解微分方程的方法称为经典法。含有一个独立储能元件的电路响应的求解还可以采用更为简便的三要素法。,动态电路由于电路结构或元件参数等的变化引起换路时，电路的工作状态通常会发生改变，从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态。其中的过渡过程称为暂态过程。,5.1 动 态 元 件,5.1.1 电容元件,定义:一个二端元件
2、，如果在任一时刻t，它所储存的电荷q和它的端电压u之间的关系是由qu平面（或uq平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电容元件。这条曲线称库伏特性曲线。,电容元件的分类,1、线性非时变电容元件,库伏特性曲线是与时间变化无关的过原点的直线。,其中C是电容（特性曲线的斜率，常数）。S=1/C（称倒电容）。,既是荷控的，又是压控的,2.伏安关系,电流i和电容电压u取一致参考方向,u和i之间的关系也可用积分形式表示,电流取决于电容元件两端电压的变化快慢（微分方程），因此为动态元件。,上式表明，电容元件在t时刻的电压值取决于从 到t时刻的电流值。即电容电压u与电容元件的电流i历史有关;电容元件具有“
3、记忆”电流的性质，是一种记忆元件。,表明知道了电容电压u(t0)初始值以及从初始时刻开始作用的电流，就可确定初始时刻之后任意时刻的电容电压。,电容电压的连续性：,当t0=0时，在t时刻有,在t+t时刻有,那么当t0时，就有u0。表明只要电容电流是有界函数，电容电压就是连续函数，不会跳变。,若干个没有初始储能的电容并联,若干个没有初始储能的电容串联,或,二、电容元件的能量,瞬时功率,在时间间隔 t0,t 内，电容吸收的能量,线性非时变电容器 q = Cu,说明电容器是一种储存电荷或以电场形式储存电场能的器件。,电场能只取决于电容电压而与其电流无关，即使i(t)=0，电场能仍然存在。,如果电容元件
4、的库伏特性曲线位于一、三象限，电容器不消耗电能，也不能释放出多于它储存的能量，则这种电容元件是无源元件。如常用的线性非时变且C0的电容元件。,线性,非线性,定常,时变,符号,定常,时变,特性方程,电压电流关系,视具体函数，应用,库伏特性曲线,电感器 L,电容器 C,线性定常电感器,线性定常电容器,韦安特性曲线,线性非时变电容特性方程,线性非时变电感特性方程,具有初始电流的电感的等效,具有初始电压的电容的等效,电容并联的等效（电容）,电容串联的等效（倒电容）,只要流经电容的电流值是有限的，电容电压值不会发生跳变,只要电感两端的电压值是有限的，电感电流值不会发生跳变,能储存电场能的储能元件,（线性
5、非时变电容）,能储存磁场能的储能元件,（线性非时变电感）,例5.1.3 在图所示电路中，回转器的输出端口接有一个电容元件C，试求回转器输入端口的电压-电流关系。,解：由输出回路可得：,代入回转器的输入输出关系式,可看出：从回转器输入端口的电压电流关系看相当于一个电感为L=r2C的电感元件。,5.1.3 耦合电感元件,载流线圈与其他线圈之间通过磁场相互联系的物理现象称为磁耦合，或者说具有互感。,自感磁通,漏磁通,互感磁通,5.1.3 耦合电感元件,载流线圈与其他线圈之间通过磁场相互联系的物理现象称为磁耦合，或者说具有互感。,自感磁通,漏磁通,互感磁通,用矩阵形式表示为,自感L1和L2恒为正值，但
6、是互感M既可为正又可为负。,正负号取决于互感磁链和自感磁链的相对关系。,电压与电流取一致参考方向,（1）如果互感为正，自感磁通和互感磁通相互加强；,（2）如果互感为负，互感磁通是对自感磁通的减弱。,已知耦合电感器两线圈的相对位置、线圈绕向、电流 i1和 i2的参考方向，当然能判断互感M的正负。但实际上线圈绕向很难看出也无法在电路符号中表示，因此电路图通常用线圈的同名端（用符号“”或“*” 标记）结合线圈电流的参考方向来表示互感磁通对自感磁通的影响。,当电流流入(或流出)两个线圈时，若产生的磁通方向相同（即互相加强的），则两个流入(或流出）端称为同极性端,同名端(同极性端)：相互耦合的线圈具有相
