初中数学九(上)第四章 一元二次方程讲学稿.doc

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1、4.1 一元二次方程学习目标1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式，会根据实际问题列一元二次方程学习重、难点重点：一元二次方程的概念和一般形式难点：正确理解和掌握一般形式中的a0，“项”和“系数”学习过程：一、学前准备:1、回顾方程、一元一次方程的概念：2、一个正方形的周长为12，这个正方形的边长是多少？3、一个正方形的面积等于2，这个正方形的边长是多少？二、自主探索（请仔细阅读课本P80P81页，完成下列问题）：1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长

2、和宽各为多少？若设宽为x米，则可列方程： 2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？若设这两年的平均增长率为x，则可列方程： 3、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？若设这个正方形的边长为x，则可列方程： 4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。若设设较小的一个数为x，则可列方程： 议一议：观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看）归纳：一元二次方程的概念: 一元二次方程必须同时满足的三个条件:(1) (2) (3) 一元二次方程的一般形式: ，其中二次项、一次项和常数项分别是 ，二次项系

3、数和一次项系数分别是 。三、例题教学:例 1 根据题意，列出方程：一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的边长？ 例 2 把2（x21）= 3 x方程化成一般形式，并写出它的二次项、一次项和常数项；二次项系数、一次项系数。四、随堂练习:（1）判断下列方程是否为一元二次方程： 5x23x = 2 2（x21）= 3y （ x3）2= （x5）2 (2)、P81 练习 1、2五、拓展延伸：1、K为何值时，关于x的方程（K2-1）x2+2(k+1)x+3(k-1)=0(1)是一元一次方程？ (2)是一元二次方程？2、如果X2+X-1=0,求代数

4、式（1）2X2+2X-4的值（2）X3+2X2-7的值六、课堂小结：引导学生总结：1、一元二次方程定义的三要素。2、一元二次方程的一般形式及二次项系数不能为零。七、作业 P82 习题4.1 1八、教（学）后反思：4.2 一元二次方程的解法（1）学习目标1、了解形如（xm）2= n（n0）的一元二次方程的解法 直接开平方法2、会用直接开平方法解一元二次方程学习重、难点重点：会用直接开平方法解一元二次方程难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系学习过程：一、学前准备:1、回忆一下：什么叫做平方根?2、平方根有下列性质：(1)一个正数有 ； (2)零的平方根是 ；(3)负数没有平方根 。 3、想一

5、想：如何求出方程x2=4的解呢?二、自主探索（请仔细阅读课本P83P84页，完成下列问题）：探究解方程x22根据平方根的定义，由x22可知，x就是2的 ，因此x的值为 即此一元二次方程的解为： x1= ，x2 = 这种解一元二次方程的方法叫做 用直接开平方法所解方程的特点： 方程左边是： 方程右边是： 三、例题教学例 1 解下列方程：（1）x22 （2）4x210例 2 解下列方程： （x1）2= 2 （x1）24 = 0 12（3x）23 = 0给你提个醒：如果一个一元二次方程具有（xm）2= n（n0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的

6、左边化为一个完全平方式，右边化为非负常数，且要养成检验的习惯）四、课堂练习（1）P84 练习 1、2、3五、拓展延伸：1、请写出一个两根互为相反数的一元二次方程。2、解方程（2X-5）2=(X4)2六、课堂小结1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？七、作业 P93 习题4.2 1八、教（学）后反思：4.2 一元二次方程的解法（2）学习目标1、经历探究将一元二次方程的一般（xm）2= n（n0）形式的过程，进一步理解配方法的意义2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法学习重、难点重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程

7、难点：把一元二次方程转化为的（xm）2= n（n0）形式学习过程：一、学前准备:1、用用直接开平方法解方程：（1）、25Y2160 （2）、81（X2）242、试一试：把下列各式配方成完全平方式：； ； 3、想一想:如何解方程x26x4 = 0呢？二、探索新知：（请仔细阅读课本P84P86页，完成下列问题）：我们如何解方程x26x4 = 0呢？ 先将常数项移到方程的右边，得 ， 在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得 ， 即 解这个方程，得 归纳配方法的概念： 三、例题教学例 解下列方程：（1）、 x24x3 = 0 （2）、x23x1 = 0 议一议：用配方法解二次项系数为1

