统计力学习题.doc

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1、统计力学习题精选（国际单位制。参考积分表：; ,。参考常数为：, , 维恩定律的常数b=3(mmK)。）选选择题 1在常温下，由能量均分定理，一般固体的定容热容量为 （ ）A, B, C, D, 不确定答案：C2下面不属于经典极限条件表述的是 （ ）A, 1 B, 分子间的平均距离远大于分子的热平均波长C, D, 能级间距远小于kT答案：D3下面叙述不正确的是 （ ）A，光子气体和自由电子气体热容量的研究表明，对其微观粒子的正确描述均是波粒二象性。B，在考察自由电子气体对热容量的贡献时，能量均分定理仍然适用。C，固体热容量的爱因斯坦模型相较于经典理论，其合理的部分在于引入了原子振动的能量是量子

2、化的概念。 D，麦克斯韦速度分布律只对平衡状态下的理想气体成立。得分答案：B4. 下列那种情况下，实际气体一般将越来越偏离理想气体，其状态方程也越来越偏离理想气体的状态方程 （ ）A, 气体越来越稀薄 B，温度愈来愈低C, 分子的质量m愈大 D， 越来越小于1答案：B5. 由平衡热辐射理论，目前发现的温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度接近为 （ ） A, B, C, D, 答案：C6. 按波长分布太阳辐射能的极大值在处，假设太阳是黑体，太阳表面的温度为 （ ）A, 3000K B, 6000KC, 9000K D, 以上都不对。答案：B7由热力学第一定律可以判断理想气体一微小过程中dQ、d

3、E、dA（其中dA表示系统对外做功）的正负,下面判断中错误的是 （ ）(A) 等容升压、等温膨胀 、等压膨胀中dQ0；(B) 等容升压、等压膨胀中dE0；(C) 等压膨胀时dQ、dE、dA同为正；(D) 绝热膨胀时dE0.答案：D8. 描述系统状态的宏观量一般可以分为广延量和强度量，并且存在一一对应的共轭关系，下面给出的宏观量组合中，相互共轭正确的是： （ ）A，内能与温度，粒子数与化学势B，比容与压强，长度与张力C，熵与温度，磁场强度与总磁矩D，体积与压强，数密度与化学势答案：C9下面关于热力学第二定律的表述正确的是A孤立系统熵永远是增加的B不可能把热从低温物体传到高温物体C不可能从单一热源

4、取热使之完全变为有用的功D绝热系统熵永不减少答案：D10当系统温度趋向于绝对零度时，费米子不能完全“沉积”在基态是由于 ( )A，泡利不相容原理 B，全同性原理C，粒子间没有相互作用D，费米气体是简并气体答案：A11热力学极限指： ( )A， N有限，V有限， B， ，V有限，有限C， ， D， ，有限答案：D12孤立系统指 （ ）A，与外界无物质和能量交换的系统B，与外界有能量交换但无物质交换的系统C，能量守衡的系统D， 恒温系统答案：A13摩尔数相同的两种理想气体，一种是氦气，一种是氢气，都从相同的初态开始经等压膨胀为原来体积的2倍，则两种气体 （ ）A， 对外做功相同，吸收的热量不同.B

5、， 对外做功不同，吸收的热量相同.C， 对外做功和吸收的热量都不同.D， 对外做功和吸收的热量都相同.答案：A14盐水溶液称为 （ ） A， 单元双相系B，二元单相系C，二元双相系D，一元单相系答案：B15在量子统计描述中，微观粒子的量子态由一套量子数确定 （ ）A，量子数数目与宏观系统的粒子个数相同B，量子数数目与相空间维数相同C，量子数数目正比于系统能量D，量子数数目取决于微观粒子的空间自由度与内秉自由度之和答案：D16孤立系统处于平衡状态时包含的微观状态数（ ）A，最大B，最小C，视不同物质系统而定D，与系统达到平衡态的过程有关答案：A17一级相变和二级相变发生时（ ）A，都有相变潜热B