7、同瞬时极性的端点。,两线圈电流都从同名端流入时，磁通相互增强，M0,当铁心中磁通变化时，在两线圈中产生的感应电动势极性相同的两端为同极性端。,增加,全耦合,耦合系数：为了反映互感耦合的强弱。,0 k 1,当k接近1时，称为紧耦合；,当k值较小时，称为松耦合；,当k =0时，两电感元件的轴线互相垂直时，两线圈无磁耦合。,三个线圈组成的线性耦合电感元件,磁通与电流的关系：,矩阵形式表示为,或用符号表示为,1. 线性耦合电感元件端口电压电流关系,端口电压、电流取一致参考方向时，有,也可表示为,式中，u=u1，u2T称为电压向量，i=i1，i2T称为电流向量,受控电压源表示去耦的等效电路模型：,也可表
8、示为：,式中，i为电流向量，i(0)为0时刻电流向量，u为电压向量,线性非时变耦合电感器看成理想变压器的条件为：,理想变压器和线性非时变耦合电感器的关系,Li= ni2Gm,磁导,(1) 没有任何漏磁通，即两个绕组的耦合系数 k = 1；,(2) 每个绕组的自感都是无穷大，但二者的比值依然有限。,2. 线性耦合电感元件的串联和并联,（1）线性耦合电感元件的串联,串联等效电感为：,注意：去藕等效时，M的正负与电流的参考方向无关,（2）线性耦合电感元件的并联,(a) (b) (c),注意：同名端相接，互感M取正值，异名端相接，互感M取负值。与电流参考方向无关。,3. 线性耦合电感元件的T形去耦等效
9、和形去耦等效,（1）线性耦合电感元件的T形去耦等效电路,上图端口电压电流关系为,注意：T型去藕等效时，M的正负与电流的参考方向无关,同名端相接：M取正,异名端相接：M取负,例：图所示电路，已知线性非时变耦合电感L1=4H，L2=3H，M=2H，则从AB端看进去的等效电感LAB。,电感耦合电路如图所示：,不论是电阻电路，还是含有动态元件（L、C）的电路，其电流和电压仍然受到KCL和KVL及元件本身VCR的约束。,基本概念,一阶电路：在电阻电路中，描述电路的方程为代数方程。当电路中含有电容和电感动态元件时，描述电路的方程为微分方程。如果描述电路的微分方程为一阶微分方程，就称为一阶电路，若为二阶的微
10、分方程称为二阶电路。我们在这里首先讨论的是指线性的、时不变的一阶电路。,5.2/5.3 动态电路方程及初值的确定,由KVL有：,根据电路元件的VCR：,动态电路用微分方程描述,由KVL有：,电路的阶数可以通过电路中独立储能元件的个数判断,一、动态电路方程,电容串联或并联或与理想电压源构成回路,储能元件不独立的情况包括：,C3,电感串联或并联或与理想电流源构成割集,条件改变，电路会从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态，其间经历的过程称为过渡过程；这两个稳态之间的状态称为过渡状态，由于过渡状态的持续时间短暂，所以也称为暂态或瞬态,一定条件下，电路中各支路电压和电流不随时间变化或者为幅值和频率恒定的正
11、弦量，此时电路处于稳定状态（稳态）,如：稳态,如：暂态,开关打开瞬间，电源不再给电路供电，此时电容放电，使得电阻 R2 在开关断开后的一段时间内依然有电流通过。此时的储能元件类似独立电源给电路提供能量。,C,u,i2,R2,开关闭合，电源对电容充电,电容的两个极板上储存了一定量的正负电荷，也即储存了一定的电场能量。,i,+,_,在激励或储能元件作用下，电路中产生的电压或电流称为电路的响应；电路响应在0t时间范围内的变化称为电路的时域响应。,仅由独立电源（激励）引起的电路响应称为零状态响应；仅由电路内储能元件的初始状态引起的电路响应称为零输入响应；由独立电源和储能元件初始状态共同引起的电路响应称
