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1、第三章 立体的投影,3.1 平面立体,3.2 平面与平面立体表面相交,3.3 曲面立体,3.4 平面与曲面立体表面相交,3.5 两立体表面相交,基本要求,1. 掌握平面立体的投影特性和作图方法 2. 掌握在平面立体表面上取点取线的方法,3.1 平面立体,常见的基本体,平面立体,曲面立体(回转体),平面立体：由若干平面所围成的基本体，如棱柱、棱锥等。,平面立体侧表面的交线称为侧棱。 若平面立体所有侧棱互相平行，上下底面互相平行称为棱柱。 若平面立体所有侧棱交于一点，称为棱椎。,棱柱,棱锥,当轮廓线的投影可见时，画粗实线； 不可见时，画虚线； 当粗实线与虚线重合时，画粗实线。,画立体的投影,绘制表
2、面,绘制边和顶点的投影,小小规定,一、 棱柱,1. 棱柱的组成,由两个底面和几个侧面组成。侧面与侧面的交线叫侧棱，侧棱相互平行。,2. 棱柱的投影,在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在水平投影中反映实形。前后两侧面是正平面，其余四个侧面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。,正面投影,水平投影,侧面投影,六棱柱的投影,3. 棱柱表面上取点,(b),b,b“,c,c,c“,2(1),3,1“,2“,3“,六棱柱表面取线,二、棱锥,1. 棱锥的组成,由一个底面和几个棱面组成，侧棱相交于一点。,2. 棱锥的投影,在图示位置时，三棱锥的底面为水平面，在水平投影中反映实形。左右棱面
3、都是一般位置平面，后棱面是侧垂面，它的侧面投影积聚成直线。,b,a(c),b,A,S,B,C,三棱锥的投影画法,三棱锥的投影,r,3. 三棱锥表面上取点,三棱锥表面上取点,三棱锥表面上取点,例题1 求立体的侧面投影,3.2 平面与平面立体表面相交,用平面与立体相交，截去体的一部分截切。,用以截切立体的平面截平面。,截平面与立体表面的交线截交线。,2)截交线的形状由直线围成的封闭的平面多 边形。,3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点， 多边形的各边是截平面与立体表面上不同 平面的交线。,一、截交线的性质：,1)截交线既在截平面上，又在立体表面上， 是截平面与立体表面的共有线。,二、截交线的求
4、法,求各棱线与截平面的交点，然后依次连接。,求截交线的步骤：,分析截平面与立体的相对位置:确定截交线的形状,分析截平面与投影面的相对位置:确定截交线的投影特性,1. 空间分析,3. 画出截交线的投影,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。,2. 投影分析,4. 检查、描深,例题1 四棱锥被正垂面P切割，求截切后的三面投影。,3,2,1,(4),s,s,s,解题步骤 1.空间分析：截平面与四条侧棱均相交，因此截交线是一个四边形。,2.投影分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知；,3.求截交线：求出截交线上的点、 、 ；,4. 顺次地连接各点，作出截交线，补全棱线
5、的投影，并且判别可见性； 5. 检查、描深。,P,例题2求出图中六棱柱被切割后的三面投影。,例题3 求立体切割后的三面投影。,P,Q,例题4 补全平面立体切割后的三面投影。,例题5 求立体切割后的投影。,1,6,例题6 求三棱锥被穿孔后的三面投影。,(5“),(4“),a(c),1(8),8,例题7求八棱柱被平面P截切后的水平投影。,P,截交线的 形状？,1,5,4,3,2,8,7,6,2(3)(6)(7),4(5),求截交线,1,5,4,7,6,3,2,例题7求八棱柱被平面P截切后的水平投影。,例题8 求立体切割后的三面投影。,1,6,3(4),2,5,(4“),练习1：补全四棱锥截切后的三
6、面投影。,练习2：补全切割穿孔后平面立体的三面投影。,练习3：补全切割穿孔后平面立体的三面投影。,练习4：已知立体的V、W投影，试求其H投影。,练习5:已知两面投影，求第三面投影。,曲面立体：所有表面都是由曲面或曲面和平面所围成的立体称为曲面立体。它们通常被称为回转体。 一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回转面。不动线称为回转轴，动线称为母线，母线在回转面上的任意位置称为素线。 零件上常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球。,3.3 曲面立体,一、圆柱体,圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。,1. 圆柱体的组成,由圆柱面和上下两底面组成。,圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转
