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1、第8章 多元函数微分学及其应用参考解答1、设，求，。 解：，故得，2、求下列各极限： 注意：在利用极坐标变换来求极限时，也是变量。本题中，时，为无穷小量，而为有界变量，故所求极限为零。3、证明极限不存在。证明：当时，故与k有关。可见，沿不同的路径趋于时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法）4、讨论下列函数在点处的连续性：（1）解：故原函数在点处连续。（2）解：与k有关，故原函数在点处的极限不存在，因而在该点不连续。5、求下列函数的偏导数：（2）其余诸小题略。6、求函数的各种二阶偏导数 本参考解答中，我们将理解为先对y再对x的二阶混合偏导数。 解：，7、略。8、讨论函数在点处：（1）是否
2、连续；（2）是否存在偏导数；（3）是否可微；（4）偏导数是否连续。解：（1）故在点处连续；（2），；故在点处的两个偏导数均存在；（3）而 ，故，因此即因此，在点处可微。（4）时，求出的两个偏导数，结合（2）的结果，得，尽管函数和在点处的极限均存在，但函数和在点处的极限均不存在（因为根据两路径判别法，和均不存在），故极限和均不存在。因此，和在点处不连续！9、设具有一阶连续偏导数，求函数的一阶偏导数。 解：，10、设具有两阶连续偏导数，求z的各种二阶偏导数。解：（注意到）11、设二元函数由方程所确定，求。解：方程两边关于x求偏导，得，故得；又方程两边关于y求偏导，得，故得。在方程两边关于x求偏导，
3、得，于是得或直接根据得。12、设方程组确定函数，求，和。 解：方程两边分别关于x和y求偏导数，得，即，解得：，。13、求曲线在处的切线和法平面方程。解：，。点所对应的参数。故曲线在点处的切线的方向向量为，故切线方程为（或即），法平面方程为。14、求曲线在点处的切线与法平面方程。解：若以x为参数，则两个方程两边各关于x求偏导数（将y和z看作x的函数），得 解得很遗憾，在处，不存在！因此，可重新考虑以y为参数，则两个方程两边各关于y求偏导数（将x和z看作y的函数），得解得故曲线在点处的切线的方向向量为故得切线方程为（或即），法平面方程为。15、求曲面在点处的切平面与法线方程。解：设，则，。故得所求
4、切平面的法向量为于是得切平面方程为，法线方程为。16、求函数在点处沿从点到点的方向导数。解：因，故得17、求函数在点处的最大方向导数。解：在点处沿梯度方向的方向导数最大，最大值即为梯度向量的大小。因，故得。18、求的极值。解：由，得（k为整数），即驻点为和，其中。 又因，故在驻点处， ，因此，函数在驻点处取得极大值。 在驻点处， ，因此，驻点并不是函数的极值点，亦即不是函数的极值！19、求函数在闭区域D：上的最值。解：由，得，即注意到，故知上述方程在区域D的内部没有解。因此，函数在D内部没有驻点。由此可知，函数的最值必在D的边界上取得（否则区域内部必有驻点）。 在上，最大值为3，最小值为1；
5、在上，最大值为3，最小值为1；在上，最大值为， 最小值为1；在上，最大值为， 最小值为1。 因此，函数在区域D上的最大值为3，最小值为1。20、设，讨论在点处是否连续、存在偏导数、可微。解：（1）或由而，故得，因此，在点处连续；（2），；故在点处的两个偏导数均存在；（3），而不存在（两路径判别法），故知，因此，在点处不可微。21、设在点处可微，且， ，求。 解：，故22、设由连续的一阶偏导数，又函数及分别由和确定，求。 解：分别在方程和两边关于x求偏导数（y和z为x的函数），得，解得：，由链式法则，得23、求由方程组所确定的隐函数点在点处的偏导数，。解：由方程组分别可得：，解得，于是由，得，24、设，且当时。求。解：易知，故，于是25、在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。解：本题即求目标函数在约束条件下的极值。构造Lagrange函数由关于x，y和的偏导数为零，得方程组解得，或，。故所求点为或。26、证明：曲面的所有切平面都经过坐标原点。证明：设，则，。于是曲面在点处的切平面方程为 或即因点满足方程，故上述方程变为显然，这是一个过原点的平面方程。如有错误，敬请指正；如有疑问，欢迎讨论！13