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1、走近高中数学,高中数学课程的基本内容 高中数学学习的微观过程与科学方法 培养兴趣扩大视野养成主动学习的习惯,数学分类及其特征 数学研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。 恩格斯,数学可以分成两大类 纯粹数学 应用数学,纯粹数学也叫基础数学，专门研究数学本身的内部规律。纯粹数学的一个显著特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式。 例如研究梯形的面积计算公式，至于它是梯形稻田的面积，还是梯形机械零件的面积，都无关紧要，大家关心的只是蕴含在这种几何图形中的数量关系。,联想、直觉、顿悟等方面，而且有严谨理性的证明过程，通过数学培养学生的逻辑思维能力是最好、最经济的方法。在学
2、习数学知识及运用数学知识、思想和方法解决问题的过程中，能培养辨证唯物主义世界观，能培养实事求是、严谨认真和勇于创新等良好的个性品质。,数学在培养人的思维能力、发展智力方面具有不可或缺的突出作用。加里宁曾说：“数学是锻炼思维的体操。”数学思维不仅有生动活泼的探究过程，其中包括想象、类比、,应用数学则是一个庞大的系统，有人说，它是我们的全部知识中，凡是能用数学语言来表示的那一部分。应用数学着限于说明自然现象，解决实际问题，是纯粹数学与科学技术之间的桥梁。大家常说现在是信息社会，专门研究信息的“信息论”，就是应用数学中一门重要的分支学科 。,数学有3个最显著的特征： 数学的抽象性与严谨性 数学的广泛
3、的应用性 数学的思辩性和结论的确定性,高度的抽象性是数学的显著特征之一。数学理论都算有非常抽象的形式，这种抽象是经过一系列的阶段形成的，所以大大超过了自然科学中的一般抽象，而且不仅概念是抽象的，连数学方法本身也是抽象的。例如，物理学家可以通过实验来证明自己的理论，而数学家则不能用实验的方法来证明定理，非得用逻辑推理和计算不可。现在，连数学中过去被认为是比较“直观”的几何学，也在朝着抽象的方向发展。根据公理化思想，几何图形不再是必须知道的内容，它是圆的也好，方的也好，都无关紧要，甚至用桌子、椅子和啤酒杯去代替点、线、面也未尝不可，只要它们满足结合关系、顺序关系、合同关系，具备有相容性、独立性和完
4、备性，就能够构成一门几何学。,帽子颜色问题（人教社网站、趣味逻辑题 ） 有3顶黑帽子，2顶白帽子。让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色。所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。事实上他们三个戴的都是黑帽子。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么？,体系的严谨性是数学的另一个显著特征。数学思维的正
5、确性表现在逻辑的严谨性上。早在2000多年前，数学家就从几个最基本的结论出发，运用逻辑推理的方法，将丰富的几何学知识整理成一门严密系统的理论，它像一根精美的逻辑链条，每一个环节都衔接得丝丝入扣。所以，数学一直被誉为是“精确科学的典范”。,广泛的应用性也是数学的一个显著特征。20世纪产生一批应用数学的分支，例如，控制论，信息论，博弈论，规划论等等。这些数学分支涉及的问题已经成为数学重要的研究方向与课题。随着时代的发展，形成了许多新的学科方向，有许多都是与数学有关，例如生物数学，经济数学，计算化学，计量历史学等边缘学科。有人甚至说，任何一个学科加上数学就可以成为一个新的交叉学科。 姜伯驹院士曾多次
6、强调“数学已经从幕后走到台前，在很多方面为社会直接创造价值。”这是对数学变化的一个很好的概括。,宇宙之大， 粒子之微， 火箭之速， 化工之巧， 地球之变， 生物之谜， 日用之繁， 无处不用数学。 华罗庚,世界大战与数学,19141918年同盟国集团和协约国集团之间为重新瓜分殖民地和势力范围、争夺世界霸权而进行的第一次世界规模的战争。这场帝国主义战争历时4年3个月，战火燃遍欧洲大陆，延及非洲和亚洲，大西洋的北海海域、地中海和太平洋的南部海域都曾发生激烈的海战。先后卷入这场战争的有33个国家，人口在15亿以上。,19391945年，德国、意大利、日本法西斯国家发动了一场人类历史上空前规模的 第二次
7、世界大战，先后有61个国家和地区、20亿以上的人口被卷入战争，军民死亡5120 余万人，最后以德、意、日三个法西斯国家的彻底失败而告结束。,海湾战争因多国部队在质量和技术方面占据的绝对优势，使其以高技术局部战争的代名词载入战争史册。在海湾战争中，美国动用了12类50多颗各种军用和商用卫星构成战略侦察网，为多国部队提供了70的战略情报；多国部队集结了2790架现代化的固定翼飞机、1700多架旋翼飞机（其中600多架攻击直升机），6500余辆坦克装甲车辆以及大量自行火炮、火箭发射车、工程技术保障车辆等；多国部队虽然与伊军在数量对比上不占优势，人员比为124，火炮数量比为124，坦克数量比为1144
