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1、第八节 多元函数的极值及其求法,在实际问题中常常遇到多元函数的最值问题.在一元函 数的微分学中,我们曾经用导数求解极值和最值问题;现 在讨论如何利用偏导数来求多元函数的极值与最值,讨论 时以二元函数为例,其结论可类似地推广到三元及三元以 上的函数.,一. 多元函数的极值及最大值,最小值,多元函数极值的定义 定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对 于该邻域内不同于(x0,y0)的任何点(x,y),都有f(x,y)f(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值(极小值) 极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,(0,0)处函数
2、值为R;而在(0,0)邻域内 ，(0,0)的点的函数 值都小于,在点(0,0)处有极小值.因为在任何不,在点(0,0)处有极大值,因为在,与z轴的交点.,例1,同于(0,0)的点处的函数值都大于函数在(0,0)处的值.从几何图形上看这是显然的.因为点(0,0)是圆锥,在（0，0）处的顶点。,.例2 函数,R.事实上(0,0,R)是上半球面,例3 函数z=-2xy 在点(0,0)处不取得极值.因为在(0,0)点的任 一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点. 2.极值存在的必要条件和充分条件 与一元函数类似,我们用偏导数来判定二元函数的极值. 定理1(极值存在的必要条件) 设函数z=
3、f(x,y)在点(x0 ,y0)处 可微分且在点(x0 ,y0)处有极值,则在该点的偏导数必然为零. 证明: 只就极大值的情形加以证明.,因为函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)处有极大值,所以对于(x0 ,y0)的 某个邻域内不同于(x0 ,y0 )的任一点(x,y),有 f(x,y)f (x0 ,y0) 特别在该邻域内取点(x ,y0 )(xx0),则上面不等式变为 f(x,y0)f (x0 ,y0 ) .这表明一元函数f (x,y0)在x=x0处取极大值. 因此有fx(x0 ,y0)0，从几何上看,这时如果曲面z=f(x,y)在点 =0 同理 fy (x0 ,y0)=0,成为平行坐标
4、平面xoy的平面,.使,处有切,函数z=f(x,y)在点,平面,则切平面的方程,上面定理提供了寻找极值点的途径,对于可微函数,如果有 极值点则极值点一定是驻点;但是上面的条件并不是充分的. 即函数的驻点不一定是极值点.如例3中的函数z=-2xy,(0,0)是 其驻点,可是函数在这点并不取得极值.另外,定理只是说明可 微函数的极值点必定是驻点,即对于可微函数,找极值点只须 在其所有驻点中去找.例1说明函数不可微点也可能是函数的 极值点,因此寻找可能的极值点,只须在驻点和不可微点中去 寻找.,同时成立的点称为函数的驻点.,下面定理回答了驻点在什么条件下成为极值点. 定理2(极值存在的充分条件) 设
5、函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)的某 一个邻域内连续,且有连续的一阶,二阶偏导数,fx(x0 ,y0)=0, fy(x0 ,y0)=0,记A=fxx (x0 ,y0)=0,B= fxy(x0 ,y0)=0,C= fyy(x0 ,y0)=0.则: (1)当=B2-AC0时 有极小值; (2)当=B2-AC0时,(x0,y0)不是极值点. (3)当=B2-AC=0时,函数在(x0,y0)可能有极值,也可能没有极值, 需要讨论. 定理证明从略.,第一步 解方程组fx(x,y)=0, fy(x,y)=0.求出所有的实数解, 即得一切驻点; 第二步 对于每个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数A,
6、B和C; 第三步 由=B2-AC的符号判断驻点是否为极值点,若是 极大值还是极小值; 第四步 求极值点处的函数即得所求极值.,3.极值的求法 利用定理1和定理2,可得到具有二阶连续偏导数的函数 z=f(x,y)的极值的步骤:,z=0,例4 求函数的极值,二 最大值和最小值,由连续函数性质知,函数在有界闭区域D上连续,则函数在D上 一定有最大值和最小值.和一元函数一样,多元函数的最大值和 最小值可能在D内取得,也可能在D的边界上取得.因此,求可微 函数的最值的一般方法是:求出函数f(x,y)在D内所有的驻点处 的函数值及在D的边界上的最大值和最小值,把它们加以比较, 其中最大的就是最大值,最小的
7、就是最小值.有时根据问题的实 际意义或性质,知道函数的最大值(最小值)一定在区域D内取得,那么没有必要求函数在D的边界上的最大值(最小值),只须 求出D内的驻点处的函数值,并加以比较,最大的就是最大 值;若只有一个驻点,那么驻点处的函数值就是函数在D上 的最大值(最小值).,例5 作一个三角形,使得它的三个角的正弦乘积最大. 解: 设三角形三个角度分别为 x, y, -(x+y),先不妨设,由于在边界上,函数值为0.在闭区域内函数值0.所以最大值 一定,在区域内得到.解方程组,得到x=y=/3.所以等边三角形为最大.最大值为,例6 要用钢板做一个体积为2立方米的有盖长方体水箱,问 当长,宽高各
8、取怎样的尺寸时,用料最节省. 解: 设水箱的长为x米,宽为y米,则其高应该为2/xy米.此水箱 所用的材料面积为,三 条 件 极 值,(1) 其中x,y,z须满足约束条件 xyz=2(米3) (2) 依题意,例6成为求(1)式满足条件(2)的最小值.这类附有 条件限制的极值问题称为条件极值在一些极值或最值问题中, 函数的各自变量之间还会受到另外一些条件的限制,例如例6, 若设长方体水箱的长,宽,高分别为x,y,z(米),则表面积为 A=2(xy+yz+xz)问题. 解条件极值问题的一个办法是化为无条件极值,即普通极值 问题.,例如由(2)得到z=2/xy,代入(1),象例6那样去解普通极值问题
9、. 但是对于一般的条件(x,y,z)=0,解出其中的某个变量,有时 是复杂的,困难的,甚至是不可能的.例如,不能显化的隐函数 就是这样.下面我们介绍Lagrange乘数法是求解条件极值的 常用方法.,例如要求函数 u=f(x,y,z,t) (3) 在约束条件 (x,y,z,t)=0和(x,y,z,t)=0 (4) 下的极值. 我们由(3)和(4)先构成Lagrange函数,其中1,2称为Lagrange常数,求L对其各变元的偏导数,并 令其为0,并和条件(4)联列,组成方程组,即,是否极值点由实际问题的本身的性质来判断.由此可见,应用 Lagrange乘数法,把求(3)在条件(4)的约束下的条件极值问 题,转化成求函数(5)的无条件极值的驻点问题,这样就解决 了隐函数显化的困难.,就是可能的极值点的坐标,方程组（6）的解,例6 要用钢板做一个体积为2立方米的有盖长方体水箱,问 当长,宽高各取怎样的尺寸时,用料最节省. 解: 设水箱的长为x米,宽为y米,则其高为z米.此水箱所用的 材料面积为A=2(xy+yz+xz) (1) 和xyz=2(米3) (2) 我们构造 Lagrange函数,例7. 在已知的椭球面内一切内接的长方体(各边分别平行坐,标轴)中,求其体积最大的. 椭球面方程为,