12、为全响应,线性电路的全响应可利用叠加原理计算：先分别计算零状态响应和零输入响应，然后求二者之和即可,换路：引起电路中产生暂态过程的电路变化，如接通、断路、短路、电源或电路参数突然改变等,结论一：电容的电荷或电压、电感的磁链或电流在换路瞬间不能突变,结论二：电容电流、电感电压可以突变，即换路前后瞬间的数值可以不相等。,换路定律：根据电容和电感的特性可知，在换路瞬间,对C：只要|iC|M(有限量)，uC不会跳变；,对L：只要|uL|M(有限量)， iL不会跳变。,设网络在t0时换路，换路前的终了时刻用t0-表示，换路后的初始时刻用t0+表示。,换路定则的应用：仅适用于换路瞬间，用于确定t=t0+时
13、刻电路变量（电压和电流）之值，即暂态过程的初始条件。,二、 初值的确定,(3)电路中其他变量的初始值,可根据KCL、KVL、支路方程，再借助置换定理确定。,初始值的确定步骤：,(1)根据换路前的电路确定,（2）根据换路定律确定,例：电路在换路前处于稳态，求换路后电流 i 的初始值 i(0+)和稳态值 i(),解：电路在t=0时刻发生了换路，换路瞬间电容两端的电压不变，即,故换路后，,换路后电路达到稳态时，电容相当于开路,换路前电路处于稳态，电容相当于开路，所以,图中电路开关S原处于闭合状态，电路已达稳态，求开关S打开瞬间（即换路前后）电阻R2、电容和电感元件的电压和电流。 已知U=100V，R
14、1=R2=R3=100。,(1)开关打开（即换路）前，直流激励下，电容相当于开路，电感相当于短路,t=0-时的电路,(2)开关打开（即换路）后，根据换路定则：,由KVL得：,由图：,电阻的电压与电流 由欧姆定律决定，可以突变,t=0+时的电路,例图示电路在t0时处于稳态，t=0时闭合开关,求电感电压uL(0+)和电容电流iC(0+),5.4 一阶动态电路的零输入响应,动态电路的时域分析中，激励和响应都是时间的函数，电路方程是微分方程。直接求解微分方程的方法称为经典法。含有一个独立储能元件的电路响应的求解还可以采用更为简便的三要素法。,(a) t 0- 时的电路 (b) t 0+时的电路,动态电
15、路在没有外加激励时，仅由电路中动态元件的初始储能引起的响应,称为电路的零输入响应。,5.4.1 一阶RC电路的零输入响应,（1）根据换路后的电路，建立电路方程,根据KVL有,一阶常系数线性齐次微分方程,方程的通解为,特征方程为,特征根为,S称为固有频率,体现了电路本身固有的性质,由初始条件确定积分常数,将t=0+，初始值uC(0+)=U0代入通解,零输入响应电容电压为,指数曲线上任意点的次切距的长度都等于,放电时间的长短与C和R有关,当t=45时，放电基本结束,电容电压初值已确定的情况下，电容 C 越大，电容中储存的电荷越多，放电所需时间越长；电阻R 越大，放电电流越小，放电所需时间也越长。,
16、时间常数,零输入响应回路电流为,或,回路电流i在电容开始放电瞬间有一个正向跳变，从i(0-)=0跳变到i(0+)=U0/R。回路电流按同样的指数规律下降，直至放电结束。,例 5.4.1 ：高压设备检修时，一个40F的电容器从高压电网上切除，切除瞬间电容两端的电压为4.5kV。切除后，电容经本身的漏电电阻RS放电。现测得RS175M，试求电容电压下降到1kV所需要的时间。,解：设在t0时电容器从高压电网上切除，电容经RS放电的等效电路如图所示，可得：,当uC下降到1000V，则有,5.4.2 一阶RL电路的零输入响应,RL电路：,RC电路：,电感电流初值一定的情况下，电感 L 越大意味着电感元件
17、中储存的磁场能量越多，电阻 R 越小意味着能量的消耗减少，电流衰减越慢。,例 5.4.2：设图所示电路中，开关S在t=0时打开，开关打开前电路在直流电压源US作用下已稳定。若已知US=220V，L=0.1H，R1=50k，R2=5，试求开关打开瞬间其两端的电压uK(0+)以及R1上的电压uR1。,解：,若R1R2，则开关打开瞬间，其两端之间的电压会高于电源电压Us许多倍，即有一个很高的冲击电压。,小结：,1.零输入响应的一般形式,对任一零输入响应y,设其初始值为y(0+),时间常数为，,2.零输入响应与初始状态之间的关系,在线性电路中，零输入响应是初始状态的线性函数。,5.5 一阶动态电路的零
