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1、1,第四章 线性代数问题求解,矩阵 线性方程组的直接解法 线性方程组的迭代法 线性方程组的符号解法 稀疏矩阵技术 特征值与特征向量,2,4.1 矩阵 4.1.1特殊矩阵的输入,数值矩阵的输入 零矩阵、幺矩阵及单位矩阵 生成nn方阵： A=zeros(n), B=ones(n), C=eye(n) 生成mn矩阵： A=zeros(m,n), B=ones(m,n), C=eye(m,n) 生成和矩阵B同样位数的矩阵： A=zeros(size(B),3,随机元素矩阵 若矩阵随机元素满足0,1区间上的均匀分布 生成nm阶标准均匀分布伪随机数矩阵： A=rand(n,m) 生成nn阶标准均匀分布伪随
2、机数方阵： A=rand(n),4,对角元素矩阵 已知向量生成对角矩阵： A=diag(V) 已知矩阵提取对角元素列向量： Vdiag(A) 生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵： A=diag(V,k),5,例：diag( )函数的不同调用格式 C=1 2 3; V=diag(C) % 生成对角矩阵 V = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 V1=diag(V) % 将列向量通过转置变换成行向量 V1 = 1 2 3 C=1 2 3; V=diag(C,2) % 主对角线上第 2条对角线为C的矩阵 V = 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0
3、0 0 0 0,6,生成三对角矩阵: V=diag(1 2 3 4)+diag(2 3 4,1)+diag(5 4 3,-1) V = 1 2 0 0 5 2 3 0 0 4 3 4 0 0 3 4,7,Hilbert矩阵及逆Hilbert矩阵 生成n阶的Hilbert矩阵： A=hilb(n) 求取逆Hilbert矩阵： B=invhilb(n),8,Hankel(汉克 ) 矩阵 其中：第一列的各个元素定义为C向量，最后一行各个元素定义为R。H为对称阵。 H1=hankel(C) 由 Hankel 矩阵反对角线上元素相等得出一下三角阵均为零的Hankel 矩阵,9,Vandermonde(范
4、德蒙)矩阵,10,伴随矩阵 其中：P(s)为首项系数为1的多项式。,11,例：考虑一个多项式2*x4+4*x2+5*x+6，试写出该多项式的伴随矩阵。 P=2 0 4 5 6;A=compan(P) A = 0 -2.0000 -2.5000 -3.0000 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0,12,符号矩阵的输入 数值矩阵A转换成符号矩阵： B=sym(A) 例： A=hilb(3) A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 B=sym(A) B = 1, 1
5、/2, 1/3 1/2, 1/3, 1/4 1/3, 1/4, 1/5,13,4.1.2 矩阵基本概念与性质,行列式 格式 ：d=det(A) 例：求行列式 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; det(A) ans = 0,14,例： tic, A=sym(hilb(20); det(A), toc ans = 1/237745471676853450909164424342761644017541983775348649303318533123441975931064458518758576681657377344056575986726
6、5558971765638419710793303386582324149811241023554489166154717809635257797836800000000000000000000000000000000000 elapsed_time = 2.3140 高阶的Hilbert矩阵是接近奇异的矩阵。,15,矩阵的迹 格式： t=trace(A) 矩阵的秩 格式：r=rank(A) 用默认的精度求数值秩 r=rank(A， ) 给定精度下求数值秩 矩阵的秩也表示该矩阵中行列式不等于0的子式的最大阶次。可证行秩和列秩（线性无关的）应相等。,16,例 A=16 2 3 13; 5 11
7、10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; rank(A) ans = 3 该矩阵的秩为3，小于矩阵的阶次，故为非满秩矩阵。 例 H=hilb(20); rank(H) 数值方法(不准确？） ans = 13 H=sym(hilb(20); rank(H) % 解析方法，原矩阵为非奇异矩阵 ans = 20,17,矩阵范数,18,矩阵的范数定义： 格式： N=norm(A) 求解默认的2范数 N=norm(A，选项) 选项可为1,2,inf等,19,例：求一向量、矩阵的范数 a=16 2 3 13; norm(a), norm(a,2), norm(a,1), norm(a,Inf)
