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1、第三章 控制系统时域分析,引言 稳定性 劳斯判据 稳态误差和稳态误差系数 控制系统的动态响应指标 一阶系统的动态响应 二阶系统的动态响应,1 引言,三种特性分析： 稳定性 稳态特性 动态特性 两类研究方法 时域方法：以时间t为函数变量，研究系统响应随时间变化的方法。 频域方法：以频率 为函数变量，研究系统响应随频率变化的方法。,稳态和动态,系统输出： 为瞬态响应， 为稳态响应，,2 稳定性,定义1：扰动消失后系统能回到原来的工作状态 定义2：有界的输入产生有界的输出,产生稳定性问题的原因,闭环回路：小增益原理 运动方程：输出响应为指数函数,控制系统的响应与稳定性,系统的动态方程 输入为零的方程
2、,特征方程（拉氏变换） 输出函数 其中 为实根， 为复根,稳定的系统：输出是有界的,， 为负实数 ， 是特征方程的根（或根的实部） 稳定性问题演变为研究特征方程根的分布,判断稳定的基本方法 直接求根 劳斯判据 李亚普诺夫方法 相平面分析,劳斯判据,必要条件(特征根中无正根） 特征多项式系数全部同号且不为零 充要条件 劳斯表的首列非零且不变号,劳斯表,其中,结论,劳斯表的行数为特征方程的阶次+1，最后两行每行只有一个元素； 劳斯表首列元素不变号，系统是稳定的（反之亦然）； 劳斯表首列无零元素，则首列元素符号变化的次数，等于系统具有正根的数目；,例1,由必要条件可判定系统不稳定。 由劳斯判据判定：
3、系统不稳定 正根数目：两个,例2,同号，无缺项，稳定？ 由劳斯判据判定： 系统不稳定，且有两个正根,特殊情况 1,某行第一列元素为零，其余项不为零或不全为零。 用无穷小正数 取代零，继续计算。 例 首列变号，系统不稳定,特殊情况 2,任意一行所有元素为零，说明有下列情况出现： 存在共轭复根 存在符号相反的实根 要用全零行的上一行元素为系数组成辅助方程，对其求导，将所得方程系数作为全零行的元素 例 首列不变号，系统是临界稳定,注意,在以上特殊情况下，劳斯表首列不变号，系统是临界稳定。 劳斯表首列变号，系统不稳定。,辅助方程的根 例1 闭环特征方程为 辅助方程 的根为 例2 已知闭环特征方程 辅助
4、方程 的根为 原方程的根为,劳斯判据的应用,判断系统的稳定性和根的大致分布 确定使系统稳定的参数取值范围 例1 系统如图所示，试确定参数范围 解： 闭环特征多项式为,稳定的参数范围,利用劳斯判据： 系统稳定的K值范围是：0k30,例2 已知开环传递函数为 现要求系统闭环稳定，试确定参数范围，并画出稳定区域 解：闭环系统的特征方程为：,利用劳斯判据,劳斯表 参数稳定区域：,参数稳定： 参数稳定的区域图,相对稳定性,绝对稳定性：系统是否稳定 稳定、不稳定、临界稳定 相对稳定性：系统稳定的裕度,确定相对稳定性 对于任意给定的与纵轴平行的直线，可以判断直线右侧极点数。令 得到新变量的特征方程，对新方程
5、应用劳斯判据。即将稳定的判断边界由0平移到,例 检验特征方程式 是否有根在右半平面，并确定有几个根在 的右边。,绝对稳定性 首列不变号，系统稳定,相对稳定性 首列变一次号，有一个根在0 到 1之间,稳态误差,定义 如右图 误差 对于单位反馈 误差传递函数为 所以误差,如果系统稳定，由终值定理可求稳态误差 稳态误差是反映系统控制精度的一种度量，通常又称为稳态性能。 注：稳态误差与系统结构(内部)及输入类型(外部)有关 控制系统类型 系统开环传递函数为,当 称为 型系统 当 称为 型系统 当 称为 型系统,稳态误差与稳态误差系数,稳态位置误差与位置误差系数 系统为阶跃输入 时， 得稳态位置误差为
