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1、3.1 刚体的定轴转动,刚体 (rigid body)： 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。,或：任意两质点间距离保持不变的特殊质点组。,刚体是个理想化的模型,二 刚体的基本运动形式：平动和转动,1 平动（translation）： 刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 .,2 转动（rotation）：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动和定点转动。,刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运动，称为刚体作定轴转动。,定点转动：绕一固定点转动。如陀螺。,三 刚体定轴转动的角速度和角加速度,角位移,角坐标,角速
2、度矢量,方向：右螺旋,角加速度,1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2）任一质点运动 均相同，但 不同； 3）运动描述仅需一个坐标。,定轴转动的特点,刚体定轴转动（一维转动）的转向可用角速度的正负来表示。,在p点取一质点，,刚体作匀角加速度定轴转动,刚体的平动动能,其平动动能应为各质元动能和。,vc为质心 的速度,一 转动动能,刚体的动能：,任一小质元动能：,I转动惯量（rotational inertia）,质量连续分布,转动惯量的计算 1 计算公式,2 决定 I 的三要素: (1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置,解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴OO为 处的质量元,例1
3、一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .,如转轴过端点垂直于棒,例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例3 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,3 平行轴公式,质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量,圆盘对P 轴的转动惯量：,均匀细棒的转动惯量,4 正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）,M,L,例4 求对圆盘的一直径的转动惯量,已知:,x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板。,例5 系统由一个细杆和一个小球组成，求绕过A点的轴转动时的转动惯量。,矢量式：,力矩：,说明：,单位：米.牛顿,1
4、）力 必须在转动平面内：,一、力矩,2）若力 不在转动平面内， 分解成,3）若刚体受N个外力作用，,力是连续的,力不连续,例1: 一均匀细杆，在平面内以角速度转动，求M摩擦力。,r,解,力是连续的,其中：,所以,要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个类似于牛顿定律的规律转动定律。,二、转动定律,第一定律：一个定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该转轴而言）等于零时，它将保持原有的转动状态不变即原来静止的仍然静止，原来转动的则仍保持原来的角速度转动。,第二定律：一个定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该转轴而言）不等于零时，它将获得角加速度，角加速度的方向与合外力矩的方向相同；角加速度
5、的量值与合外力矩M的量值成正比，并与转动惯量I成反比 .,定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体，所受合外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积。,或,说明：1）定律是瞬时对应关系；,如图可将力分解为两个力，只求那个垂直于轴的力的力矩就可以了。,如何求力对轴的力矩呢？,3）转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量度。因为：,如一个外径和质量相同的实心圆柱与 空心圆筒，若 受力和力矩一样，谁转 动得快些呢？,刚体定轴转动的转动定律与牛顿定律的对比,(1) 飞轮的角加速度,(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解 (1),(2),两者区别,例2,求,一轻绳绕
6、在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 I=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计， (见图),圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止,解,例3,求 到圆盘静止所需时间,取一质元,由转动定律,摩擦力矩,3.4 力矩的功 转动动能定理,摩擦力做功：,一、力矩的功,力矩的功,力矩的功率：,(2) 力矩的功就是力的功,(3) 内力矩作功之和为零,说明,(1) 合力矩的功,当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。,转动动能与角动量的关系,二、转动动能,刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角,速度平方乘积的一半。,三、刚体转动动能定理,定轴转动刚体
7、的动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 .,力矩的功定义,此称刚体转动的动能定理,四、刚体转动时的机械能守恒定律,机械能：,若刚体系统 ，则刚体的机械能守恒E1E2。,例1 设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：,当杆过铅直位置时的角加速度、角速度以及此时A和C点的线速度量值。,1）以杆为研究对象,受力：,mg，N（不产生 对轴的力矩）,建立OXYZ坐标系,L,解(一),C,A,建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向）,L,2）=？,两边积分：,2）=？,C,A,解(二)：考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，重力做功
8、，角速度从 0 - ,依动能定理,可得,C,A,例2，劲度系数为k的轻弹簧，一端固定另一端通过一定滑轮系一质量为m的物体，滑轮半径为R，转动惯量为I，绳与滑轮无相对滑动，求物体从弹簧原长时开始(静止)下落到h距离时的速度？,k,解,机械能守恒,解之，可得,一、角动量,35 角动量守恒定律,二、定轴转动的角动量定理积分形式,定轴转动的角动量定理积分形式,角动量定理微分形式,设 时间内，刚体角速度由,定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同一转轴合力矩的角冲量（冲量矩）,注意：该定理也适应于刚体的一般运动中转轴通过质心的运动。,例：一长为l、质量为m的均匀细杆，可绕轴O轴转动。桌面与细杆间的滑动摩
9、擦系数为，杆初始转速为0 ，求： （1）细杆受的摩擦力矩； （2）从0到停止转动共经历的时间； （3）从0到停止转动共转了多少圈（如图）。,解：（1）,（2）（一）用动量矩定律：,（二）亦可用转动定律：,（3）（一）用运动学方法：,或,（二）动能定理：,外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。,三、角动量守恒定律,对轴的角动量守恒定律：外力对某轴的力矩之和( )为零，则该物体对同一轴的角动量守恒。,注意：角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非 刚体也成立。,一般有三种情况：,A：I不变，也不变，保持匀速转动。,B：I发生变化，但I不变，则要发生改变。,C：开始不旋转的物体，当其一部分旋转
10、时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。,例1：质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心 的竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？,已知：,求：,解：以M。m为研究对象,故角动量守恒,以地面为参照，建立轴的正方向如图：,M,m,因人和台原来都静止故角动量,（2）式dt积分：,M,m,若人和转台的角速度分别为,A,A,m,子弹射入之前,子弹射入之后,M,M,已知：,求：,解：,例2：一木杆长 可绕光滑端轴O旋转。设这时有一质量为m的子弹以水平速度 射入杆端并箝 入杆内，求杆偏转的角度。,系统在子弹射入之后的角动量：,系统在
11、子弹射入之前的角动量：,依角动量守恒定理：,子弹射入之前,M,O,以M、m为研究对象，建立轴的正方向。,子弹射入之后,O,以M、m、地球为研究对象，以杆端为势能零点,初态的机械能,末态的机械能,子 弹 射 入 之 后,M,O,依机械能守恒：,联立（1）、（2）式可得,例3：质量为M20kg，半径为R2m的转台（可看作匀质圆盘）绕中心竖直轴以匀速0 匀速转动，今有沙粒以每秒2kg的速率（dm/dt=2kg/s）垂直落到转台上，在转台上粘附成一半径为r1m的圆环。求试写出转台的转动惯量I随时间t的变化关系式； 求当沙粒落到转台上使转台转速减到0/2 时所需要的时间。,解,（1）沙粒下落使转台的转动
12、惯量发生变化,例3：质量为M20kg，半径为R2m的转台（可看作匀质圆盘）绕中心竖直轴以匀速0 匀速转动，今有沙粒以每秒2kg的速率（dm/dt=2kg/s）垂直落到转台上，在转台上粘附成一半径为r1m的圆环。求试写出转台的转动惯量I随时间t的变化关系式； 求当沙粒落到转台上使转台转速减到0/2 时所需要的时间。,解,（2）由角动量守恒，有,例4） 在光滑的水平桌面上开一小孔。今有质量m的 小球以细轻绳系着，绳穿过小孔下垂，如图。小球原以速率V0沿半径R在桌面回转。在回转过程中将绳缓缓下拖，当小球的回转半径缩短为R/2时，此时小球的回转角速度 （1） ，在此过程中外力做的功为A= （2） 。,（1）,（2）,；,解,练习六，七,