8、，但多国部队调集的现代化装备数量却超过伊军许多倍：新式飞机数量比为131，攻击直升机数量比为161，在精确制导武器上多国部队拥有绝对优势。在海湾战争空中作战投掷的8万多吨弹药中，精确制导武器仅占总投弹量的7，但命中率却高达90；伊军共被摧毁、被俘坦克3700多辆，装甲车2000多辆。海湾战争中所体现出的技术对战争的强烈影响使海湾战争预示了另一个新时代的到来：在拥有质量优势的部队面前，单纯的数量对比已失去了意义；各种军事高技术应用导致的对信息的大量获取，也使与之对阵的敌人在战术运用方面困难重重。,1957年11月，苏联发射了第一颗人造地球卫星，美国人经过认真反思和深入研究，认为空间技术落后的主要
9、原因是基础教育特别是数学教育水平落后了。新数运动开始了。,自然界的伟大的书是用数学语言写成的,当代科技的一个突出特点是定量化。人们在许多现代化的设计和控制中，从一个大工程的战略计划、新产品的 制作、成本的结算、施工、验收、直到储存、运输、销售和维修等都必须十分精确地规定大小、方向、时间、速度、成本等数字指标。精确定量思维是当代科技人员共同的要求。,直观思维、逻辑推理、精确计算、以及结论的明确无误，是每个公民的科学文化素质，这些素质的培养主要靠数学教育。,王元天赋兴趣最好的老师是青少年成才的途径。数学专业在许多高校的招生排行榜上位置越来越靠前，在浙大已经位居第七。学数学很有用，各学科都用得上。
10、刘克峰数学是思想家的学问，万物皆数理，没有微积分，整个近代数学就没有了。几何拓朴学的黄金时代是陈省身年代。我听美国一支垒球队的老板讲，他们雇了一位搞数学的，研究攻球次数和薪水的恰当比例，防止多花冤枉钱。在微软还有专门一个纯数学的研究室，养着一批数学家。,张伟平尽管现在美国找工作不容易，华尔街还招大量的数学系毕业生，培训三个月就上岗，数学教人会思考。 周坚数学好像是抽象的，与你的生活无关。但比如买车，花同样的钱，数学家可能更会算计，可以买到更高价值的车；再比如现在普遍在用的电脑，它的发明人冯诺伊曼、图林都是数学家。,1 0 ？,一、高中数学课程的基本内容,高中数学课程内容主线,函 数 几 何 运
11、 算 算 法 统 计 概 率 应 用,系列3,系列4,系列2,系列1,数学 4,数学 5,数学 2,数学 3,数学 1,必修,选修系列,数学1：集合；函数概念与基本初等函数I 数学2：立体几何初步；平面解析几何初步 数学3：算法初步；统计； 概率 数学4：基本初等函数II；平面上的向量；三角恒等变换 数学5：解三角形；数列；不等式,第一模块：集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）。,函数是描述客观世界变化规律的重要数学 模型 ，它贯穿 高中数学始终 。,集合论是德国数学家康托在19世纪末创立 的，集合语言是现代数学的基本语言。使用集 合语言，可以简洁、准确地表达数学的一
12、些内 容,变量说瑞士欧拉 对应说德狄利克雷,y=3,对函数的认识,一次函数、二次函数、反比例函数、 指数函数、对数函数、幂函数 、三角函数,经探测，得知一块鱼化石中碳14的残量约占原始含量的46.5%，据此考古学家推断这群鱼是6300多年前死亡的。这就用到了指数函数的模型，另外象细胞的分裂、人口的增长等,基本初等函数,而地震震级的变化规律、溶液PH的变化 规律等，可以用对数函数模型来研究,正方体体积与边长关系，理想状态下气体的压强与体积关系等，可以用幂函数模型来研究,例 田径队的小刚同学，在教练指导下进行3 000米跑的训练，训练计划要求是： （1）起跑后，匀加速，10秒后达到每秒5米的速度，
13、然后匀速跑到2分； （2）开始均匀减速，到5分时已减到每秒4米，再保持匀速跑4分时间； （3）在1分之内，逐渐加速达到每秒5米的速度，保持匀速往下跑； （4）最后200米，均匀加速冲刺，使撞线时的速度达到每秒8米。 请按照上面的要求，解决下面的问题。 （1）画出小刚跑步的时间与速度的函数图象。 （2）写出小刚进行长跑训练时，跑步速度关于时间的函数。 （3）按照上边的要求，计算跑完3 000米的所用时间,第二模块：立体几何初步、平面解析几何初步,空间几何体是几何学 的重要组成部分，它在 土木建筑、机械设计、 航海测绘等大量实际问 题中都有广泛的应用,三维空间是人类生存的现实空间，认识空 间图形，