18、状态响应,仅由独立电源引起的响应零状态响应,若电路处零状态，激励为阶跃函数，则所求响应就是阶跃响应。若 I=1，那么响应就是单位阶跃响应,=0,(t),is=I,is=I(t),5.5.1 一阶电路直流（阶跃）激励下的零状态响应,(a)t 0-时 (b)t 0+时,根据换路后的电路可得：,一阶常系数线性非齐次微分方程,通常特解的形式与输入激励的形式有关。,通解为：,根据初始值，确定积分常数,就特解而言，是电路趋稳态后的响应，称稳态分量；或认为是激励源强迫其电压达到规定值，故称强制分量。,就通解而言，当t=45，可认为衰减结束，所以称暂态分量。暂态分量逐渐衰减的过程，就是电路逐渐趋于稳定的过程；
19、指数形式的通解随时间的变化快慢只取决于时间常数，而时间常数仅仅由网络的拓扑结构和元件参数决定，与输入无关，因此也称自由分量。,或：,从能量的角度看，电容电压其储能为,在充电过程中电阻消耗的总能量为,在充电过程中电阻消耗的总能量与电容最后所存储的能量是相等的。,电压源在充电过程中提供的总能量为,定常电路的定常（时不变）特性,线性定常一阶电路的零状态响应是输入的线性函数,如果输入脉冲信号,由叠加定理：,一阶RL电路的零状态响应iL：(根据对偶原理),例：图示电路中，已知U=20V，L= 0.01H，R1=R2=20，R3=10，开关闭合前电路处于零状态iL(0-)=0。求开关闭合后的电感电流,解题
20、思路,当分析较为复杂的一阶线性电路时，可以将储能元件以外的电路部分视为一个有源二端网络，利用戴维南或诺顿定理将换路后的电路简化为一个简单的电路，再利用上述结果求解电路暂态,5.5.2 一阶电路在正弦电源激励下的零状态响应,t0+,因此,大小相等，方向相反,此时,含储能元件的电路发生换路后并非一定出现过渡过程,5.5.4 一阶电路的冲激响应,电路在单位冲激电源激励下的零状态响应称为单位冲激响应。单位冲激响应常用符号h(t)表示。,一、RC并联电路的冲激响应,可用两种方法求电路的冲激响应,1. 将冲激响应转化为零输入响应求解,单位冲激响应,t0+的零输入响应,电容的初始电压也可由储能元件伏安特性式
21、直接计算,2.按 求,在线性定常电路中，阶跃响应与冲激响应之间存在着一个重要关系。即如果以s(t)表示某一线性定常电路的阶跃响应，而以h(t)表示同一电路的冲激响应，则有,或者:,二、RL串联电路的冲激响应,根据对偶原理：一个串联于电感器L的单位冲激电压源(t)，将在电感上形成初始电流,例 5.5.4 在图(a)电路中，uC(0-)=0，C=2F，R=1，电流源波形如图(b)所示，试求uC。,(a),(b),根据线性非时变电路的齐次性、可加性和非时变特性，响应uC为,代入已知参数，并分段表示为,例：求iL(t),利用戴维南,方法一、采用转换为零输入响应,方法二、先求阶跃响应,小结：,1.零状态
22、响应的一般形式,对任一零状态响应y,设其时间常数为,K由初始条件确定：,若激励为直流，则,2.零状态响应与输入之间的关系,在线性电路中，零状态响应是输入的线性函数。因此其响应和输入之间的关系符合齐次性和可加性。,5.5.5 对任意输入的零状态响应（卷积积分）,当输入为任意波形时，要采用解微分方程的方法来求响应是很困难的。,但我们知道电路的冲激响应和该电路的零输入相同，而电路的零输入响应的形式只与电路本身的性质有关，与激励的形式无关。,卷积积分的思路是：将任意输入波形分解为一系列冲激强度不同，时间上依次延迟t的冲激函数的叠加，对于线性时不变电路，则电路的响应等于一系列冲激响应的叠加。,5.5.5
