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1、第4章 状态反馈和状态观测器,4.1 状态反馈和输出反馈,4.2 闭环系统的状态能控性和能观测性,4.3 闭环系统的极点配置,4.4 状态观测器,4.5 解耦问题,概 述,状态反馈是将状态变量作为反馈信号,如高频响应伺服刀架系统用于加工活塞环等非圆截面的 车削加工。有两个指标影响到工件的加工精度。,（1）刀架的刚度,（2）刀架的动态性能,位移大,刚度小,动态性能不好,古典法引进速度负反馈,改善动态性能，不能提高刀架的刚度,状态空间法,引入速度和位置两个状态分量,提高刚度，改善动态性能,4.1 状态反馈和输出反馈,1、状态反馈,被控系统=(A，B，C)采用状态反馈而构成的闭环系统，,称为状态反馈
2、系统。,状态反馈不改变系统的维数，改变闭环系统的特征值,其中U=rKX,Ur维控制矢量,rr维输入矢量,Krn阶反馈增益矩阵,Y=CX,系统简记为 K=(ABK ) ，B，C,2、输出反馈,将被控系统采用输出矢量的线性反馈而构成的闭环控制 系统。,Y=CX,= (A BHC )X + Br,系统简记为 H=(ABHC ) ，B，C,HC相当于K，是部分状态反馈，HC=K是全反馈,4.2 闭环系统的状态能控性和能观测性,1、状态能控性,采用状态反馈后的系统K=(ABK ) ，B，C 其能控性矩,阵为B (ABK )B (ABK )2B (ABK )n1B，且,rank B (ABK )B (AB
3、K )2B (ABK )n1B =rankB AB A2BAn1B,即状态反馈不改变原系统的能控性，却不一定保持原系统,的能观测性。,2、状态能观测性,输出反馈不改变原系统的能控性和能观测性，即,极点配置：利用状态反馈阵的选择，使闭环系统的极点,4.3 闭环系统的极点配置,恰好处于期望的一组极点位置上。,1、选择期望极点应注意的问题,(1)对于n阶系统，必须给定n个期望极点；,(2) 期望极点可以是实数或共轭复数对；,(3) 期望极点位置的选取必须从它对系统性能的影响和 附近零点分布情况统一考虑；,(4) 对期望极点位置的选取还应考虑系统对抗干扰能力和 对灵敏度的要求。,2、极点配置定理,被控
4、系统利用线性状态反馈阵K，使闭环系统,K=(ABK ) ，B，C 任意配置极点的充要条件是被,控系统状态完全能控。,证明：,必要性,假定被控系统是不完全能控的，按能控性分解可知一定,存在一个非奇异变换阵使,等价变换的反馈增益矩阵为,加状态反馈后,充分性,完全能控是任意配置极点的必要条件。,若被控系统状态完全能控，那么闭环系统极点必能任意 配置。设状态完全能控系统具有能控标准形,C=bn bn1 b1,且,若K=k1 k2kn，,则(AbK)为,闭环传函：,fk(S)=|SI(AbK)|= Sn +(a1+ kn)Sn1+(an1+ k2) S+an+k1,闭环系统极点特征多项式：,GK(S)=
5、CSI(AbK)1b,fk(S)=|SI(AbK)|=Sn +(a1+ kn)Sn1+ (an1+ k2) S+an+k1,取,an+k1= an*,an1+ k2= an1*,a1+kn= a1*,即K= k1 k2kn=(an*an). (a1*a1),使 f *(S)=Sn + a1* Sn1+ an1* S+an*,闭环系统期望极点特征多项式,且 fk(S)= f *(S),(1)根据给出的状态方程判断其能控性；,3、极点配置步骤,(2)若系统能控按步骤(3) 、 (4) 、 (5) ；,(3)根据闭环系统极点的期望值，求出闭环系统的期望,(6)若状态方程为能控标准形可按定理直接求K；