7、而成。,直线AA1称为母线。,最左轮廓素线,最前轮廓素线,圆柱面的水平投影积聚成一个圆，另两个投影分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。,2. 圆柱体的投影,3. 圆柱面的（转向）轮廓线和可见性,例题 分析圆柱轮廓线的投影,4. 圆柱表面上取点,( ),利用投影的积聚性,1,1“,1,2,(1),2,5. 圆柱表面上取线,圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。S称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。,1. 圆锥体的组成,二、圆锥体,由圆锥面和底面组成。,2. 圆锥的投影,视图分析：圆锥水平投影是一个圆线框，正面投影和侧面投影是两个全等的三角形线框。,水
8、平投影的圆线框，反映圆锥底面的实形，同时也表示圆锥的投影。正面投影和侧面投影是等腰三角形线框，其下边为圆锥底面的积聚性投影。,最前轮廓线,最左轮廓线,3. 圆锥面的（转向）轮廓线和可见性,4. 圆锥表面上取点,2,2“,2,(3),3,(3“),5.圆锥表面上取线,1.圆球的形成：圆(母线)围绕直径回转而成。,回转轴,素线圆,主视轮廓圆平行V面,左视轮廓圆 平行W面,俯视轮廓圆平行H面,母线圆,三、圆球,2.圆球的投影：三个投影分别为三个和圆球的直径相等的圆,回转圆的另两面投影分别在中心线上！,3. 圆球的（转向）轮廓线和可见性,4. 圆球表面上取点,3,3“,5. 圆球表面上取线,3.4 平
9、面与常用回转体相交,基本要求,平面与圆柱相交,平面与圆锥相交,平面与圆球相交,平面与组合回转体相交,基本要求,1. 掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球相交，求表面交线的方法。,2. 掌握回转体截交线的性质及求截交线的方法。,曲面立体截交线的性质,1.曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形；,2.曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有线；,3.曲面立体的截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。, 空间及投影分析, 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。, 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚
10、性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。, 画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：, 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。, 先找特殊点，补充一般点。,求截交线的方法步骤,特殊点,一、平面与圆柱相交,1.平面与圆柱相交所得截交线形状 2.例题,1. 平面与圆柱相交所得截交线形状,两平行直线,椭圆,圆,2. 例题,例题1 求圆柱截交线,解题步骤 1. 分析:截平面为正垂面，所得截交线为椭圆，其侧面投影为圆，水平投影为椭圆；,2.求出截交线上的特殊点、 、 ；,3.求出若干个一般点、 、；,4.光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5.整理
11、轮廓线。,例题2 求圆柱截交线,3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性； 4整理轮廓线。,1(2),1(3),3(4),2(4),解题步骤 1分析:截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；,2求出截交线上的特殊点、；,例题3 求圆柱截交线,3.顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性； 4. 整理轮廓线。,解题步骤 1.分析:截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形和两条线段；,2.求出截交线上的特殊点、；,例题4 求圆孔截交线,例题4 求圆孔截交线,二、 平面与圆锥相交,1. 平面与圆锥相交所得截交线形状 2. 例题,1. 平面与圆锥相交所得截交线形状,圆,椭圆,过锥顶的两直线
12、,双曲线,抛物线,平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线,2. 例题,例题1 求圆锥截交线,4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。,解题步骤 1分析 截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；,2求出截交线上的特殊点、 、 、 、 ；,3求出一般点、；,例题2 求圆锥截交线,4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。,a“,a,a,b,解题步骤 1分析 截平面为正平面，截交线为双曲线；截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；,2求出截交线上的特殊点A、B、C；,3求出一般点D、E；,c,e,d
