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1、第八章 圆锥曲线,http:/ 录,8.1 椭圆 8.2 双曲线 8.3 抛物线 8.4 曲线与方程 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系 本章总结,http:/ 端考 向 透 析,http:/ 学 建 议,自 主基 础 构 建,8.1 椭圆,http:/ 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(大于|F1F2|)的点P的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|MF2|2a.,知 识 梳 理,http:/ 【提示】当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，点P的轨迹为椭圆；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，点P的轨迹不存在；
2、当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，点P的轨迹为以F1、F2为端点的线段 2椭圆的标准方程及其简单几何性质,http:/ 1时，判断椭圆焦点的位置的方法是：椭圆的焦点在x轴上mn；椭圆的焦点在y轴上nm. (2)利用椭圆的方程讨论其几何性质时，一般要把方程化为标准形式，以确定焦点的位置及a，b的值 【探究与思考】椭圆的离心率e的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ 【提示】e越接近于1，椭圆越扁；e越接近于0，椭圆越接近于圆,http:/ 标 自 测,http:/ 学 建 议,互 动方 法 探 究,http:/ 椭圆的定义及应用 【温馨提示】椭圆的定义在解题中具有广泛的应用，在一些与焦点有关
3、的计算问题(特别是焦点三角形问题)及轨迹的判断问题中经常使用应用椭圆的定义解题时要注意充分挖掘动点到两定点距离之和为常数这一特征，数形结合，直观获解,典 例 研 习,http:/ 【点评】(1)一般地，遇到与椭圆的焦点有关的问题都可以考虑用椭圆的定义来解决；(2)解决椭圆的焦点三角形问题的基本策略为：紧扣椭圆的定义，结合正弦或余弦定理等解三角形知识，并在解答中合理使用方程和整体思想,http:/ 【提示】(1)略(2)长半轴a10，ABF2的周长为4a40.(3)当点P位于短轴的顶点时，所求三角形的面积S最大，且最大值为48.,http:/ 求椭圆的标准方程,http:/ 椭圆的几何性质 【温
4、馨提示】主要题型有两类：一类是根据椭圆方程研究椭圆的几何性质，如求椭圆的离心率、范围等，另一类是根据椭圆的几何性质，综合其他知识求椭圆方程或研究其他问题，这一类题型合理利用性质是关键,http:/ (1)B (2)6,http:/ 【变式与思考】(1)怎样处理解析几何中的垂直问题，常见方法有哪些？(2)第(2)小题条件不变，试求x2y2x的最小值 【提示】(1)向量法(数量积为0)，斜率法(斜率之积为1)等；(2)当x1时，x2y2x取得最小值 .,http:/ 椭圆的综合应用 【温馨提示】椭圆常与平面向量、不等式等知识相结合，命制综合题，其中热门题型有二： (1)椭圆与平面向量的交汇题，求解
5、此类试题要特别注意平面向量的工具性作用，一般地，研究夹角问题可从数量积入手；研究长度问题可从模的运算性质入手；研究共线、,http:/ (2)椭圆中的一些综合性较强的最值或范围问题，对于此类问题，一是要善于运用椭圆的定义及几何性质进行分析求解；二是要根据条件建立等式或不等式，再求参数范围，其中要注意椭圆范围的应用,http:/ (2)第(2)问是参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力，此类试题在历年高考中占有较稳定的比重,http:/ 考 排 雷,例1,http:/ 年 高 考,http:/ 1熟悉和掌握a、b、c、e的关系及几何意义，能够减少运算
6、量，提高解题速度，达到事半功倍之效 2由给定条件求得椭圆方程，常用待定系数法，步骤是：定型确定曲线形状；定位确定焦点位置；定量由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏 3解与椭圆的焦半径、焦点弦有关问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑：椭圆的焦半径的取值范围是ac，ac,http:/ (1)公式法，已知椭圆的标准方程或a、c易求时，常用离心率公式e 直接求解 (2)方程法，若根据题设条件，易得出a、b、c之间的关系式，则常进一步构造出a，c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程求得离心率,http:/ 新预 测 演 练,Loading ,http:/ 学 建 议
7、,自 主基 础 构 建,8.2 双曲线,http:/ 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距若M为双曲线上任意一点，则有|MF1|MF2|2a.,知 识 梳 理,http:/ 【提示】当2a|F1F2|时，|PF1|PF2|2a表示两条射线；当2a|F1F2|时，|PF1|PF2|2a不表示任何图形 2双曲线的标准方程和几何性质,http:/ ) A双曲线 B双曲线的一支 C一条射线 D两条射线 【解析】由条件，知|PF2|PF1|2，且|F1F2|312，故点P的轨迹为一
