《2019大学高等数学经典课件8-3.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019大学高等数学经典课件8-3.ppt（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第三节 全 微 分,一. 全微分的概念,由一元函数可微的定义知,若函数y=f(x)在点x处可微,则对 固定的x,自变量的增量x所对应的函数增量y=f(x+ x)- f(x)可表成: y=A x+o(x) 即因变量增量y看作x的 函数,它能用自变量增量x的线性函数A x(其中A=f (x) 来近似代替,误差为x的高阶无穷小.,对于二元函数,我们用一个例子来说明 例1 用钢板制造一个园柱形无盖容器,该容器底面的内半径 为2米,内侧面高为5米,侧壁厚为1厘米,底厚为1.5厘米,试计算 所用钢的重量.,这表示二元函数的微分也可以象一元函数的微分一样.下面 我们把二元函数的微分用数学语言叙述:,一般地,
2、设函数z=f(x,y)在区域D内有定义,点p(x,y)D,当自变 量x取得增量x,自变量y取得增量y时,得到p(x+x,y+y), 假设pD,函数在点p与p处的函数值之差f(x+x,y+y)-f(x,y) 称为函数在点(x,y)对应于自变量增量x,y的全增量,记作z, 即,定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量z可表示为,其中A,B不依赖于x,y而仅与x,y有关,为点p到p的距离,定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量z可表示为,而Ax+B y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即,(1)下面我们看可微与连续的关系.,dz=Ax+By,知道,如
3、果函数f(x,y)在点(x,y),则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分.,可微分,则当0时(当然同时有x0,y0,得到,即函数z=f(x,y)在点P(x,y)处连续.因此如果函数在点P(x,y)处不 连续(当0时, z不趋向0).则函数在该点一定不可微.这就 是说,连续是可微的必要条件.,)就有z0,于是由,(2). 函数可微分与偏导数存在的关系,若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,那么(3)式对于任意x和 y成立令y=0,这时=|x|,(3)式变为,把上式两边除以x,再令x0取极限,得,由偏导数定义,知函数z=f(x,y)在点(x,y)处对x的偏导数存,如果函数z=f(x,y
4、)在点(x,y)可微分,那么函数z=f(x,y)在点,从而函数z=f(x,y)在点(x,y),的全微分可写为,上述结论的逆命题不成立.例如,在第二节中已经知道,函数,(全微分的必要条件),在,并且等于A,即,.同样可得,(x,y)处的 偏导数,必存在,并且,这表示函数在(0,0)点存在两个偏导数但在(0,0)处不可微.因为 如果z在(0,0)处可微,则必有,它不是的高阶无穷小,因为,当点p(x,y)沿着x=y直线趋向(0,0)有,在点(0,0)处的两个偏导数存在,且fx( 0,0)=0,fy(0,0)=0.但函数在 (0,0)处不连续, 因此是不可微分的,从而全微分不存在.尽管这 时能形式地写
5、出,但它与z之差并不是高阶无穷小.因而偏导数存在,只是全微分存在的必要条件.但是,如果再假定函数的各个偏 导数连续,则全微分一定存在.有下面定理. 定理2 如果函数z=f(x,y)的偏导数,在点(x,y)处连续,则函数在该点可微. (全微分的充分条件),在第一方括号内的表达式,由于y+y不变,因而可看作是x的 一元函数f(x,y+y)的增量,于是应用拉格朗日中值定理,得到,证明:因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数(对于 偏导数也同样),所以假定偏导数在点(x,y)连续,就含有偏导数 在该点的某一邻域内必然存在的意思(以后凡说到偏导数在 某一点连续都是这样理解).设点(x+x,y+y)为
6、这邻域内任 意一点,考察函数的全增量,又依假设,fx(x,y)在点(x,y)连续,所以上式可写成,其中1为x, y的函数,且当x0, y0时, 10 同 理可证明第二个方括号内的表达式可写成,其中2为y的函数,且当y0时, 20 由(4),(5)式可见,在偏导数连续的假定下,全增量z表示为,容易看出,它是随着(x,y)(0,0)即 0而趋于零的.这就证明了 z=f(x,y)在点(x,y)是可微分的,以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充 分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数. 习惯上,我们把自变量的增量x,y分别记为dx,dy,并称为自 变量x,y的微分, 这样函数z
7、=f(x,y)的全微分可写成,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这 件事称为二元函数的微分符合叠加原理.而叠加原理也适合于 三元以上的函数.,例2 求函数z=xsin(x+y)的全微分. 解:,例3 求z=x2y2+xy3-2y4.在点(3,1)处的全微分.,例4 求函数u=cos(x+y)+exz的全微分.,解:,这几个函数的全微分并不难求,可作为公式记忆,在以后的 微分方程中给我们带来方便.,二元函数的极限,连续,偏导数和可微,它们之间的关系是:,二.全微分在近似计算上的应用,由上面讨论知道,可微函数z=f(x,y)的全增量可以表示为,解题步骤是: (1)选函数 (2)选(x0,y0) (3)代入上面公式计算,例6 用全微分计算例1中园柱形容器所用钢的重量的近似值. 解:,例7 已知圆柱体的高与底半径的相对误差分别为h 与R, 求其体积的相对误差V 解:,在工程上,常常需要分析误差,其思路就是利用微分的近似计算,