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1、第二章 控制系统的数学模型,数学模型：凡揭示控制系统各分量内在联系及关系的解析或图形表达。 解析表达：微分方程；传递函数；状态空间表达式 图形表达：方块图；信号流图；频率特性图；根轨迹图,主要数学模型,系统微分方程式 传递函数 方块图 信号流图 数学模型的基本要求：描述系统的动态特性,本课程研究内容,建模的原则 分清主次，合理简化 建模的方法 分析法 实验法 本书中主要介绍的几种系统模型 图 模 型： 方块图 信号流程图 数学模型： 微分方程 传递函数 频率特性,1 微分方程式的建立,原则：局部到整体 确定变量：将系统分解为各环节，确定系统和各环节的输入输出变量 局部：根据各环节的运动规律写出
2、其微分方程 整体：根据系统动力学特性，消去中间变量，得到只含系统输入输出变量的标准形式：,公式中,r(t): 输入变量 c(t): 输出变量 实际物理系统中： ai, bj为实数； n m,建立系统的微分方程式（举例）,力学系统：（输入：外力 f ；输出：位移 x ） 系统的微分方程式：,2 传递函数,出发点 用简单的静态模型形式表达复杂的动态关系 定义 传递函数：在线性定常系统中，初始条件全为零时，系统或部件输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。,传递函数一般形式,公式中,G(S): 传递函数 R(S): 输入量 C(S): 输出量 式中：C(s)=Lc(t)输出量的拉氏变换式 R
3、(s)=Lr(t)输入量的拉氏变换式。 那么：C(s) = G(s) R(s) 控制系统的时间响应c(t)等于C(s)的拉氏反变换： 实际物理系统中： ai, bj为实数； n m 输入输出关系： C(S)=G(S)R(S),传递函数时间常数表达形式,式中： 为稳定增益,零极点表达形式,式中： 为增益因子。 与 的关系是,传递函数的性质,系数为实数，反映了系统结构，与输入无关 是有理分式，分母的阶次大于分子的阶次 与系统的物理组成无关，不同的系统可以有相同的传递函数 传递函数仅适应于线性定常系统,典型环节的传递函数,比例环节（又叫放大环节） 惯性环节,微分环节,例 RC电路 设：输入ur(t)
4、 输出uc(t) 消去i(t)，得到： 运动方程： 传递函数： （Tc=RC） 当Tc1时，又可表示成：,积分环节 振荡环节 式中：阻尼比， T振荡环节的时间常数。,例：RLC电路,解： 消去中间变量i(t)得到运动方程： 传递函数：,传递函数的求取方法,写出元件或系统的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比,传递函数举例,例,消去中间变量 零初始条件下的拉氏变换 或,3. 方块图,方块图 系统中每个元件（部件）的功能和信号流向的图解表示 方块图元素（3类）： 方块：元件从输入到输出的单向函数关系,2. 比较点（合成点）：两个或两个以上输入信号进行加减运算的运算符号 3.
5、分支点：表示信号的引出,方块图中的定义,闭环负反馈系统 R(S):参考输入； C(S):输出信号 B(S):反馈信号； E(S):误差信号,前向传递函数： 开环传递函数： 反馈传递函数： 闭环传递函数： 误差传递函数： 特征方程：,多输入条件下的方块图,两路输入 R(S)：参考输入； N(S)：干扰信号,总输出：C(S)=CR(S)+CN(S),CR(S): 单独计算输出对参考输入的响应 CN(S)：单独计算输出对干扰信号的响应 总输出：,误差信号E(s),ER(S): 单独计算参考输入的误差信号 EN(S)：单独计算干扰信号的误差信号 总误差：,方块图的绘制,例,系统方块图,方块图化简,前向
6、通路中传递函数的乘积保持不变 回路中传递函数的乘积保持不变 串联运算法则 并联运算法则 反馈运算法则 比较点、分支点变换法则,4. 信号流图,定义：一种表示一组联立线性代数方程的图 要点： 线性关系； 因果关系,线性方程组 yj: 输出变量； yk: 输入变量； akj: k到j的增益,方程一 信号流图,方程二 信号流图,方程组 设:一组线性方程式如下： 信号流图的表示形式：,信号流图中的一些定义：,节点：用来表示变量的点 输入节点：只有输出支路的节点； 输出节点：只有输入支路的节点； 混合节点：既有输入、又有输出支路的节点； 支路：连接两节点的定向线段，并标有传输增益 通路：沿支路箭头方向而
7、穿过各相连支路的途径； 开通路：与任一节点仅相交一次的通路； 闭通路（回路、环）：起始与终止于同一节点，与其他节点仅相交一次的通路； 前向通路：起始于输入节点，终止于输出节点的开通路； 通路增益：通路上各支路的增益乘积,信号流图的代数法则（化简）,串联支路的化简 并联支路的化简 回路的化简,总增益公式梅逊(Mason)增益公式,系统输入量到输出量的总增益 N -前向通路的总数目； Pk-第K条前向通路的通路增益； -流图的特征多项式； = =1-（所有不同回路的增益之和）+（每两两不接触回路的增益之和）-（每三个互不接触回路的增益之和）+ k-除去第k条前向通路的 值,例1,公式计算,7个回路 其中：两两不接触的回路2组；三个互不接触的回路没有 3条前向通路 总增益：,例2,3个回路 其中：两两不接触回路1个 y1输入，y2输出的增益： y1输入，y3输出的增益：,y2为输入，y3为输出，如何计算？,Mason公式应用于方块图的计算 -方块图转换成信号流图,两类图的不同点 方块图可以表示非线性系统 信号流图只能表示线性系统,转换 方块图中的比较点、分支点转换成节点； 方块图中的方块转换成支路,例,方块图 信号流图,系统中有四个回路（互不接触的回路有一个） 系统的前向通道有三个 系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为：,注意： 保持原图中回路与回路的接触性,