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1、第四十一讲 双曲线,回归课本 1.双曲线的定义 平面内动点P与两个定点F1F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.即(|PF1|-|PF2|=2a|F1F2|).若常数等于|F1F2|,则轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线. 提示:若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在.,2.双曲线的标准方程及简单几何性质,3.双曲线中的几何量及其他问题 (1)实轴|A1A2|=2a,虚轴|B1B2|=2b,焦距|F1F2|=2c,且满足c2=a2+b2. (2)离心率: (3)焦点在x轴上的双曲线的焦半径: |PF1|=ex0+a(x00), |PF2|=ex0-a(x00
2、); 或|PF1|=-ex0-a(x00), |PF2|=-ex0+a(x00).,考点陪练 1.动点P到定点F1(1,0)的距离比到定点F2(3,0)的距离小2,则点P的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线 解析:因|PF2|=|PF1|-2=|F1F2|,则点P的轨迹是以F1为端点的一条射线.故选C. 答案:C,评析:当动点到两定点的距离之差的绝对值为定值,即|PF1|-|PF2|=2a时,要注意两点: 判断2a与|F1F2|的大小关系,其大小关系决定动点P的轨迹是双曲线还是射线. (1)当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是以F1F2为起点的射线; (2
3、)当2a|F1F2|时,无满足条件的动点.,答案:B,答案:B,评析:遇到焦点三角形问题,要回归定义建立三角形的三边关系,然后一般运用正余弦定理和三角形的面积公式即可迎刃而解.,答案:D,答案:A,类型一 双曲线的定义 解题准备:在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支. 【典例1】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程. 分析利用两圆内外切的充要条件找出M点满足的几何条件,结合双
4、曲线定义求解.,反思感悟容易用错双曲线的定义将点M的轨迹误以为是整条双曲线从而得出方程后没有限制 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.在运用双曲线定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线,还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支,以确保轨迹的纯粹性和完备性.,类型二 求双曲线的标准方程,注意:在双曲线的标准方程中,若x2的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果y2的系数是正的,那么焦点在y轴上,且对于双曲线,a不一定大于b.,分析利用待定系数法双曲线定义或双曲线系等知识求双曲
5、线标准方程.,反思感悟对焦点位置判断不准或忽略对双曲线焦点所在坐标轴的讨论,是导致方程出错的主要原因. 利用待定系数法求双曲线的标准方程,是最重要的方法之一,但要注意对焦点所在坐标轴的判断或讨论;利用共渐近线的双曲线方程求其标准方程,往往可以简化运算,但也应注意对焦点所在坐标轴的讨论.,类型三 双曲线的几何性质 解题准备:双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点两个顶点两个虚轴的端点),“四线”(两条对称轴两条渐近线),“两形”(中心焦点以及虚轴端点构成的三角形,双曲线上一点和两焦点构成的三角形),研究它们之间的相互联系.明确abce的几何意义及它们的相互关系,简化解题过程.,
6、类型四 直线与双曲线的位置关系 解题准备:与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题,常采用解方程组的思想方法,转化为判别式进行;与弦长有关的问题,常常利用韦达定理,以整体代入的方法求解,这样可以避免求交点,使运算过程得到简化.,反思感悟在圆锥曲线中经常遇到求范围问题,这类问题在题目中往往没有给出不等关系,需要我们去寻找.对于圆锥曲线的参数的取值范围问题或最值问题,解法通常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲线的范围,直线与圆锥曲线相交时0等),通过解不等式(组)求得参数的取值范围;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数
7、关系时,则可先建立目标函数,进而转化为求解函数的值域.,错源一 理解性质不透彻,剖析错解中没有讨论POQ的大小,认为它就是两条渐近线的夹角,因而产生错误.两条相交直线的夹角是指两条直线相交时构成的四个角中不大于直角的角,因此两条直线的夹角不能大于直角.,错源二 忽视双曲线的特殊性,误用一些充要条件 【典例2】已知双曲线x2-y2=1和点P(2,2),设直线l过点P且与双曲线只有一个公共点,求直线l的方程. 错解设直线l的方程为y=k(x-2)+2,代入双曲线方程x2-y2=1,整理得: (1-k2)x2-4k(1-k)x-4(1-k)2-1=0.(*) 方程(*)的判别式=12k2-32k+2
8、0.,剖析错解中误以为判别式=0是直线与双曲线有一个公共点的充要条件.事实上,命题成立的充要条件是方程(*)有且仅有一个根.故应分类讨论.,正解设直线l的方程为y=k(x-2)+2,代入双曲线x2-y2=1,整理得: (1-k2)x2-4k(1-k)x-4(1-k)2-1=0.(*) 当1-k2=0时,斜率k=1或k=-1. 而当k=1时,方程(*)不成立;当k=-1时,直线l的方程为x+y-4=0. 当1-k20时,由前面错解得直线l的方程为5x-3y-4=0. 故所求直线l的方程为:x+y-4=0或5x-3y-4=0.,错源三 错用双曲线的第一定义 【典例3】已知定圆F1:x2+y2+10
9、x+24=0,F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 错解圆F1:(x+5)2+y2=1, 所以圆心为F1(-5,0),半径r1=1, 圆F2:(x-5)2+y2=42, 所以圆心为F2(5,0),半径r2=4.,剖析实际上本题的轨迹应该是双曲线的一支,而非整条双曲线,上述解法忽视了双曲线定义中的关键词“绝对值”.正确的解答如下.,正解由|MF2|-|MF1|=3,可得|MF2|MF1|,即点M到F2(5,0)的距离大于点M到F1(-5,0)的距离, 所以点M的轨迹应该是双曲线的左支, 故双曲线方程为,错源四 错用双曲线的第二定义 【典例4】一
10、动点到定直线x=3的距离是它到定点F(4,0)的距离的 求这个动点的轨迹方程. 错解由题意,动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2,所以动点的轨迹是双曲线. 又F(4,0),所以c=4,又准线x=3,所以 所以 a2=12,b2=4,所以双曲线方程为,技法一 双曲线中点弦存在性的探讨 求过定点的双曲线的中点弦问题,通常有下面两种方法: (1)点差法,即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,从而求出直线方程.,(2)联立法,即将直线方程与双曲线方程联立,利用韦达定理与判别式求解. 无论使用点差法还是联立法,都要运用0来判定中点弦是否存在,而这完全取决于定点所在的区域.现分析如下: 利用双曲线及其渐近线,可把平面分成、三个区域(如图).,答案D,技法二 待定系数法求双曲线方程常用的设法速度,