8、 ans = 2.092844953645635e+001 2.092844953645635e+001 3.400000000000000e+001 1.600000000000000e+001 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; norm(A), norm(A,2), norm(A,1), norm(A,Inf) ans = 34 34 34 34 符号运算工具箱未提供norm( )函数，需先用double( )函数转换成双精度数值矩阵，再调用norm( )函数。,20,特征多项式 格式： C=poly(A) 例： A=16 2 3 1
9、3; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; poly(A) 直接求取 ans = 1.000000000000000e+000 -3.399999999999999e+001 -7.999999999999986e+001 2.719999999999999e+003 -2.819840539024018e-012 A=sym(A); poly(A) 运用符号工具箱 ans = x4-34*x3-80*x2+2720*x,21,矩阵多项式的求解,返回n次多项式在x处的值, x可以是一个矩阵或者一个向量,在这两种情况下，polyval计算在x中任意元素处的多项式a的估值
10、.,22,X=1 1;2 2,p=poly(X),C1=poly(p,X),C2=polyvalm(p,X),C1= -2 -2 -2 -2,C2= 0 0 0 0,23,符号多项式与数值多项式的转换 格式： f=poly2sym(P) 或 f=poly2sym(P,x) 格式： P=sym2poly(f),24,例： P=1 2 3 4 5 6; % 先由系数按降幂顺序排列表示多项式 f=poly2sym(P,v) % 以 v 为算子表示多项式 f = v5+2*v4+3*v3+4*v2+5*v+6 P=sym2poly(f) P = 1 2 3 4 5 6,25,矩阵的逆矩阵 格式： C=
11、inv(A) 例： format long; H=hilb(4); H1=inv(H) H1 = 1.0e+003 * 0.01600000000000 -0.11999999999999 0.23999999999998 -0.13999999999999 -0.11999999999999 1.19999999999990 -2.69999999999976 1.67999999999984 0.23999999999998 -2.69999999999976 6.47999999999940 -4.19999999999961 -0.13999999999999 1.6799999999
12、9984 -4.19999999999961 2.79999999999974,26,检验： H*H1 ans = 1.00000000000001 0.00000000000023 -0.00000000000045 0.00000000000023 0.00000000000001 1.00000000000011 -0.00000000000011 0.00000000000011 0.00000000000001 0 1.00000000000011 0 0.00000000000000 0.00000000000011 -0.00000000000011 1.000000000000
13、11 计算误差范数： norm(H*inv(H)-eye(size(H) ans = 6.235798190375727e-013 H2=invhilb(4); norm(H*H2-eye(size(H) ans = 5.684341886080802e-014,27, H=hilb(10); H1=inv(H); norm(H*H1-eye(size(H) ans = 0.00264500826202 H2=invhilb(10); norm(H*H2-eye(size(H) ans = 1.612897415528547e-005 H=hilb(13); H1=inv(H); norm(H
14、*H1-eye(size(H) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.339949e-018. ans = 53.23696008570294 H2=invhilb(13); norm(H*H2-eye(size(H) ans = 11.37062973181391 对接近于奇异矩阵，高阶一般不建议用inv( )，可用符号工具箱。,28, H=sym(hilb(7); inv(H) ans = 49, -1176, 8820, -29400, 4851
15、0, -38808, 12012 -1176, 37632, -317520, 1128960, -1940400, 1596672, -504504 8820, -317520, 2857680, -10584000, 18711000, -15717240, 5045040 -29400, 1128960, -10584000, 40320000, -72765000, 62092800, -20180160 48510, -1940400, 18711000, -72765000, 133402500, -115259760, 37837800 -38808, 1596672, -157