8、的一元二次方程的一般步骤： 思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？四、课堂练习1、P87 练习 1、2、32、仔细阅读课本P86的数学实验室，体会数学中的割与补以及数形结合的思想。五、拓展延伸：1、已知x、Y满足X2+Y2-4X+6Y+13=0，求2X-Y的值2、你能判断二次三项式x24x5的正负吗？3、试证明：不论X为何值，多项式3x24x5的值总大于2x22x1的值六、课堂小结1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方时要注意什么？2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是什么？七、作业 P93 习题4.2 2八、教（学）后反思：4.2 一元二次方程

9、的解法（3）学习目标1、掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤和方法2、会正确运用配方法解一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法学习重、难点重点：使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（xm）2= n（n0）形式学习过程：一、学前准备:1、口述用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：2、 用配方法解下列方程：（1）6x70； （2）3x103、想一想：如何解方程2x25x2 = 0呢?二、探索新知：（请仔细阅读课本P87P88页，完成下列问题）：由于方程2x25x2 = 0不是（xm）2= n（n0）的形式，因此不能

10、用直接开平方法解，而且也不符合上节课用配方法所解的方程的形式，但如果将方程两边同时除以二次项系数的话就和上节课所学的一样了。即方程两边同时除以2，得 下面用上节课的知识求解： 小结：对于二次项系数不为1的一元二次方程，我们可以先将两边同时除以 ，再利用配方法求解。三、例题教学 解下列方程： 3 x28x1 = 0 3 x24x1 = 0归纳：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤： 1、 2、 3、 4、 四、课堂练习1、P88 练习 ：（1）、 （2）、 （3）、 （4）、2、一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h(m)与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系： h=24t

11、-5t2经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m？五、拓展延伸：1、已知x、Y满足2X2+Y22XY-4x+4=0，求X、Y的值2、试用配方法证明：不论X为何值，代数式2x24x5的值总为正数六、课堂小结1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方时要注意什么？2、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是什么？七、作业 P93 习题4.2 3八、教（学）后反思：4.2 一元二次方程的解法（4）学习目标1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b24ac02、会用公式法解一元二次方程学习重、难点重点：掌握一元二次方程求根公式的探究，并熟练地应用公式法

12、解一元二次方程难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误学习过程：一、学前准备：1、回顾用配方法解一元二次方程的一般步骤？2、用配方法解一元二次方程： 2 x27x3 = 03、用配方法结合直接开平方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一般形式的一般步骤一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的实数根呢？二、探索新知：（请仔细阅读课本P88P90页，完成下列问题）：用配方法探究一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的求根公式：因为，方程两边都除以，得 移项，得 配方，得 即 思考1：当时，又已知，大于等于零吗？ 答： 当

13、时，一般形式的一元二次方程的根为 ，即 。由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式： （）归纳公式法的概念： 。思考2：当b24ac0时，一元二次方程有实数根吗？为什么？答： 三、例题教学例 用公式法解下列方程： x23x2 = 0 2 x27x = 4归纳：用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、 2、 3、 4、 四、课堂练习1、用公式法解下列方程：（1）、2x27x = 4 （2）、x2x = 0 （3）、x23 = 22、已知一直角三角形的两直角边的长恰为2x28x = -7的两实根，求这个直角三角形的斜边长？五、课堂小结1、用公式法解一元二次方程的一般步骤？2、任何一个一元二次

14、方程都能用公式法求解吗？ 3、若解一个一元二次方程，当b24ac0时，请说明这个方程实数根的情况。六、作业P93 习题4.2 3七、教（学）后反思： 反思：通过今天的学习，你体会到一元二次方程的两实数根会出现几种情况？根的情况由谁的符号确定的？4.2 一元二次方程的解法（5）学习目标1、用公式法解一元二次方程中，进一步理解代数式b24ac对根的情况的判断作用2、能用b24ac的值判别一元二次方程根的情况3、由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值学习重、难点重点：一元二次方程根的判别式。难点：一元二次方程根的判别式运用学习过程：一、学前准备： 1、口述用公式法解一元二次方程的一般步骤：

15、2、用公式法解下列方程： x2x1 = 0 x22x3 = 0 2x22x1 = 0通过以上的解题，我们可得：方程的两实根 （填“相等”或“不等”）； 方程（2）的两实根 （填“相等”或“不等”）； 方程（3）的两实根 （填“有”或“无”）。 议一议：一元二次方程的实根的情况由什么来确定？二、探索新知：（请仔细阅读课本P90P91页，完成下列问题）：1、评析：学前准备2的三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出 的值可以发现它的符号决定着方程的解。由此可以发现一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的情况可由 来判定： （1）、 当b24ac0时， ； （2）、

