用数学软件Mathematica做微积分.doc

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1、用数学软件Mathematica做微积分作者：徐小湛四川大学数学学院目 录前言极限 函数极限 单侧极限 单向极限 无穷大的极限 数列极限 递归定义的数列的极限导数 显函数的导数 单侧导数 高阶导数 参数方程的导数 隐函数的导数导数的应用 微分中值定理 洛必达法则 切线和法线 求方程的根单调区间和极值 凹凸区间和拐点积分 不定积分 定积分 广义积分 积分变限函数的导数 定积分的几何应用 面积 旋转体体积 弧长 旋转曲面面积空间解析几何 数量积 向量积 混合积 向量的模和单位化 两点的距离 多元微分学 偏导数 高阶偏导数 全微分 隐函数的偏导数多元微分学的应用 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面

2、与法线 梯度与方向导数 二元函数的极值重积分 二重积分 极坐标计算二重积分 三重积分 柱面坐标计算三重积分 球面坐标计算三重积分重积分的应用 曲面的面积 体积曲线积分 第一类曲线积分 第二类曲线积分曲面积分 第一类曲面积分 第二类曲面积分 高斯公式与散度 斯托克斯公式与旋度无穷级数 常数项级数 幂级数的收敛半径与收敛域 幂级数的和函数 函数展开成幂级数 泰勒级数 傅里叶级数微分方程 一阶微分方程 可分离变量方程 一阶线性方程 高阶微分方程高阶线性微分方程 欧拉方程图形 平面图形 显函数的图形 二元方程的图形 隐函数曲线 参数曲线 极坐标曲线 导数的图形 积分变限函数的图形 平面区域的图形空间图

3、形 显函数曲面 参数曲面 三元方程的图形 隐函数曲面 空间曲线 空间区域数学家 欧拉 牛顿 莱布尼茨 拉格朗日 阿贝尔 泰勒 麦克劳林 柯西 斯托克斯 高斯 傅里叶 笛卡儿 狄利克雷参考文献前 言Mathematica是著名的数学软件，具有强大的的数学运算能力和绘图功能。本文档用Mathematica来计算微积分中的各种习题,并绘制了很多图形。 本文档中所有的例子都是用Mathematica 7编程和计算的，有的命令在版本较低的Mathematica可能无法执行。另外，有的运算结果拷贝到Word时，格式有些变化，但是在Mathematica中的输出格式没有问题。如有对本文档中的内容任何问题，请

4、发邮件到与作者讨论。邮箱：xuxz2010-9-1返回目录极限函数极限自变量趋于有限值的极限例 求极限解 输入：fx_:=Sinx/x;Limitfx,x0输出：1例 求极限 （同济6版，139页）fx_:=(1+a/x)x;Limitfx,xInfinity输出： （错误答案，原因是没有给a赋值）a:=afx_:=(1+a/x)x;Limitfx,xInfinity输出：a（对了！）单侧极限例 求左极限解 输入：fx_:=Exp1/x;Limitfx,x0,Direction1输出：0例 求右极限解 输入：fx_:=ArcTan1/x;Limitfx,x0,Direction-1输出：p/2

5、返回目录自变量趋于无穷大的极限例 求极限解 输入：fx_:=x2Sin3/x2; Limitfx,xInfinity输出：3单向极限例 求极限解 输入：fx_:=ArcTanx;Limitfx,xInfinity输出：p/2例 求极限解 输入：fx_:=ArcTanx;Limitfx,x-Infinity输出：-(p/2)无穷大的极限例 求极限解 输入：fx_:=Exp1/x;Limitfx,x0,Direction-1输出：返回目录数列的极限数列极限 例 求极限 解 输入：fn_:=(1+1/n)n;Limitfn,nInfinity输出：递归定义的数列的极限例 设 ，求解 输入：f1=Sq

6、rt2;fn_:=Sqrt2+fn-1;f10不成功！f1=NSqrt2,10;fn_:=NSqrt2+fn-1,10;f10结果：1.999997647作图观察数列的极限f1=Sqrt2;fn_:=Sqrt2+fn-1;xn=Tablefn,n,1,10;ListPlotxn,PlotStyleRed,PointSizeLarge,FillingAxis列表观察数列的极限f1=NSqrt2,10;fn_:=NSqrt2+fn-1,10;DoPrintn, ,fn,n,10结果：1 1.4142135622 1.8477590653 1.9615705614 1.9903694535 1.99

