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1、CH 11 振 动,机械振动,1、定义：物体在平衡位置附近所做的周期性的往复运动，叫做机械振动通常简称振动,2.特点:,(1)平衡位置 振动停止时物体所在的位置.,-“对称性”,(2)往复运动,-“周期性”,尝试再举一些例子？,机械振动是生活中常见的运动形式,被手拨动的弹簧片,小鸟飞离后颤动的树枝,棒的振动,音叉,膜的振动,扬声器,弦的振动,小提琴,复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加,1简谐振动,简谐振动的基本特征 简谐振动的合成,简谐振动的描述,一、简谐振动的特征,任何一个稍微偏离平衡状态的稳定系统，都可看成简谐振子。对于物理学中的许多问题，谐振子都可以作为一个近似的或相当精确的模型,
2、晶格点阵,简谐振动的动力学方程,质点所受的力（回复力）与对平衡位置的位移成正比且反向，或质点的势能与位移（角位移）的平方成正比的运动，就是简谐振动。这种振动系统称为谐振子。,其解：,弹性力,简谐振动凡是以时间的正弦或余弦函数表 示的运动都是简谐振动,简谐振动的运动学描述,结论：,以弹簧振子为例,系统位移的运动规律,其中 由系统自身决定,简谐振动的速度,简谐振动的加速度,简谐振动的加速度为变加速度,位移与加速度反相,x-t,v-t,a-t, 简谐振动的势能：,简谐振动的能量,以水平的弹簧振子为例, 简谐振动的动能：, 简谐振动的总能量,弹性力是保守力总机械能守恒， 即总能量不随时间变化,势能的时
3、间平均值:,动能的时间平均值:,这些结论同样适用于任何简谐振动,* 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。,* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比,* 即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半,结论：,简谐振动的周期和频率、角频率,初相位,-振幅 振动中最大位移量,简谐振动的振幅、相位、初相位,简谐振动除用余弦函数形式表达外还可以用正弦函数,相位,角频率,相同的运动状态对应相位差为 的整数倍,要由 的方向唯一确定,例题11.1-1 P78,两个同频率简谐振动的相位差,二、简谐振动的旋转矢量表示法,以O点起始点作一矢量,长度等于简谐振
4、动的振幅,矢量在Oxy平面内绕O点逆时针匀速旋转 其角速度与简谐振动的角频率,旋转矢量，或振幅矢量,t时刻，旋转矢量在x轴上的投影为,对应：旋转矢量端点M在x轴上的投影 P在x轴上以O为原点简谐振动,M点的速率为,P点的速率为,M点的加速度为向心加速度,P点的加速度为,例题11.1-2 P81,三、简谐振动的典型问题,附录：,1）力矩,: 力臂,力 在转动平面内. 对转轴 Z 的力矩,称为刚体对转轴的转动惯量,2）转动惯量：组成刚体的各质元的质量与各自到转轴的距离的平方的乘积,3）转动定律,刚体在总外力矩Mz作用下，所获得的角加速度与总外力矩成正比，与转动惯量成反比 .,三、简谐振动的典型问题
5、,刚体绕过O的水平轴小角度摆动,刚体定轴转动定律,负号表示：力矩总是使转动回到平衡位置,角度很小, 复摆,令,解得,可见复摆的定轴小角度转动为简谐振动,如果复摆是一个均匀细杆，长l，则, 单摆,在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动角频率,振动的周期分别为：,当 时,转动定律,振动的角频率、周期完全由振动 系统本身来决定。,简谐振动的合成,一、同方向、同频率简谐振动的合成,代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位,结论：,合振幅,仍然是同频率的简谐振动,式中：,可见，当,合振幅最大,几何方法：,上面得到：,讨论一,合振幅最大,当 称为干涉相长,讨论二,当 时，
6、 称为干涉相消,讨论三,一般情况：,附 同方向的N个同频率简谐振动的合成 （用矢量合成法）,设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量 其表达式为：,上两式相除得,在OCP中：,合振动的表达式,即各分振动同相位时，合振动的振幅最大,讨论1：,当,讨论2：,即： 这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多 边形，合振动的振幅为零,以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉 和衍射规律时有重要的应用,当 且,二、同方向、不同频率简谐振动的合成,利用三角函数关系式：,合成振动表达式：,为了简单起见，先讨论两个振幅相同， 初相位也相同，在同方向上以不同频 率振动的合成。其振动表达式分别为：,附录：三角函数关系
7、式的证明,合成振动表达式：,当 都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分， 合成振动是以 为角频率的谐振动,其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种 合振动忽强忽弱的现象称为拍。,单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频,显然，拍频是振动 的频率的两倍 即拍频为：,三、振动方向垂直的同频率简谐振动的合成,设一个质点同时参与了两个振动方向相互 垂直的同频率简谐振动，即,具体形状由相位差 决定,质点的运动方向与 有关。当 时， 质点沿顺时针方向运动；当 时， 质点沿逆时针方向运动,当 时，正椭圆退化为圆,椭圆方程,讨论1,在 直线上的运动,讨论2,所以是
8、在 直线上的振动。,讨论3,所以是在X轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。,质点的轨道是圆。 X和Y方向的相位差决定旋转方向。,讨论5,讨论4,所以是在X 轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。,讨论6,为任意椭圆方程,综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆,四、振动方向垂直、频率不同的简谐振动的合成,一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动 下面就两种情况讨论,视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨
9、道将不断地从下图所示图形依次的循环变化,当 时是顺时针转 时是逆时针转,2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比， 合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有 周期-运动轨迹的图形称为李萨如图形,用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：,在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率,2 阻尼振动, 谐振子的阻尼振动, 无阻尼的自由振动,振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，与其方向相反,弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程,称 为振动系统的固有角频率，称 为阻尼系数,令,（1）阻尼较小时， 此方程的
10、解：,这种情况称为欠阻尼,阻力使周期增大,由初始条件决定A和初相位 ,设,即有：,（2）阻尼较大时， 方程的解：,是积分 常数，由初始条件 来决定，这种情况 称为过阻尼,无振动发生,称之为临界阻尼情况。它是振动系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，应用在天平调衡中,是由初始条件 决定的积分常数,（3）如果 方程的解：,是从有周期性因子 到无周期性的临界点,3 受迫振动和共振, 谐振子的受迫振动,设强迫力,阻尼力：,是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程 由微分方程理论：,非齐次微分方程的通解= 齐次微分方程的解+非齐次的一个特解,其解为：,经过足够长的时间，称为定态解：,该等
11、幅振动的角频率就是强迫力的频率；,稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：,讨论：,较小,若 很小， 很大。,求振幅 对频率的极值， 得出,共振的角频率。,共振的振幅。,振幅有极大值：, 共振,当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的 位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振， 简称共振（resonance)。,共振的角频率。,代入,共振时的初相位,当 弱阻尼时,共振发生在固有频率处，称为尖锐共振。,受迫振动相位落后于强迫力相位 ，即振动速度 与强迫力同相位，即外力始终对系统作正功，对 速度的增大有最大的效率振动振幅急剧增大的原因,随着振幅的增大，阻力的功率也不断增大，最后与强迫力的功率相抵，从而使振幅保持恒定。从能量观点看在共振时，这能量转变为共振质点的能量，也叫共振吸收,振动振幅急剧增大的原因,