6、,特征多项式（ f *(S) ）；,(4)确定带反馈K的闭环系统特征多项式；,(5)比较两个特征多项式中对应的系数，从而求出K；,4、几点说明,(1)状态反馈不能保持原系统的能观测性；,(2)状态反馈只能改变极点的位置，不改变系统零点；,(3)极点配置定理也适应于多输入多输出系统。,fk(S)= |SI(AbK)|,例：已知三阶系统,10,S(S1)(S2),G(S),如将闭环极点配置在S12 S21j S31j,期望位置上，试确定状态反馈阵K。,解：给定系统无零，极点相消现象，故给定系统为状态能控,(1) 能控状态方程为,(2) 期望闭环极点的特征多项式,f *(S)=(S2)(S1j)(S
7、1j)S34S26S4,(3) 设状态反馈阵K为 Kk1 k2 k3,闭环系统特征多项式为：fk(S)=S3+(3+k3)S2+(2+k2)S+k1,(4)上述两个特征多项式中对应的系数相等,3+k34 2+k2=6 4=k1,解得 k1=4 k2=4 k3=1,状态反馈系统的结构图为,例：给定系统如图。试设计该系统的状态反馈阵K，使闭 环系统满足下列动态指标：,（1）输出超调量 5%； （2）峰值时间t0.5S。,解：这是3阶系统,希望极点：一对主导极点和一个较远的极点。,解出： 0. 707， n 9，取= 0. 707， n =10,主导极点：1、2= 7.07j 7.07,3和原点距离
8、大于主导极点和原点的距离10倍,故|3 |=10 |1 |，3= 100,期望特征多项式： f *(S) =(S+100)(S2+14.2S+100),=S3+114.2 S2+1520S+10000,给定系统的传递函数：,给定系统的能控标准形状态空间表达式：,设：K=k1 k2 k3,带反馈K的闭环系统特征多项式 fk(S)= |SI(AbK)|,= S3+(8+k3)S2+(12+k2) S+k1,比较fk(S)与f *(S)得,k1=10000,12+k2=1520,8+k3=114.2,所以k1=10000， k2=1508， k3=106.2,4.4 状态观测器,不能直接测量的状态变
9、量给状态反馈的实现带来了困难，,为此提出重构状态，即状态观测器。,状态观测器：构造一个系统，它以原系统的输入和输出,作为它的输入量，重新构造全部状态变量。,例,Y=0 1X,能观,但由输出不能直接观测到x1,4.4 . 1 状态观测器及其设计方法,1、状态观测器的定义,对受控系统0=(A，B，C)用其u和输出y作为输入量重新,状态，且称e是受控系统0的状态观测器。,B,C,A,U,Y,X,B,G,C,A,+,+,含状态观测器的系统,G： n m阶状态观测器反馈增益矩阵,2、状态观测器的存在性,定理：对线性定常系统0=(A，B，C)，状态观测器存在,充要条件是0必须是状态完全能观测或不能观测子系
10、统,为渐近稳定。,3、全维状态观测器的设计,状态观测器的状态方程为,状态观测器的系数矩阵,可以看出，只要选择观测器的系数矩阵(AGC)的特征值,都具有负实部，则状态误差矢量X就可逐渐衰减到零，,观测器便是稳定的。只有在状态观测器的极点可以任意配,置情况下才能做到。极点可以任意配置，即要求状态能观,测。,当原系统=(A，B，C)为状态不完全能观测时，将系统,按能观测性进行分解，,对于状态不完全能观测的线性定常系统，能够构造出状态,观测器的充要条件是它的不能观测部分是渐进稳定的。,设计方法与状态反馈相同,(1)根据给出的状态方程判断其能观测性；,状态观测器设计步骤：,(3)求出状态观测器期望特征多