6、，都没有相变潜热C，一级相变有潜热，二级相变无潜热D，一级相变无潜热，二级相变有潜热答案：CpVO图1 18如图1所示的是理想气体的两个不同温度的等温过程，则 （ ） A ，过程的温度高，过程的吸热多.B ，过程的温度高，过程的吸热多.C ，过程的温度高，过程的吸热多.D ，过程的温度高，过程的吸热多.答案：C19 统计物理解决问题时需要知道 （ ）A，系统的微观状态B，系统的宏观状态C，系统的微观状态和系统的宏观状态D，宏观状态对应的可能微观状态的数目答案：D填空题 1 准静态过程的体积功为W = ， 电极化功W = ，磁化功为W = 。答案：；（P为总电矩）；（m为总磁矩）2对单元闭系dH

7、= ，dF= .答案：dH= Tds+Vdp ，dF=-SdT-PdV ，3焓作为S，P的函数，是特性函数，已知H、S、P，则= ，F= ，G= 。答案： 4已知E为电场强度，是总电矩，试写出麦氏关系式:（）P= .答案： 5 如右下图，当一系统沿acb从a态到达b态时，吸热80J，对外作功30J。则若系统沿adb从a态到b态，它对外作功为10J时，吸热为 J。答案：60J6吉布斯函数G作为T、P的函数， 是特性函数。已知G、T、P，则 = ， F= ， H= 。答案： 7不可逆过程热力学第二定律的积分表达式是 ，微分表达式是 ，答案： ， 8已知H为磁场强度，m是总磁矩，试写出麦氏关系式（）

8、T ，答案： 9温度的物理意义是 。答案：10设液相为相，气相为相，则液滴形成的力学平衡条件是 。答案：11盐的水溶液单相存在时， ；f 。答案：12在双原子分子能量中，如果有五个平方项，则分子数为N的双原子分子理想气体的内能U= ;定压热容量CP= 答案：13负温度状态是 。 答案：14费米气体中的化学势是 。答案：15设液相为相，气相为相，则液滴形成的力学平衡条件是 。答案：16热力学平衡态下的强度量是系统微观量在 分布下的 平均。 答案：最概然 统计 17根据朗道的连续相变理论，孤立系统总是从 趋向 演化，直到达到最 的平衡态。答案：有序 无序 无序18热力学第零定律：两物体同时与第三个

9、物体热平衡时，这两个物体彼此之间也热平衡。 热力学第一定律：在一个热力学过程中，系统吸收的热量等于系统内能的增加和系统对外所做的功。 热力学第二定律：不可能从单一热源取热使之完全转化为功而不引起其他的变化（不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他的变化）。 热力学第三定律：不可能用有限的手续使系统的温度达到绝对零度。19卡诺循环包括以下四个准静态过程 。答案：（1）等温过程（2）绝热膨胀（3）等温压缩（4）绝热压缩20 卡诺热机的效率为 。答案：简答题和论述题1 试述玻尔兹曼气体是非简并气体而玻色气体和费米气体是简并气体。参考答案：答案要点1 写出按单粒子能级求和的配分函数2 讨论非简并

10、和简并条件3 分析非简并和简并的物理意义。2试分别从模型和统计表达式的角度，比较理想气体和光子气体的异同。参考答案：理想气体物理模型：粒子的能量描述： 态密度：服从量子相格统计的极限 粒子在态上的分布：服从玻尔兹曼分布光子气体普朗克模型：粒子的能量描述：玻色粒子，能量服从德布罗意假设: 量子态密度：服从驻波条件 粒子在量子态上的分布：服从玻色分布（光子数不守恒，）3简述平衡态统计力学中的最概然分布理论求热力学量的基本思路。参考答案： 1，求能级和量子态分布2，求配分函数3，带入基本热力学函数统计表达式：内能，熵和物态方程4，由热力学关系，确定其他所有平衡态性质。4什么是温度？建立一种温标需要包

11、含哪三要素？参考答案：温度的热力学定义：处于同一热平衡的各个热力学系统，必定有某一宏观特征彼此相同，用于描述此宏观特征的物理量-温度建立温标三要素：选择测温物质的测温属性来标志温度，选定固定点，对测温属性随温度变化关系作出规定。5 什么是熵增原理？参考答案：熵增原理：系统经可逆绝热过程后熵不变，经不可逆绝热过程后熵增加，在绝热条件下熵减少的过程是不可能实现的。6什么是近独立子系？近独立子系有哪三种分布？他们个适用于什么样的系统？写出相应的分布律参考答案：如果将一个系统分成许多部分（子系），当子系间相互作用的能量与子系本身的能量相比是可以忽略不计时，这样的子系叫近独立子系。对费米系统有费米-狄拉