14、培养和发展学生的空间想像能力、推 理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以 及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课 程的基本要求。在立体几何初步部分，将先从 对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形； 再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、 线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平 行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论 证。还将了解一些简单几何体的表面积与体积 的计算方法。,例 如图这是 一个奖杯的三 视图，请你画 出它的直观图， 并求出这个奖 杯的体积。,解析几何本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，
15、运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。,坐标法通过代数运算研究几何图形性质的方法 法笛卡儿 法费马 几何问题的机器证明 吴文俊,第三模块：算法初步 统计 概率,中国古代数学中蕴涵 了丰富的算法思想,例如，运用消元法解 二元一次方程组、求最 大公因数等的过程就是 算法。,算法就是研究计算机是怎样工作的，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养,统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据它是考虑总体中的一个样本，通过样本来了解总体的情况。,抽样中的泰坦尼克事件,例 下表是某小
16、卖部6天卖出热茶的杯数与 当天气温的对比表：,（1）将上表中的数据制成散点图。 （2）你能从散点图中发现气温与饮料杯数近似成什么关系吗？ （3）如果近似成线性关系的话，请画出一条直 线来近似地表示这种线性关系。 （4）如果某天的气温是-5 ，预测这天小卖部卖出热茶的杯数。,概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法是描述一些无法事先预测结果的事件（随机事件）发生可能性大小的数学模型,如果某种彩票的中奖概率1，那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？,汽车与羊的故事,明天本地降水概率为70%是指 （1）明天本地有70%的区域下雨，30%的 区域不下的；
17、（2）明天本地70%时间下雨，30%时间不 下雨； （3）明天本地下雨机会是70%。,概率与密码,第四模块 三角函数、平面上的向量（简称平面向量）、三角恒等变换,地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；月亮圆缺变化；潮汐变化物体做匀速圆周运动时位置变化；作简谐运动的物体的位移变化；交变电流变化等,三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。在本模块中，将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。,例 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落 的现象叫潮，一般地早潮叫潮，晚潮叫汐。在通 常情况下，
18、船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸 货后落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每 天的时间与水深关系表：,（1）选用一个三角函数来近似描述这个港 口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深 的近似数值。 （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距 离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全 间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入 港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为 1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每 小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必 须停止卸货，将船驶向较深的水域？,向量是沟通代数、几何与三角函数的一种 工具，有着极其丰富的实际背景。在本模
