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1、第一章 函数极限连续一. 填空题1. 已知 定义域为_.解. , , 2设, 则a = _.解. 可得=, 所以 a = 2.3. =_.解. 所以 0, b 0解. =4. 设试讨论在处的连续性与可导性.解. 所以 , 在处连续可导.5. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 解. , 所以x = 0为第一类间断点.(2) 解. f(+0) =sin1, f(0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; 不存在, 而,所以x = 0为第一类可去间断点; , (k = 1, 2, ) 所以x =为第二类无穷间断点.6. 讨论函数 在x = 0处的连
2、续性.解. 当时不存在, 所以x = 0为第二类间断点; 当, , 所以 时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点.7. 设f(x)在a, b上连续, 且a x1 x2 xn b, ci (I = 1, 2, 3, , n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个x, 使 .证明: 令M =, m =所以 m M所以存在x( a x1 x xn b), 使得8. 设f(x)在a, b上连续, 且f(a) b, 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: 假设F(x) = f(x)x, 则F(a) = f(a)a 0于是由介值定理在(a, b)内至少
3、存在一个x, 使f(x) = x.9. 设f(x)在0, 1上连续, 且0 f(x) 1, 试证在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: (反证法) 反设. 所以恒大于0或恒小于0. 不妨设. 令, 则. 因此. 于是, 矛盾. 所以在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.10. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 且f(a) g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = g(x).证明: 假设F(x) = f(x)g(x), 则F(a) = f(a)g(a) 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.11. 证明方程x53x2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令F(x) = x53x2, 则F(1) =4 0所以 在(1, 2)内至少有一个x, 满足F(x) = 0.12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且, 求及.解. . 所以 . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以在x = 0连续. 所以f(0) = 3. 因为 , 所以, 所以 = 由, 将f(x)台劳展开, 得 , 所以, 于是.(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)