16、17240, 62092800, -115259760, 100590336, -33297264 12012, -504504, 5045040, -20180160, 37837800, -33297264, 11099088 H=sym(hilb(30); norm(double(H*inv(H)-eye(size(H) ans = 0,29,例：奇异阵求逆 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; format long; B = inv(A) Warning: Matrix is close to singular or badly s
17、caled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.306145e-017. B = 1.0e+014 * 0.93824992236885 2.81474976710656 -2.81474976710656 -0.93824992236885 2.81474976710656 8.44424930131968 -8.44424930131968 -2.81474976710656 -2.81474976710656 -8.44424930131968 8.44424930131968 2.81474976710656 -0.93824992236885
18、-2.81474976710656 2.81474976710656 0.93824992236885 norm(A*B-eye(size(A) 检验 ans = 1.64081513306419 A=sym(A); inv(A) 奇异矩阵不存在一个相应的逆矩阵，用符号工具箱的函数也不行 ? Error using = sym/inv Error, (in inverse) singular matrix,30,同样适用于含有变量的矩阵求逆。 例： syms a1 a2 a3 a4; C=a1 a2;a3 a4； inv(C) ans = -a4/(-a1*a4+a2*a3), a2/(-a1
19、*a4+a2*a3) a3/(-a1*a4+a2*a3), -a1/(-a1*a4+a2*a3),31,矩阵的相似变换与正交矩阵 其中：A为一方阵，B矩阵非奇异。 相似变换后，X矩阵的秩、迹、行列式与特征值等均不发生变化，其值与A矩阵完全一致。 对于一类特殊的相似变换满足如下条件，称为正交基矩阵。,32,例： A=5,9,8,3; 0,3,2,4; 2,3,5,9; 3,4,5,8; Q=orth(A) Q = -0.6197 0.7738 -0.0262 -0.1286 -0.2548 -0.1551 0.9490 0.1017 -0.5198 -0.5298 -0.1563 -0.6517
20、 -0.5300 -0.3106 -0.2725 0.7406 norm(Q*Q-eye(4) ans = 4.6395e-016 norm(Q*Q-eye(4) ans = 4.9270e-016,33, C=Q*A*Q C = 17.9251 6.4627 -4.4714 -2.0354 -0.0282 1.7194 4.6816 -5.0735 0.6800 -0.9386 1.0674 0.6631 -0.0549 0.3658 0.1776 0.2882 det(A),det(C) ans = 120 ans = 120.0000,34, trace(A),trace(C) ans
21、= 21 ans = 21.0000 rank(A),rank(C) ans = 4 ans = 4,35, eig(A), eig(C) ans = 17.8205 1.1908 + 2.6499i 1.1908 - 2.6499i 0.7979 ans = 17.8205 1.1908 + 2.6499i 1.1908 - 2.6499i 0.7979,36,例： A=16,2,3,13; 5,11,10,8; 9,7,6,12; 4,14,15,1; Q=orth(A) A为奇异矩阵，故得出的Q为长方形矩阵 Q = -0.5000 0.6708 0.5000 -0.5000 -0.223
22、6 -0.5000 -0.5000 0.2236 -0.5000 -0.5000 -0.6708 0.5000 norm(Q*Q-eye(3) % Q*Q=I ans = 1.0140e-015,37,4.2 线性方程组直接解法 4.2.1线性方程组直接求解矩阵除法,关于线性方程组的直接解法，如Gauss消去法、选主元消去法、平方根法、追赶法等等，在MATLAB中，只需用“”或“”就解决问题。它内部实际包含着许许多多的自适应算法，如对超定方程用最小二乘法，对欠定方程时它将给出范数最小的一个解，解三对角阵方程组时用追赶法等等。 格式： x=Ab,38,例：解方程组 A=.4096,.1234,.