7、75909126 1.9993976377 1.9998494048 1.9999623519 1.99999058810 1.999997647返回目录导数显函数的导数求导函数例 设 ，求导数fx_:=Sin2x2+2;fx 或 Dfx,x结果：4 x Cos2+2 x2求某一点的导数例 设 ，求导数fx_:=(2x2+3)Sinx;f3 或 Dfx,x/.x3结果：21 Cos3+12 Sin321 Cos3+12 Sin3用定义求导数导数的定义： 或 例 设 ，求左导数fx_:=Whichx=0,Sinx （定义分段函数）a=0;Direvative=Limit(fx+a-fa)/(x-

8、a),xa结果：1单侧导数例 设 ，求左导数和右导数用定义求导fx_:=Whichx=0,Sin2x （定义分段函数）a=0;Left_Direvative=Limit(fx+a-fa)/(x-a),xa,Direction1Right_Direvative=Limit(fx+a-fa)/(x-a),xa,Direction-1结果：1（左导数）2（右导数）返回目录高阶导数例 设 ，求二阶导数和三阶导数二阶导数fx_:=Sin2x2+3;fx 或 Dfx,x,2结果：4 Cos3+2 x2-16 x2 Sin3+2 x24 Cos3+2 x2-16 x2 Sin3+2 x2三阶导数fx_:=S

9、in2x2+3;fx Dfx,x,3结果：-64 x3 Cos3+2 x2-48 x Sin3+2 x2-64 x3 Cos3+2 x2-48 x Sin3+2 x2例 设 ，求二阶导数fx_:=ExpxCos2x2;f1或 Dfx,x,2/.x1结果：-15 Cos2-12 Sin2 Cos2+ (-16 Cos2-4 Sin2)-8 Sin2例 设 ，求010阶导数fx_:=1/(x+1);DoPrintn, ,Dfx,x,n,n,0,10结果：0 1/(1+x)1 -(1/(1+x)2)2 2/(1+x)33 -(6/(1+x)4)4 24/(1+x)55 -(120/(1+x)6)6

10、720/(1+x)77 -(5040/(1+x)8)8 40320/(1+x)99 -(362880/(1+x)10)10 3628800/(1+x)11或fx_:=1/(x+1);TableDfx,x,n,n,0,10结果：1/(1+x),-(1/(1+x)2),2/(1+x)3,-(6/(1+x)4),24/(1+x)5,-(120/(1+x)6),720/(1+x)7,-(5040/(1+x)8),40320/(1+x)9,-(362880/(1+x)10),3628800/(1+x)11例 求函数在x=0处的010阶导数fx_:=1/(x+1);DoPrintn, ,Dfx,x,n/.

11、x0,n,0,10结果：0 11 -12 23 -64 245 -1206 7207 -50408 403209 -36288010 3628800或fx_:=1/(x+1);TableDfx,x,n/.x0,n,0,10结果：1,-1,2,-6,24,-120,720,-5040,40320,-362880,3628800返回目录参数方程的导数参数方程的导数：；二阶导数：例 设 ，求导数xt_:=2t2;yt_:=Sint;Dx=xtDy=ytDyDx=yt/xt 结果：4 tCostCost/(4 t)或xt_:=2t2;yt_:=Sint;Dx=Dxt,tDy=Dyt,tDyDx=Dy/

12、Dx4 tCostCost/(4 t)例 设 ， , 求 xt_:=Expt*Sint;yt_:=Expt*Cost;ft_:=yt/xt;fPi/3Simplify%(p/3/2-1/2 p/3)/(p/3/2+1/2 p/3)-2+例 设 ，求一阶和二阶导数xt_:=2t2;yt_:=Sint;Dx:=Dxt,tDy:=Dyt,tYijie=Dy/DxYt_:=Dy/DxErjie=DYt,t/Dxt,t;Simplify%结果：Cost/(4 t) （一阶导数）-(Cost+t Sint)/(16 t3) （二阶导数）例 设 ，求一阶、二阶、三阶导数xt_:=2t2;yt_:=Sint;