23、 对任意输入的零状态响应（卷积积分）,越小，fa(t)就越逼近f(t),任意波形可由许多脉冲信号所组成，根据零状态响应的线性性和定常性，分别求出每个脉冲响应，然后进行叠加得到的响应可近似真实响应,0，结果就是真实响应。,设t0为换路时间,t为所求响应时间。将 t0，t n等分，则步长=(t-t0)/n。现取t0=0，则,第二个脉冲波形为, ,第k+1个脉冲波形为,所以,第一个脉冲波形为,当n, 即0 时, k变成连续变量，即 k，h(t-k)h(t-)，求和变成积分，d,任意输入f(t)的零状态响应,卷积积分,卷积积分可表示成,则fa(t)作用下的零状态响应为：,例 5.5.5 ：在图(a)电
24、路中，R=5，L=1H，电流源iS波形如图(b)所示，试用卷积求零状态响应iL。,(a),(b),解：先求出单位冲激响应电感电流h(t),单位阶跃响应电感电流s(t)为,（1）0 t 1时，iS=I0t，,（2）当t 1时，iS=0，,零状态响应iL的波形如图所示,5.6 一阶动态电路的全响应,5.6.1 一阶电路在阶跃电源激励下的全响应,零输入响应是初始条件的线性函数，零状态响应是输入的线性函数。在分析电路时，可分别算出零输入响应和零状态响应，从而得出完全响应。当电路只是初态或输入有变化时，只需重新计算相应部分的响应。,全响应既非输入的线性函数也不是初始条件的线性函数,零输入响应,零状态响应
25、,全响应,特征方程,零输入,零状态,全响应,= 稳态分量 +暂态分量,全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,思考题：电路如图所示，当电路为零初始状态uS=4(t)V时，,则t0时求iL 。,(t0)。若uS=2(t)V，且iL(0)=2A。,答案：,5.6.3 一阶电路的三要素法,三要素法是跳过建立电路微分方程，直接由给定的一阶电路求三个要素，并列写出响应的数学表达式。,一阶电路过渡过程的解的一般表达式,暂态分量+稳态分量,一阶电路的三要素,当为直流或阶跃电源输入时，响应的稳态解是常量,有,三要素法求解电路三要素，并将之直接带入电路全解的一般表达式从而得到电路全响应的方法,恒定输入或非零初始
26、状态作用下的一阶电路，其响应（电压或电流）一般都按指数规律变化，都从初始值逐渐趋近于稳态值,时，电压、电流按指数规律增长,时，电压、电流按指数规律衰减,=,时，说明电路换路后不发生瞬态过程,电路中只有一个独立的储能元件，并含有电阻元件，即是有损耗的一阶线性电路,如果电路在t=t0时刻换路，则：,例：图示电路中，已知U=12V，C= 20F，R1=3k， R2= 6k。求开关闭合后电容电压的变化规律，并画出曲线。设开关闭合前电容电压为零。,解（一）确定三要素的大小,（1）初始值,（2）稳态值,（3）时间常数R0C,R0是换路后的电路从储能元件的两端看进去，所有电源置零时的等效电阻，即戴维南等效时
27、的输入电阻。,例：图示电路中，开关S原来是闭合的，电容C没有储能，试画出S在t=0时断开，又在 t =2s 时接通的情况下，输出电压u0的波形。已知U=12V，C= 100pF，R1= R3= 5k， R2= 10k。,解（一）t=0时，开关断开,（1）确定初始值,uo在换路前后有突变，不能盲目应用换路定则,(2) S断开并达稳定后，电容相当于开路，可得稳态值,(3) 时间常数 R0C,(4) 列出输出电压的变化规律,uC,R3,R2,u0,+,_,+,_,（二）t=2s时，开关闭合,(1) 确定初始值,(2) S闭合并达稳定后，电容电压稳态值,(3) S闭合后的时间常数,(4) 电容电压,(
28、5) S闭合后的输出电压,电路如图所示，t=0 时S1闭合，S2打开则换路后,分别为： （A）0.5A ，3.33A ，3S （B）2A ，3.33A ，1/3s,（C）2A ，1.67A ，3S （D）0.5A ，1.67A ，1/3s,例5.5.3 在图所示电路中，R=2，L1=1H，L2=5H，M=2H，uS=10(t)V，试求阶跃响应i0，u0 。,三要素法,思考题 (1)题图示电路的时间常数 为（ ）,【答案】= 0.02s。,例 5.6.5 在图所示运算放大器电路中，阶跃电压源uS=3(t)V，R1=10k，R2=20k，R3=20k，R4=50k，C=1F。试求阶跃响应uC和uo