16、 当b24ac = 0时， ； （3）、 当b24ac 0时， 。把（1）、（2）合起来：当当b24ac 0时,方程有实根。我们把 叫做一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的判别式。2、反之若已知一个一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的情况，也能得到判别式的值的符号：（1）、当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b24ac 0（2）、当一元二次方程有两个相等的实数根时， b24ac 0（3）、当一元二次方程没有实数根时， b24ac 0三、例题教学例 1 不解方程，判断下列方程根的情况： 3x2x1 = 3x 5（x21）= 7x 3x24x = 4例 2 若方程8x2（m1

17、）xm7 = 0有两个相等的实数根，求m的值；并解这个方程。四、课堂练习1、P91 练习 1、22、当k为何值时，关于x的方程x2（k1）xK2= 0(1)、有两个实数根？（2）、无实数根？五、课堂小结说一说本节课你有哪些收获？六、作业1、不解方程，判断下列方程根的情况： 4x213x9 = 0 3（x2）= x2 3x24x = 52、当m为何值时，方程8mx2（8m1）x2m = 0 有两个不相等的实数根？ 有两个相等的实数根？ 没有实数根？七、教（学）后反思：补充：阅读课本P93一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的两实根为X1、X2则：X1X2X1X2

18、运用公式完成P93的试一试:1、24.2 一元二次方程的解法（6）学习目标1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性学习重、难点重点：因式分解法解一元二次方程难点：将方程的右边化为零后，对左边进行正确的因式分解学习过程：一、学前准备：1、把下列各式因式分解：（1）、x2x （2）、x3x （3）、x26x+92、若ab=0,则a= 或b= . 二、探索新知：（请仔细阅读课本P91P92页，完成下列问题）：1、请你用不同的方法解方程x2x = 0【提示一】用配方法解 【提示二】 用公式法解 仔细观察方

19、程的左边，还有其他方法可以解吗？由此得解一元二次方程又一方法因式分解法： 。给你提个醒：1、如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解。2、因式分解法是解一元二次方程最简便的方法。三、例题教学例 1 解下列方程： x2 = 4x x3x（x3）= 0例 2 解方程（2x1）2x2= 0四、课堂练习1、P92 练习 1、2、32、小明在解方程（x2）2 = 4（x2）时，在方程两边都除以（x2），得x2=4，于是解得x =2，这样解正确吗？为什么？3、选用适当的方法解下列方程： 、（x1）29 = 0 （2）、2x23X-1 =

20、 0 （3）、（2x3）2x2 (4)、（x1）22（X1）1 = 0五、课堂小结说一说本节课你有哪些收获？六、作业P93 习题4.2 4、5（用因式分解法解）七、教（学）后反思：4.3 用一元二次方程解决问题（1）学习目标1、通过对实际问题的分析，进一步理解一元二次方程是刻画客观世界的有效模型2、经历用决实际问题的过程，知道解应用问题的一般步骤和关键所在,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性。学习重、难点重点：用一元二次方程解“组织旅游”问题难点：分析问题寻找等量关系学习过程：一、学前准备：1、我们以前列一元一次方程还是列分式方程解应用题的关键是什么？2、你能列方程解决下列问题吗？（

21、1）、一个正方体的表面积是2162，求这个正方体的棱长？（2）、一个直角三角形的面积是242，两条直角边的差是2，求两条直角边长？二、探索新知：（请仔细阅读课本P94P95页，完成下列问题）： 1 、 已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数。分析：可设其中一个数为x，由“和等于12”列代数式表示另一个数为“12x”，再由“积等于32”列出方程 ,从而求出这两个数 。 2 、 某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10，但人均旅游费用不得低于500元。甲公司分批组织员

22、工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？分析：首先应得到总费用是28000，即有等量关系： 。若人数不超过30人，则总费用不超过30800=2400028000，所以人数应超过30人且设为x人，因此实际人均费用 元，由此可以列出方程: 请写出解题过程：注：解出来的解要检验，必须符合实际意义且要符合条件中的 “人均旅游费用不得低于500元”。归纳：列一元二次方程解应用题的一般步骤：三、变式题：根据例2该旅行社广告的收费标准，甲公司又组织第二批员工到龙湾风景区旅游，并支付给旅行社29250元，求该公司第二批参加旅游的员工人数。四、思维拓展：春秋旅

