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1、,20081224,7.7 定积分之几何应用 面积体积,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、微元法,提示,面积微元,相应的方法通常叫做微元法.,微元法的一般步骤：,应用方向：,面积；体积；曲线的弧长；,微元法的实质仍是“和式”的极限.,功；水压力；引力和平均值等,二、几何应用,A、直角坐标系情形,曲边梯形的面积,平面图形的面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,解,两曲线的交点,选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,B、参数方程情形,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等
2、于4倍第一象限部分面积,面积元素,曲边扇形的面积,C、极坐标系情形,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,A、旋转体的体积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,解,解,补充,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,B 平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）,三、小结,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,思考题1,思考题2,作业 补充材料,P284: 1偶、2偶、5、7、8， 10、12、14、15偶、20,思考题1解答,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,思考题2解答,交点,立体体积,