23、3678,.2943;.2246,.3872,.4015,.1129; .3645,.1920,.3781,.0643;.1784,.4002,.2786,.3927; b=0.4043 0.1550 0.4240 -0.2557; x=Ab; x ans = -0.1819 -1.6630 2.2172 -0.4467,39,4.2.2线性方程组直接求解判定求解,40,41,例： A=1 2 3 4; 4 3 2 1; 1 3 2 4; 4 1 3 2; B=5 1; 4 2; 3 3; 2 4; C=A B; rank(A), rank(C) ans = 4 ans = 4 x=inv(A
24、)*B % AB x = -1.8000 2.4000 1.8667 -1.2667 3.8667 -3.2667 -2.1333 2.7333,42,检验 norm(A*x-B) ans = 7.4738e-015 精确解 x1=inv(sym(A)*B x1 = -9/5, 12/5 28/15, -19/15 58/15, -49/15 -32/15, 41/15 检验 norm(double(A*x1-B) ans = 0,43,原方程组对应的齐次方程组的解 求取A矩阵的化零矩阵： 格式： Z=null(A) 求取A矩阵的化零矩阵的规范形式： 格式： Z=null(A, r ),nul
25、l是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上r则求出的是一组 最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。,44,例： 判断可解性 A=1 2 3 4; 2 2 1 1; 2 4 6 8; 4 4 2 2; B=1;3;2;6; C=A B; rank(A), rank(C) ans = 2 2 Z=null(A,r) % 解出规范化的化零空间 Z = 2.0000 3.0000 -2.5000 -3.5000 1.0000 0 0 1.0000,45, x0=pinv(A)*B % 得出一个特解 x0 = 0.9542 0.7328 %全部解 -0.0763 -0.2977 验证得出
26、的解 a1=randn(1); a2=rand(1); % 取不同分布的随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0; norm(A*x-B) ans = 4.4409e-015,46,解析解 Z=null(sym(A) Z = 2, 3 -5/2, -7/2 1, 0 0, 1 x0=sym(pinv(A)*B) x0 = 125/131 96/131 -10/131 -39/131,47,验证得出的解 a1=randn(1); a2=rand(1); % 取不同分布的随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0; norm(double(A*x-B) ans = 0
27、 通解 syms a1 a2; x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0 x = 2*a1+3*a2+125/131 -5/2*a1-7/2*a2+96/131 a1-10/131 a2-39/131,48,摩尔彭罗斯广义逆求解出的方程最小二乘解不满足原始代数方程。,49,4.2.3 线性方程组的直接求解分析,LU分解,50,51,52,格式 l,u,p=lu(A) L是一个单位下三角矩阵，u是一个上三角矩阵， p是代表选主元的置换矩阵。 故：Ax=y = PAx=Py = LUx=Py = PA=LU l,u=lu(A) 其中l等于P-1 L，u等于U，所以(P-1 L)U=A,53
28、,例：对A进行LU分解 A=1 2 3; 2 4 1; 4 6 7; l,u,p=lu(A) l = 1.0000 0 0 0.5000 1.0000 0 0.2500 0.5000 1.0000 u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000 p = 0 0 1 0 1 0 1 0 0,54, l,u=lu(A) lP-1 L l = 0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0 u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000,
29、55,QR分解 将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。 求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。,格式： Q,R = qr(A),56,例： A = 1 2 3;4 5 6; 7 8 9; 10 11 12; Q,R = qr(A) Q = -0.0776 -0.8331 0.5456 -0.0478 -0.3105 -0.4512 -0.6919 0.4704 -0.5433 -0.0694 -0.2531 -0.7975 -0.7762 0.3124 0.3994 0.3748 R = -12.8841 -14.5916 -16.2992 0 -1.0413 -2.08