29、。,解：阶跃响应为零状态响应，有uC(0-)=0,uC(0+)=uC(0-)=0,根据“虚断”，流经理想运算放大器的电流为零。,运放反馈电路元件构成一个R4C电路，其时间常数,由于输入回路没有动态元件，有,根据“虚短”，由KVL可得,由于uC(0+)=0，u1(0+)=2V uo(0+)=2V。,电路稳定后，电容等效为开路，运放电路为同相放大电路,根据三要素法公式,例：已知图示电路中i(0)=2A，求u(t)，t0,用三要素法求解零输入响应,初始值：,时间常数：,电路如图所示，已知在开关动作前已达稳定状态，t=0时开关闭合，则,时电压,为：,（B）,（C）,（D）,（A）,电容电压和电感电流有
30、跳变时初始值的确定问题,（1）换路定律,若电容电流和电感电压在换路时刻为有限值，则换路前后瞬间电容电压和电感电流是连续的。,例：如图所示，t0时电路已处于稳态，电容无初始储能。 t=0时开关闭合，求换路后电容电压初始值,通常电容电压和电感电流发生强迫跃变有两种情况：换路后电路中存在全部由电容组成的回路或由电容与理想电压源组成的回路。,换路后电路中存在全部由含电感支路组成的割集或由含电感支路与理想电流源组成的割集,（2）电荷守恒/磁链守恒,当电容电压和电感电流在换路前后发生强迫跃变时，可根据电荷守恒和磁链守恒确定电容电压和电感电流的初始值。,例：如图所示，t0时电路已处于稳态，电容无初始储能。
31、t=0时开关闭合，求换路后电容电压初始值,解：换路后,两电容不独立，电路为一阶电路；换路前后电压将发生跃变,对节点a，利用电荷守恒，有,由,例：两开关在0时刻同时闭合，换路前电容C1和C2上储存的电荷分别为Q1和Q2 ，求换路后的i(t),一阶电路，且换路后电容电压可能跃变,初始值,电荷总量不变,时间常数,零输入响应,例：开关在0时刻由a换接到b，换路前电路处于稳态，且C2未充电，求换路后的uC1(t) 和uC2(t),一阶电路,初始值,稳态值,时间常数,电荷总量不变,例5.6.7 图(a)所示电路，开关S在t=0时闭合，S闭合前电路处于稳定状态。已知iS=10A，C1=0.3F，C2=0.2
32、F，R1=(1/2)，R2=(1/3)，试求t 0 时的uC 和iC1，iC2。,解：由换路前电路，可得,uC1(0-)=5V，uC2 (0-)=0 V,所以 uC1(0-)uC2(0-),(a),t0+时的等效电路，可求得,uC()=2V，=RC=0.1S。,根据三要素法有,例：如图所示，t0时电路已处于稳态。 t=0时开关打开，求换路后电流 i初始值i(0+),换路后两电感不独立，换路前后电流将发生跃变；,对图示回路，利用磁链守恒，有,换路前电路处于稳态，所以,所以,例：在图示电路中，us(t)=12V，R1=6， R2=3 ， R3=3 ， L1=0.5H， L2=1.5H ，试求t0时
33、电路的响应iL1(t)和iL2(t),解：,根据磁链守恒,解：,思考题：电路如图所示。t=0时开关断开，已知i1(0-)=i2(0-)=0，求i1(0+)，i2(0+)。,答案：,例：开关在0时刻闭合，闭合前电路已处于稳态，求换路后电流i(t),解题要点：换路后电路分为两个一阶电路，如下图,例：在图示电路中，电感无初始储能，t1s 时，开关接在“a”，t=1s时开关打向“b”，R1=2， R2=1 ， R3=2 ， L=1H， 试求t0时电路的响应iL(t),解：第一次换路由 引起,第二次换路,例：在图示电路中，电感无初始储能，t1s 时，开关接在“a”，t=1s时开关打向“b”，R1=2，