6、称 为稳态位置误差系数,所以，稳态位置误差为 指定稳态位置误差 ，可以求稳态位置误差系数 对于 型系统有 对于 型和 型系统,稳态速度误差与速度误差系数 系统为速度输入 时， 得稳态速度误差为 称 为稳态速度误差系数,所以，稳态速度误差为 指定稳态速度误差 ，可以求稳态速度误差系数,对于 型系统有 对于 型系统 当 时，,稳态加速度误差与加速度误差系数 系统为速度输入 时， 得稳态速度误差为 称 为稳态速度误差系数,表: 系统的稳态误差 1. 稳态误差与输入、系统结构有关. 2. 减小或消除稳态误差的方法： a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;,扰动对稳态误差的影响,R(S)：参考
7、输入； N(S)：干扰信号,误差函数E(s),ER(S): 单独计算参考输入的误差信号 EN(S)：单独计算干扰信号的误差信号 当,总输出：C(S)=CR(S)+CN(S),CR(S): 单独计算输出对参考输入的响应 CN(S)：单独计算输出对干扰信号的响应 总输出：,闭环控制系统的特性,克服外界干扰对系统输出的影响： 当满足： 且 克服内部参数变化对系统输出的影响： 当满足：,稳态误差分析的结论,位置误差、速度误差、加速度误差有限值是分别指输入与反馈信号之间的位置、速度、加速度存在有限差 稳定系统才可以讨论稳态误差 开环增益越大，稳态误差越小，可通过改变开环增益满足稳态性能要求 当输入是多种
8、信号之和时，稳态误差是各信号稳态误差之和 指定稳态误差需满足多种信号的要求时，系统类型按变化速度最快的信号确定 非典型信号的稳态误差可直接求取,控制系统动态响应指标,最大超调量 ， 峰值时间 延迟时间 响应开始到终值的50%所需的时间 上升时间 有振荡，0至终值100%所经历的时间；无振荡，终值10%至终值90%所经历的时间 调整时间 响应开始到与终值之差在 之内的时间。为误差带,单位阶跃响应曲线,动态指标的分析方法,按照模型的阶次逐一分析 输入信号一般取阶跃信号,一阶系统的动态响应,一阶系统数学模型 传递函数为 T-时间常数 K-静态增益,一阶系统的单位阶跃响应 当 ，响应为 拉氏反变换为,
9、特点 （1）,时间常数T与系统输出值的关系： t: T 2T 3T 4T 5T c(t)/c(): 63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% 由此确定是否为一阶系统,（2） 当 当 当,(3)调整时间 取 所以 若取 ，则,（4）延迟时间和上升时间 （5）系统特征根(极点) （6）开环传递函数为 稳态误差系数,二阶系统的动态响应,二阶系统的数学模型 传递函数,二阶系统模型的一般形式,特征方程： 特征根（极点）： 两个参数 , ： 阻尼比： 无阻尼自然振荡频率：,二阶系统的极点位置与响应模式,定义 欠阻尼 临界阻尼 过阻尼 无阻尼,二阶系统的单位阶跃响应（欠阻尼 ）,输入信号： 则
10、 输出信号： 作拉氏反变换 为衰减振荡曲线。振荡频率： 衰减快慢：取决于,越小，系统振荡越厉害，一般取0.5 0.8之间。,欠阻尼系统的性能指标 峰值时间 最大超调量 调整时间 定义 则 近似公式,上升时间 定义 最佳阻尼比 最佳阻尼比,小结 阻尼比小：上升时间短，调整时间长，超调量大， 稳态误差增加（Kv 减小） 阻尼比大：上升时间长、调整时间短、超调量小 希 望：上升时间短、调整时间短、超调量小，工程 上阻尼比一般取0.40.8。 最佳阻尼比: 阻尼比为0.707,高阶系统的动态响应-近似分析方法,高阶系统动态响应的特点 高阶系统的响应是由一系列一阶系统和二阶系统的响应叠加构成的； 极点位置是影响动态响应的主要因素：极点离虚轴远，振荡衰减快，动态响应时间短；极点离虚轴近，振荡衰减慢，动态响应时间长 近似条件？ 存在主导极点,主导极点、附加零极点和偶极子 主导极点：高阶系统中如果距虚轴最近的极点比其他极点到虚轴的距离小五倍以上，且附近无零点，称此极点为主导极点 附加零、极点：除主导极点外的系统零、极点 偶极子：一对闭环零、极点是重合的或是靠得很近的,例：三阶系统的闭环传递函数 系统闭环极点： 所以P1 、P2为一对主导极点。 近似系统的闭环传递函数 原系统单位阶跃响应： 如果忽略P3 对应的动态分量，近似系统的解：,