30、26 0 0 -0.0000 0 0 0,57,Cholesky(乔里斯基 )分解 若矩阵A为 n阶对称正定阵,则存在唯一的对角元素为正的三角阵D，使得,58,格式： D=chol(A),59,例：进行Cholesky分解。 A=16 4 8; 4 5 -4; 8 -4 22; D=chol(A) D = 4 1 2 0 2 -3 0 0 3,60,利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解,（1）LU分解： A*X=b 变成 L*U*X=b 所以 X=U(Lb) 这样可以大大提高运算速度。 例：求方程组 的一个特解。 解： A=4 2 -1;3 -1 2;11 3 0; B=2
31、10 8; D=det(A) D = 0,61, L,U=lu(A) L = 0.3636 -0.5000 1.0000 0.2727 1.0000 0 1.0000 0 0 U = 11.0000 3.0000 0 0 -1.8182 2.0000 0 0 0.0000,62, X=U(LB) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.018587e-017. X = 1.0e+016 * % 结果中的警告是由于系数行列式为零产生的。 -0.4053 %
32、 可以通过A*X验证其正确性。 1.4862 1.3511 A*X % Matlab7.0显示没有解 ans = 0 8 8,63,（2）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积， 方程 A*X=b 变成 R*R*X=b 所以 X=R(Rb) （3）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR 方程 A*X=b 变形成 QRX=b 所以 X=R(Qb) 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。,64,三个变换 在线性方程
33、组的迭代求解中，要用到系数矩阵A的上三角矩阵、对角阵和下三角矩阵。此三个变换在MATLAB中可由以下函数实现。 上三角变换： 格式 triu(A,1) 对角变换： 格式 diag(A) 下三角变换： 格式 tril(A,-1) 例：对此矩阵做三种变换。,65, A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1; triu(A,1) ans = 0 2 -2 0 0 1 0 0 0 tril(A,-1) ans = 0 0 0 1 0 0 2 2 0 b=diag(A); b ans = 1 1 1,66,4.4 线性方程组的符号解法,在MATLAB的Symbolic Toolbox中提供了线性方程的符
34、号求解函数，如 linsolve(A,b) 等同于 X = sym(A)sym(b). solve(eqn1,eqn2,.,eqnN,var1,var2,.,varN ),67,例： A=sym(10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10)； b=(9;7;6)； linsolve(A,b) ? 仅支持数值型的，用double ans = 473/475 91/95 376/475 vpa(ans) ans = .99578947368421052631578947368421 .95789473684210526315789473684211 .79157894736842105263
35、157894736842,68,例： x,y = solve(x2 + x*y + y = 3,x2 - 4*x + 3 = 0,x,y) x = 1 3 y = 1 -3/2,69,4.5 稀疏矩阵技术,稀疏矩阵的建立： 格式 S=sparse(i,j,s,m,n) 生成一mxn阶的稀疏矩阵，以向量i和j为坐标的位置上对应元素值为s。 例： n=5; a1=sparse(1:n, 1:n, 4*ones(1,n), n, n) a1 = (1,1) 4 (2,2) 4 (3,3) 4 (4,4) 4 (5,5) 4,70,例： a2=sparse(2:n, 1:n-1,ones(1,n-1)
36、,n,n) a2 = (2,1) 1 (3,2) 1 (4,3) 1 (5,4) 1 full(a2) ans = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0,71,例：n=5,建立主对角线上元素为4，两条次对角线为1的三对角阵。 n=5; a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n); a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n); a=a1+a2+a2 a = (1,1) 4 (2,1) 1 (1,2) 1 (2,2) 4 (3,2) 1 (2,3) 1 (3,3) 4 (4,3)
