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1、王家林 编著第2章 分析动力学基础2.1 基本概念2.1.1 约束对质点系各质点的位移和速度提供的限制，约束在数学上通过约束方程来表达。对于n个质点组成的系统，约束方程的一般形式为：或简写为：式中，、分别为质点的位置矢量和速度矢量，为时间，为约束方程的个数。注：弹性支座不对位置和速度提供直接限制，不作为约束。约束方程的分类：（1） 几何约束和运动约束几何约束：约束方程中不显含速度项，如：运动约束：约束方程中显含速度项，如： 下图中，如果圆轮与地面之间无滑动，则其约束方程为：（2） 定常约束和非定常约束定常约束：约束方程中不显含时间，如：非定常约束：约束方程中显含时间，如： （3） 完整约束与非
2、完整约束完整约束：几何约束以及可积分的运动约束非完整约束：不可积分的运动约束方程可积分为，因此是完整约束。（4） 单面约束与双面约束单面约束：约束方程为不等式，如：双面约束：约束方程为等式，如：下图中，如果考虑到绳子可以缩短，则其约束方程为：，表现为不等式形式，就是一个单面约束。一般分析力学的研究对象为：完整的双面约束，方程为：。2.1.2 广义坐标与自由度广义坐标：描述系统位置状态的独立参数，称为系统的广义坐标。广义坐标的个数：（1） 空间质点系：（2） 平面质点系：对于如图双连刚杆的平面两质点系统，约束方程为：广义坐标个数为：，具体地可选择为：；等。如果系统的位移状态可以通过一组基函数来线
3、性组合，如：，由于各系数相互独立，因此系数也是一种广义坐标。例：简支梁的挠度曲线可表示为，为与基函数对应的广义坐标。根据广义坐标的概念，设系统的广义坐标个数为，当选定系统的广义坐标后，系统的位置状态可以由全部广义坐标来表示，也即有：，自由度：某瞬时，系统独立运动的个数。自由度强调的是独立运动也即独立速度，广义坐标强调的是独立坐标（位移）。对于完整系统，自由度与广义坐标的个数相同；对于非完整系统，由于存在非完整约束，对独立速度的限制多于对独立坐标的限制，因此自由度数比广义坐标个数少。2.1.3 力的功对于力，设在微小时间间隔内力作用点的位移为，则该力做的功称为元功：式中，为与的夹角。经过一段路径
4、，做的总功为：对于力偶，设在微小时间间隔内物体在力偶作用下的转角为，则元功为：转过一定角度，做的总功为：力、力偶在单位时间内做的功称为功率：2.1.4 有势力与势能有势力：在作用点变化过程中，力做的功如果只与起止位置有关，而与中间路径无关，则这个力称为有势力，有势力所在的空间称为该有势力的势力场，如重力与重力场。势能：在势力场中，物体从位置运动到任选的位置，有势力所作的功称为物体在位置相对于位置的势能，以表示：位置的势能等于零，称为零势能位置（点、状态）。势能是位置的函数，记为。有势力分量与势能具有如下关系：，证明如下：当具有微小变化变为时，势能的增量为：因此有：，当弹性体变形后，恢复变形到原
5、始状态的过程中，弹性力会做功，做的功等于变形状态改变释放的变形能，只与前后变形状态有关，因此具有势能的性质。弹性体因变形而具有变性能为：2.1.5 虚位移虚位移：某瞬时，约束所容许的任意微小位移。要点1：“某瞬时”意味着虚位移不考虑时间的变化，也即是虚位移无时间过程。要点2：“约束所容许”表示不破坏约束，满足约束条件。要点3：“微小位移”指位移小到只考虑一阶变化。要点4：“任意”指无需考虑真实的力、速度和时间等真实运动因素，可以人为地设定。要点5：对于一个系统，由于存在内部的约束联系，各位置点的虚位移不具有完全的任意性。要点6：根据定义，独立虚位移的个数等于系统的自由度数。概念辨析：可能位移：