12、克分布对玻色系统有玻色-爱因斯坦分布对粒子可以分辨的系统有玻尔兹曼分布7什么是能量均分定理？ 参考答案：能量均分定理是说，当系统处于平衡态时，它的能量表达式中每一个平方项的平均值等于KT/2。8试述系综及宏观热力学量可用相应微观量的系综平均计算。 参考答案：计算题1试证明在体积V内，在到的能量范围内，非相对论性三维自由粒子的量子态数为： 2 证明相变是一摩尔物质的变化为（L为相变潜热）。如果其中一相为气体，且可视为理想气体，那么上式可以简化为。参考答案：义相变是在等温等压下化学势保持不变的过程，所以根据克拉珀龙方程： 有若一相为气体（第二相），则若气体可视为理想气体，则所以3（1）利用欧拉齐次

13、函数定理证明 式中G为系统吉布斯函数，是第 i个组员的化学势， 是第 i个组员的摩尔数。 （2）由此证明参考答案：（1）根据欧拉齐次函数定理，若为的n次齐次式，则G为系统各组分摩尔数 的一次齐次式，所以式中 为第i个组分的化学势。（2）4试证明，单位时间碰到单位面积器壁上的，理想气体中速率介于到之间的分子数为： 5（1）简述焦耳-汤母孙多孔塞实验的主要内容。 （2）写出焦耳-汤母孙系数 的定义式。 （3）证明参考答案：（1）焦耳-汤姆孙多孔塞实验是在一装有多孔塞的管道中，让气体由一端经过多孔塞流入另一端，观察气体温度随压强的变化。 （2） （3）由TdS方程和焓的微分表达式有 对等焓过程知 利

14、用三轮换关系，既有 6一块晶体包含个原子，原子的自旋磁矩为，被置于均匀磁场中，这些原子可取三个取向：平行、垂直和反平行磁场。求（a）晶体的配分函数（b）晶体的磁矩（c）高温弱场和低温强场的磁矩参考答案：（a）将原子在外场中能量看作是内能一部分，晶体配分函数为：（b）从热力学方程晶体磁矩：（c）高温弱场时即晶体磁矩M按（3）式子求极限：当低温强场时，此时7对某固体进行测量得， ， 其中A，B为常数，求该固体的物态方程。参考答案： 设：VV(P、T)法一：由保持P不变，分离变量积分得 V= （） 保持T不变，上式对P求偏导，得 代入（）式得 V=AT2-BPT+C。 法二：由保持T不变，分离变量积

15、分得 V= （） 保持P不变，上式对T求偏导得 代入（）式得 V=-BTP+ AT2+C8铜棒的一端与127的无穷大热源接触，另一端与27的无穷大热源接触。当棒在稳定导热时，传导的热量为5016J，试求：棒和热源的总熵变。 参考答案： 9平衡热辐射是由光子组成的理想玻色气体，试计算其ln(其中为巨配分函数)，并进而计算内能和压强。101mol理想气体分别通过下述三个可逆过程 (1) 先通过等压过程再通过等温过程； (2) 先通过等容过程再通过等温过程； (3) 先通过等温过程再通过绝热过程。 从相同的初态到相同的未态，求体系的熵的变化。标准答案：PV(1): (2) (3) =11一均匀杆的两

16、端分别与温度为和的大热源接触并达到稳定态，今取去与杆接触的热源，经过一段时间后杆趋于平衡态，设杆的质量为m,定压比热容为常数，求这一过程熵的变化是多少？标准答案： 取一小段dx，则因m=(S是杆的截面积)，dm=，dx小段杆的熵变为 整根杆的熵变为 =12 假设一容器内盛有理想气体,容器内有一活门把它分成两部分，每部分的体积分别为和；内含理想气体的物质的量分别为和，两边温度相等。若，则活门开启后，将出现理想气体的扩散。求理想气体扩散前后熵的变化。标准答案：活门开启，气体扩散并最后达到平衡态后的总熵是 。扩散过程前后的熵的变化是 利用不等式 可得 以上说明扩散过程是个绝热的不可逆过程，满足熵增加