13、Dx:=Dxt,tDy:=Dyt,tYijie=Dy/DxYt_:=Dy/DxErjie=DYt,t/Dxt,t;Simplify%Ert_:=DYt,t/Dxt,tSanjie=DErt,t/Dxt,t;Simplify%结果：Cost/(4 t) （一阶导数）-(Cost+t Sint)/(16 t3) （二阶导数）(-(-3+t2) Cost+3 t Sint)/(64 t5) （三阶导数） 返回目录隐函数的导数例 设 ，求方法一 利用公式：（同济6版下册84页）Fx_,y_:=1-x Expy-y;Fx=DFx,y,xFy=DFx,y,y-Fx/FySimplify%结果：-y-1-y

14、 xy/(-1-y x)-(y/(1+y x)方法二 直接求导Dyx=1-x Expyx,x （方程两边对x求导）Solve%,yx (解出导数)结果：yx-yx-yx x yxyx-(yx/(1+yx x)或Fx_,y_:=1-x Expy-yDFx,yx0,xSolve%,yx 结果：-yx-yx-yx x yx0yx-(yx/(1+yx x)方法二 微分法Fx_,y_:=1-x Expy-yDtFx,y0,x （方程两边对x微分）Solve%,Dty,x （解出dy/dx）结果：-y-Dty,x-y x Dty,x0Dty,x-(y/(1+y x)返回目录导数的应用微分中值定理例 在区间

15、上对函数验证拉格朗日中值定理的正确性（同济6版，134页）解 即验证存在，使得fx_:=4x3-5x2+x-2;a=0;b=1;Solvefx(fb-fa)/(b-a),x结果x1/12 (5-),x1/12 (5+) 得到两个解判断这两个解是否在(0,1)内：0(5-Sqrt13)/1210(5+Sqrt13)/121结果：TrueTrue 这两个解都在在(0,1)内 例 在区间上对函数和验证柯西中值定理的正确性（同济6版，134页）解 即验证存在，使得fx_:=Sinx;Fx_:=x+Cosx;a=0;b=Pi/2;Solvefx(Fb-Fa)=Fx(fb-fa),x结果Solve:ifu

16、n: Inverse functions are being used by NoBreakSolveNoBreak, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. xp/2,xArcCos(-8+4 p)/(8-4 p+p2)判断第二个解是否在(0,Pi/2)内：ArcCos(4Pi-8)/(8-4Pi+Pi2)/N0ArcCos(4Pi-8)/(8-4Pi+Pi2)True,Frame-False,Ticks-Range-2,2,1,Range-2,2,1结果：y1-2 (

17、-1+x)y1+1/2 (-1+x)或利用公式：曲线在点P(x0, f(x0) ) 处的切线方程： 法线方程： Fx_,y_:=3-2x2-y2;x0=1;y0=1;Fx=DFx,y,x/.xx0,yy0Fy=DFx,y,y/.xx0,yy0Fx (x-x0)+Fy (y-y0)0 Fy (x-x0)- Fx (y-y0)0 quxian=ContourPlotFx,y0,x,-2,2,y,-2,2;qiexian=ContourPlotFx (x-x0)+Fy (y-y0)0 ,x,-2,2,y,-2,2;faxian=ContourPlotFx (y-y0)- Fy (x-x0)0 ,x,

18、-2,2,y,-2,2;Showquxian,qiexian,faxian,AxesTrue,FrameFalse,TicksRange-2,2,1,Range-2,2,1结果：-4-2-4 (-1+x)-2 (-1+y)0-2 (-1+x)+4 (-1+y)0返回目录求方程的根例 求方程的实根（同济6版，179页），并作图fx_:=x3+1.1x2+0.9x-1.4;Solvefx=0,xPlotfx,x,-2,2结果：x-0.885329-1.1418 ,x-0.885329+1.1418 ,x0.670657（最后一个为实根）以下方式求 1 附近的实根：fx_:=x3+1.1x2+0.9