19、块中，将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力,三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展推理能力和运算能力。在本模块中，将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换,第五模块 解三角形、数列、不等式,解三角形在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。在本
20、模块中，将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。,存款利息、购房贷款，一颗树在每年同一时刻的高度，树木的年轮、树木的分杈、花瓣的数量，植物种子或树木的排列。,传说国际象棋是舍罕王的宰相西萨.班.达依尔发明的。他把这个有趣的娱乐品进贡给国王。舍罕王对于这一奇妙的发明异常喜爱，决定让宰相自己要求得到什么赏赐。,国际象棋的故事,=18446744073709551615,1+2+22+263,18,446,744,073,709,551,615。 这些麦粒究竟是多少呢？如果
21、一升小麦按150，000粒计算，这大约是140万亿升小麦，按目前的平均产量计算，这竟然是全世界生产两千年的全部小麦！,我们可以计算出有多少小麦,斐波那契 数列 (兔子数列 ) （斐波那契，意大利数学家 ） 1，1，2，3，5，8，13，21 .,“斐波那契螺旋”（顺时针螺旋34条，逆时针螺旋55条）：带小花的大向日葵的管状小花、蒲公英的种子、松塔的鳞片等。 花朵的瓣数：百合花3瓣、梅花5瓣、飞燕草8瓣、万寿菊13瓣、紫宛21瓣，大多数雏菊34瓣、55瓣或89瓣。,提丢斯数列 （提丢斯）,3，6，12，24，48，96，192，,0，3，6，12，24，48，96，192，,0.4, 0.7,
22、1.0, 1.6, 2.8, 5.2, 10.0, 19.6,1781年天王星（19.2） 1801年谷神星（2.7）,不等式不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系。建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中，将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。,二、高中数学学习的微观过程 与科学方法,（一）高中数学与初中
23、数学特点的变化 1、数学语言在抽象程度上突变 2、思维方法向理性层次跃迁 3、知识内容的整体数量剧增,小学以具体形象思维为主 （小学四年级过度） 初中以经验型为主的抽象逻辑思维 （初中二年级过度） 高中以理论型为主的抽象逻辑思维 （高中二年级前后，思维与智力发展 基本成熟）,问题2： 小学：十个士兵排成五排，每排四人，如何排？ 初中：还有其它排法吗？（如果有的话） 高中：为什么没有其它排法了（如果没有的话）,（二）、不良的学习状态 1、依赖心理 2、思想松懈 3、学不得法 4、不重基础,（三）数学学习的微观过程,1、学习数学的过程的本质就是 理解数学知识及其联系的过程,“数学就是理解”,衡量理
24、解的“四种水平”：,（1）感知：知其然，知其所以然 （2）感想：产生自己的想法,（3）感悟：将感想连成片，恍然大悟 （4）创造：提出新问题、新思路、新结论,2、理解是学习者自身建构的,（1）参与问题,（2）反思问题,（3）概括问题,（4）迁移问题,参与问题 “学好数学最好的 方法是做数学” 被动参与是 “以听为主，力争听懂” 主动参与是 “力争独立解决问题”,反思问题 “反思是数学活动的核心与动力， 没有反思，理解就不可能从一个水平 升华到更高的水平” 荷兰弗赖登塔尔 “回头看脚印” “反复深入地思考” “处处问一个为什么？”,概括问题 感性认识悟化为理性认识，发现规律、洞察本质 迁移问题 举
25、一反一（概括）、触类旁通（联想）,（四）数学学习的科学方法,1、课堂上力争做到“四个超前”、“四个主抓”,超前想、超前做、 超前总结、超前提问,抓知识形成、抓解题思路、 抓问题暴露、抓巩固反思,2、课下学会“三种复习”,（1）及时复习每天课后，通过阅读 课本 和整理笔记完成两项任务：,其一是深抠基础知识 (a)知识点产生的背景和过程 (b)知识点适用的条件 (c)知识点的结构特征 (d)知识点的本质与功能,其二是深抠例题 例题学习的三层次：怎么做、怎么想、 还能怎么想,（2）单元复习,(a)整理、串联知识点，形成单元知识系统。 (b)归纳单元内容的基本数学思想与方法，使理解达到更高层面。 (c