17、原理。13试求理想气体的体胀系数，压强系数卢和等温压缩系数T .标准答案：已知理想气体的物态方程由此易得： 14证明任何一种具有两个独立参量T，p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数T，根据下述积分求得： 如果，试求物态方程 标准答案：以T，p为自变量，物质的物态方程为V=V（T，P），其全微分为 全式除以V，有根据体胀系数a和等温压缩系统定义，可将上式改为：上式是以T，P为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分有： 若，可表为从（）积分到（），再积分到（T，P），相应地体积由最终变到V，有 即(常量)，或15 在0和l pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为，

18、=4.8510-5K-1和T =7.810-7pn-1和T可近似看作常量今使铜块加热至10问： (a) 压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变?(b) 若压强增加100pn，铜块的体积改变多少?标准答案： (a)： 如系统的体积不变，dp与dT的关系为。将上式积分可得：将所给数据代入可得：(b)：由将所给数据代入可得：16求证：(i) ； (ii) 标准答案：焓的全微分为令=0，得内能的全微分为令=0，得17已知,求证 标准答案：对复合函数求偏导数，有如果=O，即有=0式（2）也可以用雅可比行列式证明： = = =18试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积

19、的增减标准答案：热力学偏导数 描述等压过程中熵随体积的变化率，用描述等压下温度随体积的变化率。为求出这两个偏导数的关系，对复合函数 （1）求偏导数，有 （2）因为CP0，T0，所以的正负取决于 的正负式（2）也可以用雅可比行列式证明： = = =19求证：标准答案：自由能是以为自变量的特性函数，求对的偏导数，有 （1）但自由能的全微分可得=， =- （2）代入（1），即有-=-T20两相共存时，两相系统的定压热容量Cp=T，体胀系数和等温压缩系数均趋于无穷，试加以说明标准答案： 我们知道，两相平衡共存时，两相的温度，压强和化学式必须相等。如果在平衡压强下，令两相系统准静态地从外界吸取热量，物质

20、将从比熵较低的相准静态地转移到比熵较高的相，过程中温度保持为平衡温度不变。两相系统吸取热量而温度不变表明他的热容量 CP趋于无穷。在上述过程中两相系统的体积也将变化而温度不变，说明两相系统的体胀系数 也趋于无穷。如果在平衡温度下，以略高于平衡压强的压强准静态地施加于,物质将准静态地从比容较高的相转移到比容较低的相，使两相系统的体积改变。无穷小的压强导致有限的体积变化说明，两相系统的等温压缩系数也趋于无穷。21试证明在相变中物质摩尔内能的变化为。 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简 标准答案： 发生相变物质由一相转变到另一相时，其摩尔内能 摩尔焓 和摩尔体积 的改变满足

21、平衡相变是在确定的温度和压强下发生的，相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量，即相变潜热L：克拉伯龙方程给出即将（2）和（4）代入（1），即有如果一相是气体，可看作理想气体，另一相是凝聚相，其摩尔体积远小于气相的摩尔体积，则克拉伯龙方程简化为式（5）简化为22试从式出发，以p、S为自变量，证明从而证明：标准答案：（10.1.10）证明了系统的熵，温度，压强和体积对其平均值有偏离的概率为 由于简单系统只有两个独立变量，上式四个偏离变量中只有两个可以独立改变。如果选和为自变量，利用 可以将式（1）表示为 上式指出系统熵对其平均值具有偏差，压强具有偏差的概率可以分解为依赖于和的两个独立的高