34、R2=1 ， R3=2 ， L=1H， 试求t0时电路的响应iL(t),例:如图所示，已知某电阻网络N，接成（a）时，测得uC =6V，接成（b）时测得IL=5mA，如果将此电阻网络接成（c）电路，t=0时开关S闭合，求t=0时uC的表达式，画出其变化曲线。已知uC(0_)=4V。,换路后等效电路,初始值：,稳态值：,应用三要素法求解：,时间常数：,uC(t)的表达式：,思考题：在图示电路中，N为线性无源电阻网络,L=10mH,试求t0时图电路的响应uL(t),KCL：iC+iR+iL=0,电路方程,5.7 二阶电路,5.7.1 线性定常RLC并联电路的零输入响应,二阶电路是含有两个独立储能元
35、件的线性定常电路。描述这种电路的方程是二阶线性常微分方程,(b) t 0+,为二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程,根据 和0的相对大小，s1和s2可以是两个不相等的负实根、两个相等的负实根、一对共轭复根和一对共轭虚根等四种情况。与此相对应，RLC并联电路的零输入响应有过阻尼，临界阻尼，欠阻尼和无阻尼等四种情况。下面分别讨论这四种情况。,特征根s1和s2是两个不相等的负实根,方程的通解为,其中K1和K2为待定常数，由初始条件来确定。,在整个放电过程中，电感和电容都只有一次充电过程，并没有出现反复的充电。如图所示，响应波形最多只有一次改变方向，穿过横轴。所以这种情况称为非振荡情况或过阻尼情况。,
36、2.临界阻尼情况 =0，即电路参数满足,特征根s1和s2是两个相等的负实根，s1=s2= ，,方程的通解为,由于 =0时正好处于振荡与非振荡两种情况之间，所以称为临界情况，或临界阻尼情况。这种情况下电容电压uC和电感电流iL波形与图(a)所示波形相似，也是非振荡的。,3.欠阻尼情况 0，即电路参数满足,特征根s1和s2为一对共轭复根，为,4.无阻尼情况 =0，即电路参数满足R=,特征根s1和s2为一对共轭虚根，s1j0，s2 j0,方程的解为,电容电压和电感电流均为不衰减的正弦量。,储能在电场和磁场之间往返转移,例：图示线性非时变二阶电路L=10mH，C=1F，欲使该电路的零输入响应为欠阻尼过
37、程则电阻R应取（ ）,A. 10 B.100 C.,【思路】求微分方程的特征根。 【解】换路后电路的微分方程为：,特征方程为：,当响应为欠阻尼时，,D. 0,5.7.2 二阶RLC电路的零状态响应,齐次解为,特征方程为:,uC(0+)=uC(0-)=0,特解：为响应的稳态分量(或强制分量) uCp=uS=1,根据初始条件,有,电容电压为,过阻尼,欠阻尼,无阻尼,同一电路描述同一变量的零输入响应与零状态响应的微分方程的特征方程相同，即特征根(固有频率)是相同的。因此可认为，特征根仅由电路参数和电路拓扑结构所决定，与输入无关。,特征根在复平面的位置，决定了电路响应的暂态情况：过阻尼、临界阻尼、欠阻
38、尼和无阻尼（无损耗）。,初始条件只决定响应的起点。零状态响应在t0时总为零，因此定义域可以用响应乘(t)表示。,零输入响应是初始状态的线性函数，零状态响应是输入的线性函数。,例：图示电路在t=0- 时已达稳态。t=0时开关断开，则t 0,时uC的波形为（ ）。,【思路】换路后为RLC串联电路，根据已知电路参数判断响应的形式。 【解】,又,所以电路处欠阻尼情况,。,A. B. C. D.,。,例：图所示电路在t=0- 时已达稳态。t=0时开关接通，试求t 0,时uC的电路方程。,【思路】可先求出换路后虚线左侧的戴维宁等效电路，然后以uC为变量写出电路方程。 【解】,。,【思路】根据已知的零输入响应的形式，可设零状态响应的通解形式，然后根据已知条件确定积分常数。,根据初始条件确定,。,可解得,注意：对于一个已确定电路参数和结构的电路，其暂态分量的形式与外加激励无关，所以可根据已知的零输入的响应形式，设定零状态的通解形式。,