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1、重积分习题课,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,三重积分,一、主要内容,1、二重积分的定义,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,性质,当 为常数时，,性质,、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积,性质,若在D上，,特殊地,性质,性质,（二重积分中值定理）,、二重积分的计算,X型,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两
2、个交点.,Y型,（）极坐标系下,5、二重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2) 曲面积,当薄片是均匀的，重心称为形心.,(3) 重心,薄片对于x轴的转动惯量,薄片对于y轴的转动惯量,(4) 转动惯量,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,(5) 引力,6、三重积分的定义,7、三重积分的几何意义,8、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,9、三重积分的计算,() 直角坐标,() 柱面坐标,() 球面坐标,10、三重积分的应用,() 重心,() 转动惯量,二、典型例题,例1,解,X-型,例2,解,先去掉绝对值符号，如图,例3,解,例4,解,例5,解,例6,证,例7,解,例8,解,利用球面坐标,例,解,例10,证,思路：从改变积分次序入手,例11,证,例12,例13. 计算三重积分,解 作广义球坐标变换：,：,于是在上述广义球坐标变换之下，V的原象为,=,=,=,=,测 验 题,测验题答案,