13、,e,例题3 求圆锥截交线,解题步骤 1分析 截平面为正垂面侧平面，截交线为部分椭圆和梯形的组合；其水平投影为部分椭圆和直线的组合，侧面投影为部分椭圆和梯形的组合； 2求出截交线上的特殊点、 、 ； 3出一般点、 ； 4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。,例题4 求圆锥截交线,1,1“,三、 平面与圆球相交,1. 平面与圆球相交所得截交线形状 2. 例题,1. 平面与圆球相交所得截交线形状,圆,2. 例题,例题1 求圆球截交线,4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。,解题步骤 1分析 截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧
14、面投影均为椭圆；,2求出截交线上的特殊点、 、 ；,3求出若干个一般点A、B、C、D；,例题2 求圆球截交线,3求出各段圆弧； 4判别可见性，整理轮廓线。,1,2,解题步骤 1分析 截平面为两个侧平面和一个水平面，截交线为圆弧和直线的组合；截交线的水平投影和侧面投影均为圆弧和直线的组合；,2求出截交线上的特殊点、 ；,例题3 求圆球截交线,例题4 求圆球截交线,四、 平面与组合回转体相交,例题1 分析并想象出物体的投影。,例题2 求出物体切割后的投影,4(5),2(3),例题3 求顶针截交线的水平投影。,2(3),1,4(5),6,6“,7(8),9(10),基本要求,1. 掌握平面立体与回转
15、体相贯线的性质与求法 2. 掌握两回转体相贯线的性质与求法 3. 掌握相贯线可见性的判别方法 4. 掌握相贯线的特殊情况和作图,3.5 两立体表面相交,平面立体与曲面立体相贯,两曲面立体相贯,多体相贯,1.相贯的形式,两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。,2. 相贯线的主要性质,共有性,分界性,相贯线是两立体表面的分界线。,相贯线是两立体表面的共有线。,封闭性,相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。,1.相贯线的性质,相贯线是由若干段平面曲线（或直线）所组成的空间折线，每一段折线是平面立体的棱面与曲面立体表面的交线。,一、平面立体与曲面立体相交,2.作图方法
16、, 分析各棱面与曲面立体表面的相对位置，从而确定交线的形状。, 求出各棱面与曲面立体表面的截交线。, 连接各段交线，并判断可见性。,求交线的实质是求各棱面与曲面立体回转面的截交线。,例1 补全正面投影。,例1 补全正面投影。,1.相贯线的性质 2.求相贯线的一般步骤 3.两圆柱相贯的三种基本形式 4.相贯线的变化趋势 5.相贯线的特殊情况,二、曲面立体与曲面立体相交,1. 相贯线的性质,(1) 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。,(2) 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两曲面立体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。,
17、图例,曲面立体相贯线的性质图例,2. 求相贯线的一般步骤,（1）分析：分析相贯线的形状；分析两曲面立体对投影面的相对位置， 两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性；分析相贯线的哪个投影是已知的，哪个投影是未知的。 （2）求作相贯线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。 （5）整理轮廓线。,例题2 求两圆柱的相贯线,解题步骤 1.分析:相贯线的水平投影和侧面投影已知，可利用表面取点法求共有点；,2.求出相贯线上的特殊点A、B、 C；,3.求出若干个一般点D、E；,4.光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性； 5.整理轮廓线。,3. 两圆柱相贯的三种基本形式,(2) 外表面与内表面相交；,(1) 两外表面相交；,(3) 两内表面相交。,4. 相贯线的变化趋势,(1) 两圆柱相贯线的变化趋势 (2) 圆柱与圆锥相贯线的变化趋势,两圆柱相贯线的变化趋势,圆柱与圆锥相贯线的变化趋势,5. 相贯线的特殊情况,(1)两个曲面立体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆，并且该圆垂直于公共轴线。,(2)外切于同一球面的圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆。,练习1 补全三面投影,练习1 补全三面投影,练习2 补全三面投影,练习2 补全三面投影,练习3 补全三面投影,练习4 补全三面投影,练习5 补画正面投影。,