11、项式（ f *(S) ）；,(2)确定带反馈增益矩阵G的状态观测器的特征多项式；,(4)比较两个特征多项式中对应的系数，从而求出G；,fG(S)= |SI(AGC)|,4、降维状态观测器的设计,当状态观测器的维数小于系统维数时，称为降维观测器。,设X1需通过输出估计确定，构造以X1为状态变量的子系统 观测器。,例：设线性定常系统的状态空间表达式为,试设计一个状态观测器，要求将其极点配置在S1= 3， S2= 4，S3= 5。,解：,极点可以任意配置,设：,状态观测器的特征多项式：,期望特征多项式:,f *=(S+3)(S+4)(S+5)=S3+12S2+47S+60,比较系数得:,g1=120
12、,g2=103,g3=210,状态观测器的状态方程,4.4 . 2 带状态观测器的状态反馈系统,1、状态反馈与状态观测器,见下一页结构图,(1),Y=CX (2),(3),由(1) (2) (3)式得闭环系统的状态空间表达式,B,C,A,U,Y,X,B,G,C,A,+,+,含状态观测器的状态反馈系统,K,r,+,2、带状态观测器闭环系统的基本特性,（1）闭环极点设计分离性,或,特征多项式|SIAK0|=,=|SI(A BK)| | SI(A GC)|,决定状态矢量X性能的极点,这两组极点之间没有相互联系，把状态反馈和状态观测,器设计分别进行的性质称为分离特性。,（2）传递函数阵的不变性,带状态
13、观测器的状态反馈系统和直接状态反馈系统具有,相同的传递函数阵。,直接状态反馈的传递函数阵,GK(S)=C(SIA+BK)1B,带状态观测器的传递函数阵,GKO(S)=C(SIA+BK)1B,此时(AGC)的极点全部被闭环系统的零点对消掉。,是能观测的。,（3）控制器结构的等价性,带状态观测器的状态反馈系统在系统输入输出的传递特性,意义下，它等价于带串联校正和反馈校正的输出反馈控制,系统。,4.5 解耦问题,设 r=m,G (S)=C(SIA)1B=,Y(S)=G(S)U(S),Y(S)=,U(S),相互耦合方程组,将G(S)化为对角线矩阵，称为系统的解耦。,4.5 . 1 串联解耦,被控对象的
14、开环传递函数阵,Y1(S)= G11(S) R1(S) + G12(S) R2(S),Y2(S)= G21(S) R1(S) + G22(S) R2(S),Y(S)=G0(S)R(S),G11(S),G21(S),G12 (S),G22 (S),Y2(S),Y1(S),+,+,+,+,单位反馈阵时，闭环传递函数阵，,+,+,R1(S),R2(S),Y1= G11(R1Y1) + G12(R2Y2),Y2= G21 (R1Y1) + G22(R2Y2),(I+G11)Y1+G12Y2=G11R1+ G12R2,(I+G22)Y2+G21Y1=G21R1+ G22R2,(I+G11)Y1+G12Y
15、2=G11R1+ G12R2,(I+G22)Y2+G21Y1=G21R1+ G22R2,(I+G0)Y=G0R,Y=(I+G0)1 G0R=GR,加入解耦器,G= (I+G0)1 G0,解耦器的传递函数阵,G0(S)=,Y2(S),Y1(S),R1(S),R2(S),+,+,+,+,+,+,+,+,根据串联法则，接入解耦器的开环传递函数阵为,GC11(S),GC21(S),GC12 (S),GC22 (S),实现串联解耦后的闭环传递函数阵,因为：G= (I+G0)1 G0,实现串联解耦后的闭环传递函数阵：,求解解耦器的传递函数阵：,所以解耦器的传递函数阵为,因为,4.5 . 2 状态反馈解耦,Y=CX,这时的传递函数阵,GKF=CSI(ABK)1BF,选择K阵和F阵使GKF为对角线阵,实现状态反馈解耦,例:,系统如上图所示，已知,为消除输入输出间的耦合，要求两个独立子系统的传递 函数阵为,试求解耦器的传递函数阵GC（S）。,解：,本章结束！,41 已知系统状态方程为,试设计一状态反馈阵使闭环系统极点为1、2、3，并画出含有状态反馈的模拟结构图或信号流图。,42 已知系统,设计全维观测器，使观测器极点为3、3。,