37、1,72,(3,4) 1 (4,4) 4 (5,4) 1 (4,5) 1 (5,5) 4 full(a) ans = 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4,73,格式 A=spdiags(B,d,m,n) 生成一mxn阶的稀疏矩阵，使得B的列放在由d指定的位置。 例： n=5 b=spdiags(ones(n,1),4*ones(n,1),ones(n,1), -1,0,1,n,n); full(b) ans = 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4,74,格式： spc
38、onvert(dd) 对于无规律的稀疏矩阵，可使用此命令由外部数据转化为稀疏矩阵。 调用形式为：先用load函数加载以行表示对应位置和元素值的.dat文本文件，再用此命令转化为稀疏矩阵。 例：无规律稀疏矩阵的建立。 首先编制文本文件sp.dat如下： 5 1 5.00 3 5 8.00 4 4 2.00 5 5 0,75, load sp.dat spconvert(sp) ans = (5,1) 5 (4,4) 2 (3,5) 8 full(ans) ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 2 0 5 0 0 0 0,76,稀疏矩阵的计算： 同满矩
39、阵比较，稀疏矩阵在算法上有很大的不同。具体表现在存储空间减少，计算时间减少。 例：比较求解下面方程组n1000时两种方法的差别。,77, n=1000; a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n); a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n); a=a1+a2+a2; b=ones(1000,1); tic; x=ab; t1=toc t1 = 0.4800 a=full(a); tic; x=ab; t2=toc t2 = 1.3220,78,4.6 矩阵的特征值问题 4.6.1一般矩阵的特征值与特征向量,格式： d=eig (A) 只
40、求解特征值。 格式： V, D=eig (A) 求解特征值和特征向量。,79,例： 直接求解： A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; eig(A) ans = 34.0000 8.9443 -8.9443 0.0000,80,精确解： eig(sym(A) ans = 0 34 4*5(1/2) -4*5(1/2) 高精度数值解： vpa(ans,70) ans = 0 34. 8.944271909999158785636694674925104941762473438446102897083588981642084 -8.94427190
41、999915878563669467492510494176247343844610 28 97083588981642084,81,同时求出特征值与特征向量： 直接求解： v, d = eig(A) v = -0.5000 -0.8236 0.3764 -0.2236 -0.5000 0.4236 0.0236 -0.6708 -0.5000 0.0236 0.4236 0.6708 -0.5000 0.3764 -0.8236 0.2236 d = 34.0000 0 0 0 0 8.9443 0 0 0 0 -8.9443 0 0 0 0 0.0000 norm(A*v-v*d),82,
42、解析解： v,d=eig(sym(A) v = -1, 1, -8*5(1/2)-17, 8*5(1/2)-17 -3, 1, 4*5(1/2)+9, -4*5(1/2)+9 3, 1, 1, 1 1, 1, 4*5(1/2)+7, -4*5(1/2)+7 d = 0, 0, 0, 0 0, 34, 0, 0 0, 0, 4*5(1/2), 0 0, 0, 0, -4*5(1/2),83,4.6.2 矩阵的广义特征向量问题,若B=I，则化成普通矩阵特征值问题。 格式： d=eig (A，B) 求解广义特征值。 格式： V, D=eig (A，B) 求解广义特征值和特征向量。,84,例： 直接求
43、解： A=5,7,6,5; 7,10,8,7; 6,8,10,9; 5,7,9,10; B=2,6,-1,-2; 5,-1,2,3; -3,-4,1,10; 5,-2,-3,8; V, D = eig(A, B) V = 0.3697 -0.3741 + 0.6259i -0.3741 - 0.6259i 1.0000 0.9948 -0.0674 - 0.2531i -0.0674 + 0.2531i -0.6090 0.7979 0.9239 + 0.0264i 0.9239 - 0.0264i -0.2316 1.0000 -0.6599 - 0.3263i -0.6599 + 0.3263i 0.1319,85,D = 4.7564 0 0 0 0 0.0471 + 0.1750i 0 0 0 0 0.0471 - 0.1750i 0 0 0 0 -0.0037 检验： norm(A*V-B*V*D) ans = 1.3897e-014 符号运算工具箱中的eig( )函数不支持广义特征值的运算。,86,E N D,