22、斯分布的乘积，将上式与高斯分布的标准形式比较，知24利用式求得的、和证明：标准答案：式（10.1.12）给出 以为自变量，可将S展开为 以乘式乘式（2），求平均并利用（1），有 以乘式（2），同理得 以为自变量，可将P展开为 以乘式（5），求平均并利用（1），有以乘式（2），同理得25试证明，对于磁介质，有并据此证明 ， ， 标准答案：式（10.1.11）给出简单系统温度和体积具有张落T，V的概率为 根据式（2.7.4）磁介质与简单系统热力学量有如下的对应关 因此，磁介温度有张落T，介质磁距有涨落的概率为 将上式与附录（B.29）比较，知 26证明：在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的

23、量子态数为。（习题6.1）标准答案： （1）进行变量代换：，代入（1）式对积分 证毕。27试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到的能量范围内，量子态数为。（习题6.2）标准答案：一维自由粒子 ， （1）除外，是二度简并的：进行变量代换，考虑到0的能级简并度：证明原式成立，证毕。（，由（1）式，有0）28试证明,对于二维自由粒子,在面积内,在到的能量范围内,量子态数为。（习题6.3）标准答案：二维自由粒子，用极坐标，面元为：把P变为：对积分：证明了原式成立。证毕。29在极端相对论情况下，。试求在体积V内，在到的能量范围内三维粒子的量子态数。（习题6.4）标准答案：解：自由粒子处在体积V中，又

24、处在P-P+dP球壳中的量子态数： （1）用变量代换，代入上式：。答：粒子处在能量范围内的三维粒子的量子态数为：30试根据公式证明，对于非相对论粒子，有上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。（习题7.1）标准答案：证明：，则由，考虑，则 成立。证毕。31试根据公式证明，对于相对论粒子有上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。（习题7.2）标准答案：对极端相对论粒子由，考虑，则成立。证毕。32气体以恒定的速度沿z轴方向作整体运动，试证明，在平衡态下分子动量的最概然分布为： （习题7.8）证明：我们推导的分子动量的最概然分布是在系统的静止坐标系中进行的。所以我们在系统上固

25、着一坐标系，则分子的最概然分布为 （1）现在我们在静止坐标系上观察，气体以恒定速度沿轴作整体运动。令则 (2)两坐标系下动量的微分相等，,将（2）式中各量代入（1）式，得分子在静止坐标系中的最概然分布为：原式成立。证毕。33气体以恒定速度v0沿着z轴方向作整体运动，求分子的平均平动能量。（习题7.9）解：由7.8题知，当气体以恒定速度以沿z轴方向作整体运动时分子动量的最概然分布满足总分子数为的守恒条件代回最概然分布，麦氏动量概率分布一个分子的平动能量为：一个分子的平均能量为： (4)以上积分有三种类型（1）（2）（3） （5）所以一个分子的平动能量为34表明活性物质的分子在液面上作二维自由运动

26、，可以看作二维气体，试写出在二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率。（习题7.10）解：考虑处于长度为的二维容器中自由电子气的运动状态。将周期性边界用于二维自由电子气，该粒子在两个方向动量的可能值为，0， ，0， 在宏观尺度下，粒子的动量值和能量值是准连续的，这时往往考虑在面积内，动量在到，到的动量范围内的自由粒子量子态数。在到的范围内可能的数目为在到的范围内可能的数目为在面积内，在到，到的动量范围粒子量子态数为此即二维自由电子气的简并度，由玻耳兹曼分布，处在面积内，在的动量范围内分子数为参数由总分子数决定，利用，得，代回（1），得质心动量在范围内的分子数为如

27、果用速度作变量，作代换，可得在范围内的分子数为此即二维自由电子气的麦氏速度分布。对应的麦氏速度分布函数满足条件在速度空间的平面极坐标中，麦氏速度分布律两边完成速度空间所有方向的积分，此即在单位面积内，速率在范围内的分子数，称为麦氏速率分布律 （3）函数称为速率分布函数，满足条件麦氏速度概率分布：，麦氏速度概率密度分布：，麦氏速率概率分布：麦氏速率概率密度分布：；最可几速率：使速率分布函数取极大值的速率。对关于求导，令取，得最可几速率平均速率：利用积分，则方均根率：利用积分，则方均根率满足，于是，或。35试根据麦氏速度分布律证明，速度和平动能量的涨落为：答案：（习题712）（1）用麦氏速率概率分

