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1、,附录： 张量的概念与坐标变换,张量,张量是对矢量的一种描述：一个矢量如果能用30=1个分量描述则称为零阶张量，即标量。一个矢量如果能用31=3个分量描述则称为一阶张量，如速度、位移等；一个矢量如果能用32=9个分量描述则称为二阶张量，如应力、应变等。,1.定义： 一些矢量的分量（如力）和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换有关，满足坐标变换公式的物理量称为张量。,把 x, y , z 轴，记为x1, x2, x3, 矢量的三个坐标通常可简记为 xi（i=1，2，3）,各轴的基矢量记为e1,e2,e3,可简记为ei, 在此坐标系中的矢量v的分量记为v1, v2, v3, 可简记为vi, 应力分量记
2、为可简记为ij.,力 f在位移s上做功,最后一个等式在符号 下fi si有两个同样的指标i。,约定凡在一项中有一对相同的指标，就认为是对这一指标全程求和，求和符号略去不写：,3. Einstein 求和约定,2. 指标符号,求和所得到的结果，不再含有这一指标，这一指标换为其它的指标也不会影响其结果，这一指标称为哑标。但重复次数超过两次则不再具有求和意义。,一项中有其它符号的指标，通常有泛指的意义，称为自由标。,应特别强调以下几点： (1)对于不只重复一次的指标，求和约定无效，如要表示求和，仍需借助求和符。当自由指标恰好在同一项中重复出现一次时，为避免混淆，应声明对该指标不求和。,(2)哑标的有
3、效范围仅限于本项。,(3)多重求和可采用不同的哑标表示。,(4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名，即把表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字，而不会影响它的含义。,将求导符号简记为,梯度可记为,则散度可记为,3求导数的简记方法,微分算符简记为,记基矢的标积为,4. Kronecker 符号,其中,具有如下性质：,矢量的点积：一个矢量和另一个矢量的点积可以决定一个标量，也可以用指标符号标记,5.置换符号,（1）矢量的叉积,用置换符号两基矢量的混合积记为(eiej）ek= eijk,（2）行列式,（非和）,设新坐标系的新坐标轴的基矢 e1 、 e2 、e3对原基矢e1、e2和e
4、3的变换矩阵为lij= l，矢量为一阶张量，矢量分量的坐标变换公式为 vi = l vi,变换式用指标符号记为,6.张量的坐标变换,(1)矢量的坐标变换,(1)应力的坐标变换,面上的总应力,面上的总应力在i 面上的三个分量,应力的坐标变换公式为,则坐标变换公式 ij=l ij lT,以平面应力状态极坐标为例，新坐标轴的基矢量为e1、 e2 对原坐标基矢量为e1、 e2 的变换矩阵式为,平面应力状态的主应力和主方向可按照材料力学的方法求得，空间应力状态可按照线性代数的方法。,应力分量根据切应力互等定理，为对称张量。 当坐标系变化时，应力分量也发生变化，当坐标系转动到某些位置时，应力分量中切应力为零，仅有正应力不为零，这些正应力称为主应力。这时坐标系所指方向为主方向。从变换的角度来说，主应力是应力矩阵的特征值，主方向是特征向量的方向。 可参看Mathcad.,