19、x-1.4;FindRootfx=0,x,1结果：x0.670657返回目录单调区间和极值例 求函数的单调区间，并作图fx_:=x3-2x+3;Plotfx,x,-2,3 （作图）Solvefx0,x （求驻点）结果：x-,x例 求函数的单调区间、极值，并作图fx_:=x/(x2+2);Plotfx,x,-5,5Solvefx0,x结果：x-,xf-Sqrt2fSqrt2f-Sqrt2fSqrt21/(4 ) -(1/(4 )-(1/(2 ) （极小值）1/(2 ) （极大值）例 求函数在内的极值，并作图fx_:=2Sin2x2-(5/2)Cosx/22;Plotfx,x,0,Pi,Ticks

20、Range0,Pi,Pi/4求三个驻点d1=FindRootfx=0,x,Pi/4d2=FindRootfx=0,x,Pi/2d3=FindRootfx=0,x,3Pi/4结果：x0.844344x1.4916x2.40884求极值：fx/.d1fx/.d2fx/.d3结果：-0.107946-1.299131.65708返回目录凹凸区间和拐点例 求函数的凹凸区间，并作图fx_:=x3-2x+3;Plotfx,x,-3,3 Solvefx0,x 求二阶导数的零点结果：x0 例 求函数的凹凸区间和拐点，并作图fx_:=x/(x2+2);Plotfx,x,-6,6Solvefx=0,x求二阶导数的

21、零点结果：x0,x-,x （二阶导数的零点）0,f00,f-Sqrt60,fSqrt60,0 （拐点）0,-(/4) （拐点）0,/4 （拐点）返回目录积分不定积分求不定积分（原函数）例 求函数的原函数fx_:=x2+Sinx+1;Integratefx,x结果：x+x3/3-Cosx例 求不定积分： fx_:=x ArcTanx;Integratefx,x结果：-(x/2)+ArcTanx/2+1/2 x2 ArcTanx返回目录定积分牛顿-莱布尼茨公式： 例 求函数的定积分：fx_:=x2+Sinx+1;Integratefx,x,0,1结果：7/3-Cos1例 求定积分：fx_:=1/S

22、qrt1-x2;Integratefx,x,0,1/2结果：p/6返回目录广义积分例 求广义积分：fx_:=x Exp-2x;Integratefx,x,0,Infinity结果：1/4例 求广义积分：fx_:=1/(x2+1);Integratefx,x,-Infinity,2结果：p/2+ArcTan2例 求广义积分：fx_:=1/(x2+3);Integratefx,x,-Infinity,Infinity结果：p/返回目录积分变限函数的导数例 求导数：fx_:=x Exp-xFx_:=Integrateft,t,0,x;DFx,xDFx,x/Simplify结果：-x+-x (1+x)

23、-x x例 求导数：fx_:=x Exp-xFx_:=Integrateft,t,Logx,x2;DFx,xDFx,x/Simplify结果：1/x2-2 x+2 x (1+x2)-(1+Logx)/x22 x3-Logx/x2返回目录定积分的几何应用面积曲线和轴之间的曲边梯形的面积为：例 求曲线与x所围成的图形的面积，并作图fx_:=x3-2xPlotfx,x,-2,2,PlotStyleRed,FillingAxisSolvefx0,x交点坐标：x0,x-,xx0,x-,xA=IntegrateAbsfx,x,-Sqrt2,Sqrt2面积：2设，则曲线和之间的图形的面积为：例 求两曲线所围

24、成的图形的面积，并作图fx_:=x2gx_:=x3Plotfx,gx,x,-1,1.2,PlotStyleRed,Blue,Filling-1Solvefxgx,x交点坐标：x0,x0,x1A=Integratefx-gx,x,0,1面积：1/12曲线和之间的图形的面积为：例 求两曲线（）所围成的图形的面积，并作图fx_:=Sinxgx_:=Cos2xPlotfx,gx,x,0,Pi,PlotStyleRed,Blue,Filling1A=IntegrateAbsfx-gx,x,0,1NA面积：1/2 (-2+3 -2 Cos1-Sin2)0.603125返回目录旋转体体积曲线和轴之间的图形绕