28、布律： （1） （2） （3） （4）将（3）与（4）代入（2）得：(2)方法一将（1）式中的变量v变成；则 （5） （6）将（5）、（6）代入（1）得： （7） （8）化简（7）式为：，令：，则： （9） （10）将（9）、（10）、代入（8），得：。证明了第二次成立，证毕。方法二由，利用，则 所以总结求能量平均值的方法有（1）利用能量概率分布（2）利用速率概率分布（3）利用动量概率分布36计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算 1，温度为1000K的平衡辐射总光子的数密度； 2，温度为3K的宇宙背景辐射中的光子的数密度。答案：（习题8-7）光子属于极端相对论粒子，由习

29、题6-4的结果，光子在体积内，在到的能量范围内的量子态数为，光子在体积内，在到的频率范围内的量子态数为温度为时平均光子数为总光子数为，引入变量，上式化成，或在下，有在下，有37试根据普朗克公式求平衡辐射内密度按波长的分布：并据此证明，使辐射内能密度取极大值的波长满足方程：这个方程的数值解为x=4.9651。因此， 随温度增加向短波方向移动。答案：（习题8-8）利用，有，代入，有引入变量，使取极大的波长由下式确定令解最后的超越方程，两条曲线相交点在，得使辐射场的内能密度取极大值的为定值，这时与温度成反比，称为维恩位移定律。38按波长分布太阳辐射能的极大值在 处，假设太阳是黑体，求太阳的表面温度。

30、答案：（习题8-9）由上题所得，假设太阳是黑体，太阳表面温度近似为39试根据热力学公式及光子气体的热容量，求光子气体的熵。（习题8-10）8.4.10)给出光子气体的内能为热容量根据热力学均匀系统熵的积分表达式选择等容路径由到，即有其中已取。40（习题8-13）解：对，代入为强简并气体。对，代入为非简并气体。41银的导电电子数密度为，试求0K时电子气体的费米能级，费米速率和兼并压。（习题8-14）解：将所给参数代入=42试求在极端相对论条件下，自由电子气体在0K时的费米能量，内能和简并压。(习题8-19)解：能量动量关系态密度时自由电子气体的总数费米能量时自由电子气体的内能自由电子气体的压强4

31、3假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n，试求0K时二维电子气体的费米能量，内能和简并压。答案：(习题8-20)解：根据习题6-3的结果，在面积内，在到的能量范围内二维自由电子的量子态数为（其中2为自旋因子）考虑到下自由电子的分布费米能量由下式确定：从中解出下二维自由电子的内能利用二维自由电子内能与压强的关系，下二维自由电子的压强为44试根据热力学公式，求低温下金属中自由电子气体的熵。答案：（习题8-22）解：由(8.5.19)给出低温下自由电子气体的定容热容量根据热力学均匀系统熵的积分表达式，选择等容路径由到，即有其中已取。45 证明在正则分布中熵可表为其中是系统处在 态的概率（例题）解证

32、: 多粒子配分函数由(1)知代至(2)得;于是46 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵（例题2）解证：符号符号利用式（9.5.3）类似求47体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为和，温度为。试由正则分布导出混合理想气体的物态方程，内能和熵（例题3）解证：48 利用范氏气体的配分函数，求内能和熵解证：一般认为较小49 被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用，试用正则分布证明，二维气体的物态方程为其中为液体的面积，为两分子的互作用势解证：二维气体其中定义变量代换据式（9.5.3）50 仿照三维固体的地拜理论，计算长度为的线形原子链在高温和低温下的内能和热容量解证：一维线形原子链共有个振动，存在最大频率令高温近似低温近似其中51 仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L的线形原子链（一维晶体）在高温和低温下的内能和热容量。解证：二维：面积S内，波矢范围内辐射场振动自由度为 横波按频率分布为 纵波按频率分布为 令低温近似 高温近似 计算略52 利用德拜频谱求固体在高温和低温下的配分函数的对数，从而求内能和熵。解证：式（3.9.4）德拜频谱 对于振动 计算略高温近似， ， （计算略）53在容器中储存有种惰性单原子气体组成的混合系统，系统的温度为。气体1有个分子，气体2有个分子，气体有个分子（a）通过计算系统的配