6、考虑时间，但不考虑运动的原因，约束所容许的位移称为可能位移。真实位移：同时考虑时间和运动的原因，约束所容许的位移称为真实位移，真实位移是可能位移中的一种。可能位移和真实位移不具有“微小”性，因此可能位移不一定是虚位移。设系统的广义坐标为，系统的位置状态可以由全部广义坐标表示为：，根据微积分的概念，任一质点的位移增量有如下关系：略去上式中与时间有关的增量，将变为虚位移，则可得到质点的虚位移：上式建立了任一点虚位移与广义坐标虚位移的关系。由于各广义坐标是独立的，因此各广义坐标可以独立发生虚位移。当只有一个广义坐标有虚位移时，质点的虚位移为：另外，根据约束方程也可建立虚位移之间的关系，方法如下：对于
7、约束方程，有：例如：有：2.1.5 虚功与广义力虚功：力在虚位移上所做的功称为虚功。力系中各力作用点的虚位移为：则总虚功为：记：为与对应的广义力，则有：广义力的计算方法：（1）记：，得：（2）单独使一个广义坐标发生虚位移，此时的虚功为：因此有：（3）如果所有力均为有势力，根据：， 得：例题2-1：如图双摆，以、为广义坐标，对于重力、的广义力。解：方法1：因此有：方法2：首先只让产生一个虚位移，两质点的虚位移为：虚功为：因此广义力为：再只让产生一个虚位移，两质点的虚位移为：虚功为：因此广义力为：方法3：以O处为重力势能零点，系统的势能为：广义力为：2.2 虚功（虚位移）原理2.2.1 理想约束虚
8、功的计算公式为：一个系统可能有很多力，但是有些力在虚位移上不做功。在计算虚功时这些力就不必考虑，为计算带来极大的便利。如果不做功的力是约束反力，其约束称为理想约束，比如光滑表面提供的支持力、不可伸长绳子的拉力、光滑铰链的约束反力、刚体的内力等都不作功，都是理想约束。2.2.2 虚功（虚位移）原理虚功（虚位移）原理：物体系统保持平衡的必要和充分条件是：所有力在任意虚位移上所作的虚功之和为零，即：虚功（虚位移）原理的意义：为获取系统的平衡条件、平衡（运动）方程提供了统一的具有普遍适用能力的方法。不管系统中物体的多少，不管物体是变形体还是刚体，不管物体是平衡还是运动（通过Dalembert原理转化为
9、平衡），虚功（虚位移）原理均适用，均能提供完备的方程组。例题2-2：对于光滑的墙面和地面，分析使无重刚杆保持平衡的、之间的关系，杆长为。解：虚位移为：虚功为：根据平衡条件和虚位移的任意性，可解得：例题2-3：对于图示双摆，在处作用一个水平力，求平衡时两杆与铅垂方向的夹角。2. 根据平衡条件和虚位移、的任意性，可得：解得：，2.2.3 虚功（虚位移）原理的其它形式（一）以广义力表示的虚功原理用广义力表示的平衡方程：由虚功（虚位移）原理，考虑到广义坐标虚位移的独立性和任意性，可得个独立的平衡方程：（二）保守系统的的虚功原理对于保守系统，由可得系统的独立平衡方程为：例题2-4：半径为的光滑球形槽内有
10、一长的无重刚杆，两端质量分别重、，以杆中心到球心的连线与铅垂线的夹角为广义坐标，求杆件的平衡位置。解：记为，有：，根据几何关系可得：系统的势能为：由得：2.3 DAlembert原理由牛顿第二定律有：将视为一个力：，该力的大小等于质点的质量和加速度的乘积，方向与加速度矢量的方向相反，称为惯性力。惯性力是一个假想的力，不是一个真实的力。通过惯性力，牛顿第二定律可表达为：上面式子表明：作用于质点的真实力与假想的惯性力在数学上表现为平衡。因为物体系统由质点组成，如果每一个质点均加上假想的惯性力，则系统中每一个质点均在数学上表现为平衡，则系统也在数学上表现为平衡。DAlembert原理：对于一个物体系