25、轴旋转而成的旋转体的体积为：（圆片法）例 （圆片法）求曲线（）与x所围成的图形绕x轴的旋转体体积，并作图fx_:=SinxPlotfx,x,0,2,PlotStyleRed,Thickness0.005,Filling-AxisV = Pi Integratefx2, x, 0, 2 体积 体积：p (1-Sin4/4)fx_:=Sinxr1=Plotfx,x,0,2,PlotStyleRed,FillingAxis;r2=Plot-fx,x,0,2,PlotStyleRed,FillingAxis;r3=ParametricPlot2+0.1Cost,Sin2Sint,t,0,2Pi,Plo

26、tStyleRed;Showr1,r2,r3,PlotRangeAll,AspectRatio1（下左图） fx_:=Sinx;quxian=ParametricPlot3D0,y,fy,y,0,2,PlotStyleRed,Thickness0.01;quxian1=ParametricPlot3D0,y,fy,y,0,3,PlotStyleThickness0.003;xu_,t_:=fu Cost;zu_,t_:=fuSint;yu_,t_:=u;Qumian1=ParametricPlot3Dxu,t,yu,t,zu,t,u,0,2,t,0,2 Pi;xu_,t_:=gu Cost;z

27、u_,t_:=guSint;yu_,t_:=u;Qumian2=ParametricPlot3Du Cost,2,u Sint,u,0,Sin2,t,0,2 Pi,Mesh0,PlotStyleLightBlue;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-1,3,PlotStyleAbsoluteThickness2;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-0.3,2.5,PlotStyleAbsoluteThickness2;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-1,1,PlotStyleAbsoluteThickness3;XYZ=ShowZ,Y;

28、ShowQumian1,Qumian2,quxian,quxian1,XYZ,PlotRange-1,1,-0.3,2.5,-1,1,BoxedFalse,AxesFalse,ViewPoint1,2,2（上右图）设，则曲线和之间的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为： (垫圈法)例 （垫圈法）求两曲线所围成的图形绕x轴的旋转体体积，并作图fx_:=x2gx_:=x3Plotfx,gx,x,-1,1.2,PlotStyleRed,Blue,Filling-1Solvefxgx,x曲线交点：x0,x0,x1V=Pi Integratefx2-gx2,x,0,1 （体积）体积： (2 p)/35fx_

29、:=x2gx_:=x3r1=Plotfx,gx,x,0,1,PlotStyleRed,Blue,Filling1;r2=Plot-fx,-gx,x,0,1,PlotStyleRed,Blue,Filling1;r3=ParametricPlot1+0.05Cost,Sint,t,0,2Pi,PlotStyleRed;Showr1,r2,r3,PlotRangeAll,AspectRatio1(下左图) fx_:=x2gx_:=x3Plotfx,gx,x,0,1,PlotStyleRed,Blue,Filling1xu_,t_:=fu Cost;zu_,t_:=fuSint;yu_,t_:=u;

30、Qumian1=ParametricPlot3Dxu,t,yu,t,zu,t,u,0,1,t,0,2 Pi;xu_,t_:=gu Cost;zu_,t_:=guSint;yu_,t_:=u;Qumian2=ParametricPlot3Dxu,t,yu,t,zu,t,u,0,1,t,0,2 Pi;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-1,1,PlotStyleAbsoluteThickness2;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-0.3,1,PlotStyleAbsoluteThickness2;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-1,1,

31、PlotStyleAbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian1,Qumian2,XYZ,PlotRange-1,1,-.1,1,-1,1,BoxedFalse,AxesFalse,ViewPoint6,1,1（上右图）例 （垫圈法）（圆环体体积）求圆盘 绕x轴旋转的旋转体体积，并作图fx_:=3+Sqrt1-x2gx_:=3-Sqrt1-x2Plotfx,gx,x,-1,1,PlotStyleRed,Blue,Filling1,AxesOrigin0,0,AspectRatioAutomaticV=Pi Integratefx2-gx2,x,-1,1体积：6 p2rt_:=Cost,3+Sint,0;xuanzhuans_:=1,0,0,0,Coss,-Sins,0,Sins,Cossquxian=ParametricPlot3Drt,t,0,2Pi,PlotStyle-Red,Thickness0.01