23、行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？（06年镇江市中考题）五、课堂小结1、用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？2、用一元二次方程解决问题的关键是什么？ 六、作业大本P887七、教（学）后反思：4.3 用一元二次方程解决问题（2）学习目标1、进一步体会通过建立一元二次方程解决“面积与体积”和“平均增长率”问题2、进一步

24、体会运用一元二次方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力学习重、难点重点：列一元二次方程解“面积与体积”和“平均增长率”问题难点：理解“平均增长率”中的变化过程，寻找正确的等量关系学习过程：一、学前准备：1、请写出长方形、正方形、圆等图形的面积公式以及长方体的体积公式：2、原产量、增产量和实际产量的关系为：二、探索新知：（请仔细阅读课本P95P96页，完成下列问题）：1、一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5，容积是5003的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。分析：这个问题中的相等关系是 解：2、 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润

25、达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？分析：这个问题中的相等关系是 如果设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，那么7月份的利润是 元，8月份的利润是 元。解：三、课堂练习(1)、P96 练习 1、 2、3、 4四、思维拓展：1、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？32m20m（你能想出几种解法，比一比看谁的解法简单）2、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同

26、，每次打了几折？五、课堂小结说一说本节课你有哪些收获？六、作业P99 习题4.3 2、4、5、6七、教（学）后反思：4.3 用一元二次方程解决问题（3）学习目标1、进一步认识建立一元二次方程方程模型的作用，提高数学的应用意识2、在用一元二次方程方程解决实际问题的过程中，提高抽象、概括、分析问题的能力学习重、难点重点：用一元二次方程解决质点运动问题。难点：正确寻找等量关系。学习过程：一、情境创设一根长22cm的铁丝。（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。二、探索活动（请仔细阅读课本P97页，完成下列问题）：分析情境问题可知：如果设这根铁丝围成的

27、矩形的长是xcm，那么矩形的宽是_。根据相等关系： ，可以列出方程求解。解：（1）、 （2）、思考：这根铁丝围成的矩形中，面积最大是多少？三、例题教学例 1 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，点P从点A沿AB向点B 以1/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2/s的速度移动，问几秒后PBQ的面积等于82？分析：题中含有等量关系： ，只要用含点P、Q运动路程的代数式来表示三角形各边的长并代入等量关系式即可得到相应的方程。解：四、课堂练习1、P98 练习 2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从

28、点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t3）那么，当t为 何值时，QAP的面积等于2cm2?五、思维拓展：1、如图，有100m长的篱笆材料，要围成一矩形仓库，要求面积不小于600m2，在场地的北面有一堵50m的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40m，宽10m的仓库，但面积只有4010m2，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？2、 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，的面积等于?（2）的面积会等于10cm2吗？会，请求出此时

29、的运动时间；六、课堂小结说一说本节课你有哪些收获？七、作业P99 习题4.3 6、7、8八、教（学）后反思：4.3 用一元二次方程解决问题（4）学习目标1、进一步体会利用一元二次方程解决有关商品的销售问题。2、增强数学的应用意识，进一步提高分析问题、解决问题的能力学习重、难点重点：列一元二次方程解决有关商品的销售问题。难点：正确寻找出商品销售问题中的等量关系学习过程：一、学前准备：某商家从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（35010a）件，商家计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？二、自主探索：（请仔细阅读课本P98页，完成下列问题）： 某商场销售一批名牌

30、衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？分析：请阅读下页表格，会对你解题又帮助：衬衫单价降的钱数（元）每件衬衫盈利钱数（元）一天售衬衫件数（件）一天盈利总钱数（元）14012021（401）（2021）24022022（402）（2022）34032023（403）（2022）。x40x202x（40x）（202x）由表格我们很易得到等量关系： 。 三、课堂练习：1、P99练习： 2、某商场销售的电视

31、机每台进价为2500元，如果销售价定为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要使这种电视机的销售利润平均每天达到5000元，问每台电视机的定价应为多少元？ 四。拓展延伸：1、某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500涨，每张可盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张。商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？2、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?（06年南京市中考题）五、课堂小结说一说本节课你有哪些收获？六、作业 习题4.3 9