26、)筛选单元中的典型例题和习题，以便进一步研究和复习,既要能把书读厚， 又要能把书读簿 华罗庚,（3）考前复习与考后总结 考前复习 (a)说知识系统 (b)说思想方法 (c)分析典型例题与习题 考后总结 (a)知识点的失误 (b)技能操作失误 (c)解题思路和方法的失误 (d)心理因素引起的失误,3、做作业做到“三项要求” （1）先复习后作业 （2）集中精力、字迹清楚、操作规范、 计算正确。 （3）出现错题、及时订正、查明原因、 反思总结,运算能力,运算的本质特殊的映射,中学数学的运算主要涉及数与式的各种代数运算（整式、分式、根式运算）；初等超越运算（指数运算、对数运算、三角运算）；向量运算；求
27、导数、求积分的初步运算；概率运算和统计中的数据处理；初等的、简单的“集合运算”和“逻辑运算”。,运算分类：精确计算、心算和估算,运算能力的衡量指标： 正确、迅速、和简洁,运算能力的培养： 1.深刻理解数学概念，适当记忆数字事实 2.注意数学思想方法在运算过程中的主导作用 3.重点培养“选择”能力 4.注重运算中的“全局观念” 5. 强调良好计算习惯的培养,三、培养兴趣扩大视野养成主动学习 的习惯,兴趣 视野 学习习惯,主动学习 接受、记忆、模仿和练习是同学们重要的数学学习活动，但是，不应只限于此，高中数学课程还倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥同学们
28、学习的主动性，使同学们的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。“通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。”,创新能力 创新的最好体现应反映在：培养我们的问题意识，学会提出问题，能够从多种角度寻求解决问题的方法等等。,案例1：正方体所有可能的截面的类型,三角形类 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 等边三角形或等腰三角形 其他： 五边形 正五边形 六边形 正六边形 七边形 多于7边的多边形,四边形类 正方形 矩形 非矩形的平行四边形 等腰梯形 非等腰的梯形 直角梯形,问题：正方体的截面中是否可能出现,如： 1最大面积的截面三角形是怎样的？ 2最大面积的截面四边形是 怎样的？
29、 3最大面积的截面形状是 怎样的？,提出的与本课题相关的开放的子课题,案例2：由电视塔引发的问题,1本市的电视塔的高度是多少米？ 2一座高度为H米的电视塔，它的信号传播半径是多少公里？信号覆盖面积有多大？ 3找一张本市的地图，看一看本市的地域面积有多少平方公里？电视塔的位置在地图上的什么地方，按照计算得到的数据，这座电视塔发出的电视信号是否覆盖本市？,电视塔问题,有一种卫星叫做地球同步卫星，即卫星相对于地球静止不动，与地球一起同步自转并围绕太阳旋转。,在全球卫星定位系统、导航系统、通信系 统和卫星电视等系统中都会遇到这样一个问题： 必须让卫星传播的电磁波信号能覆盖整个地球。 那么，要让卫星信号
30、覆盖整个地球，至少需要 在太空中布置几颗地球同步卫星？,？,此题较难，但我们可先从简单的平面图形入手思考一个类似的问题. （这是一种“从简单入手”、“从特殊到一般”的解决问题的科学思维方法）。,问：在一个圆所在平面内至少放置几盏灯 才可使光线照亮整个圆周？,此问题有以下两种情况： 1、当有两盏灯时，我们把两盏灯放置在圆心 所在直线的两端（此时所能照到的部分显然最多），但不论灯泡离圆心多远，圆周上总有两个部分不能被光线照亮。,答：应将三盏灯放置在 此 圆外切正三角形 三个顶点上。如图。,那么，这三盏灯怎样放置才能充分发挥其效 率呢（光线最强，即灯离圆周最近）？,2、由1知，只要再加一盏灯，整个圆
31、周就能 被全部亮。,将图中的圆周换为地球 我们已能容易看出：不管卫星离开地球多远，地球上总有一条球带部分（图中较暗部分）不能被卫星信号所覆盖。 但若增加一颗卫星呢， 此时结论能成立吗？,下面，我们将问题回到空间考虑。,我们将卫星放置 于地球大圆所在 平面的一个正三角形的三个顶点 上（显然此时信号覆盖率最高）， 此时每颗卫星所覆盖的部分分别 就是 图中的一个球冠。 但结合屏幕演示和空间想象可知： 不管卫星离开地球多远，地球上总有两个部分（图中 阴影部分，及其相对于地心的另一个部分）是覆盖 不了的。 因此，仅用三颗卫星，无论如何其信号也不 能覆盖整个地球。,显然，只要再放置两颗卫星，让其信号分别覆盖中余下的两个阴影部分，则整个地球就可被卫星信号所覆盖了。,那么，少于五颗卫星可不可以呢？,结论： 只须四颗卫星就足够了。,将四颗卫星放置在一个四面体的四个顶点上，并使地球包含在这个四面体内，则整个地球就可被卫星信号所覆盖。,又问：这四颗卫星应怎样放置，其使用效率才能最高（信号能覆盖全球，同时卫星离地球最近）？,答：应把四颗卫星放置在地球的一个外切正四面体的四个顶点上。,愿数学给你一双慧眼,