11、统，真实力与每个质点的假想惯性力组成平衡力系。DAlembert原理的意义：将动力学问题转化为静力平衡问题，于是动力学问题也可采用静力学问题的解决方法。因此DAlembert原理也称为“动静法”。例题2-5：图示系统中刚杆AC的质量不记，用虚功方程列出运动方程。解：用杆件AC的转角（相对于C点顺时针方向为正）表示系统的位置状态，质点的加速度为。此时对于C的力矩平衡方程为：2.4 Lagrange方程将DAlembert原理和虚位移原理结合，有结论：真实力与惯性力在系统的任意虚位移上所做的虚功之和为零。即：2.4.1 两个基本关系式的推导质点位置矢量可通过广义坐标表达为：（1）上式表明：质点的速
12、度是广义速度、广义位移和时间的函数：对求偏导数得：（2）对任意函数，有：将取为，有：2.4.2 Lagrange方程的推导（1）（2）于是转化为：由虚位移的任意性，可得：2.4.3 Lagrange方程的几种形式（1），（2）对于保守系统，有：,其中，为Lagrange函数。（3）部分有势力的Lagrange方程：，或：，为非有势力对应的广义力。例题2-6：质量为、半径为的均质圆柱在半径为的圆弧槽为做纯滚动，求其运动方程。动能：势能（以位置为势能零点）：代入Lagrange方程有：上述公式表明，圆柱在槽内的运动为非线性振动。在微幅振动情况下，有：可求得固有频率为：角度的运动规律为：其中，、由初
13、始条件(位移、速度)确定2.4.4小变形线弹性体系的运动方程（1）动能的广义速度表达式根据广义坐标的概念，任意质点的位置可表示为：，其速度为：系统的动能为：式中，由的表达式可知：。在定常约束条件下，则有：矩阵形式为：显然，为对称矩阵。（2）小变形线弹性体系的势能对于小变形线弹性体系，势能可表达为：且有：（3）运动方程的推导记：类似地有：带非有势力的Lagrange方程为：，向量形式为：在小变形情况下，有，于是：将、代入得：2.5 Hamilton方程目的：应用变分法来建立结构体系的运动方程。动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理。体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取
14、得极值，一般是极小值。Hamilton原理：在任意时间区段内，体系的动能与势能差的变分加上非保守力所做的虚功等于0。 其中：T为体系的总动能；V为体系的势能，包括应变能及任何保守力的势能。为非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的虚功。Hamilton原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，分别用对动能和势能的变分代替，仅涉及能量的处理。在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。2.5.1单自由度体系的运动方程对于单自由度体系，动能和势能可分别表示为：变分计算为：非保守力所（外力和阻尼力）做的虚功(非保守力在虚位移上作的功)为：将以上两式代入Hamilton原理，得：
15、对上式中的第一项进行分部积分：于是有：2.5.2多自由度体系的运动方程对于多自由度体系，动能和势能可分别表示为：动能的变分为：势能的变分为：非保守力所作的虚功为：由Hamilton原理可得：其中：于是有：根据虚位移的任意性，有：，记为Lagrange函数，有：，上式即为非保守系统的Lagrange方程。2.6 总结方法特点牛顿第二定律动量（矩）定理矢量方法，物理概念明确；对于复杂系统，难度大DAlembert原理矢量方法，物理概念明确，建立了动平衡概念；对于复杂系统，难度大虚功（虚位移）原理代数方法，适应各种情况Lagrange方程代数方法，适应各种情况Hamilton原理代数方法，适应各种情况表2.1 几种建立运动方程方法的特点23