8、条射线 【答案】 C,http:/ 标 自 测,http:/ A,http:/ A,http:/ A,http:/ 学 建 议,互 动方 法 探 究,http:/ 双曲线的定义及应用 【温馨提示】双曲线的定义在解题中具有广泛的应用，在一些与焦点有关的计算问题(特别是焦点三角形问题)及轨迹的判断问题中经常使用在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，若无“绝对值”，则只表示双曲线中的某一支,典 例 研 习,http:/ 【解答】动圆M与两圆C1、C2都相切，有四种情况： 动圆M与两圆都相外切； 动圆M与两圆都相内切； 动圆M与圆C1外切、与圆C2内切； 动圆M与圆C1内切、与圆
9、C2外切,http:/ (1)D (2)B 【点评】(1)本例两道小题都用到双曲线的定义，熟练掌握双曲线定义和数形结合的思想非常重要；(2)与椭圆类似，解决双曲线中的焦点三角形问题的基本策略可概括为：紧扣双曲线的定义，结合正弦或余弦定理等解三角形知识，并在解答中合理使用方程和整体思想 【变式与思考】(1)将(1)中条件改为“动圆M与圆C1：(x3)2y24外切，同时与圆C2：x2y26x910内切”，试求动圆圆心M的轨迹方程；(2),http:/ 类型二 双曲线的标准方程 【温馨提示】求双曲线标准方程的方法主要有：(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应的a、b、c即可求得方程；(2
10、)待定系数法，其步骤是定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，则可设双曲线方程为一般式：mx2ny21(mn0),http:/ (1)1 (2)4 (3)y21,http:/ 值域或最值的综合运用 【温馨提示】函数的值域或最值，常与不等式，方程或函数的其他性质综合，解决此类题型时要注意遵循“定义域优先”的原则，要注意换元，凑配等技巧，从而将问题简化,【点评】(1)将方程设为通式，可代表双曲线方程的两种类型，避免讨论；(2)研究含参数双曲线要注意焦点位置的判断和分类讨论；(3)求双曲线
11、的标准方程与求椭圆标准方程一样，主要有直接法与间接法两种但求解时还须根据题目的实际条件，对双曲线方程有不同的设法，可以达到快速解题的目的，如本小题法二就是利用公共渐近线的双曲线系来巧设的,http:/ 类型二 双曲线的标准方程 【温馨提示】求双曲线标准方程的方法主要有：(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应的a、b、c即可求得方程；(2)待定系数法，其步骤是定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，则可设双曲线方程为一般式：mx2ny21(mn0),http:/ 双曲线的几
12、何性质 【温馨提示】双曲线的几何性质涉及到“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点与虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形)，明确a，b，c的几何意义及它们的相互关系，容易使我们快速找到问题的切入点,http:/ 【解答】(1)由ABx轴，所以ABE为等腰三角形，又ABE是锐角三角形，所以AEB为锐角，,http:/ (1)B (2)C 【点评】(1)与椭圆的离心率类似，双曲线的离心率问题的求解策略主要有二：公式法，已知双曲线的标准方程或a，c易求时，常用离心率公式e 直接求解；方程法，若根据题设条件，易得出a，b
13、，c之间的关系式，则常进一步构造出a，c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程求得离心率e. (2)要特别注意等轴双曲线的几何性质：等轴双曲,http:/ . 【变式与思考】(1)求双曲线离心率e的取值范围的关键是什么？(2)将第(1)小题中的条件“ABE是锐角三角形”改为“ABE是等腰直角三角形”，试求此时双曲线的离心率e. 【提示】(1)找出与a，b，c相关的不等式，并构造出关于a，c的齐次不等式；(2)e2.,http:/ 双曲线的综合应用 【温馨提示】与椭圆类似，双曲线也常与平面向量、数列、解三角形、不等式等知识相结合来命制综合题，其中热门题型有二： (1)双曲线与平面向量的交汇题
14、，求解此类试题要特别注意平面向量的工具性作用，一般地，研究夹角问题可从数量积入手；研究长度问题可从模的运算性质入手；研究共线、共点问题则应从实数与向量的积入手比如，用数量积为零处理垂直问题，就比用斜率简单得多,http:/ ，F1F2P90. (1)求双曲线的离心率； (2)若过F1且斜率为1的直线l与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，AOB的面积为 ，求双曲线的方程,同类训练,http:/ 考 排 雷,例1,http:/ 年 高 考,【考题赏析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题求圆锥曲线的标准方程通常利用待定系数法求解，注意双曲线中c最大,http:/
15、|PF1|4b，而|PF1|PF2|2a， 4b2c2a，c2ba，c2(2ba)2，,http:/ 新预 测 演 练,Loading ,http:/ 学 建 议,自 主基 础 构 建,8.3 抛物线,http:/ 平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，定点F叫做抛物 线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 【探究与思考】当定点F在直线l上时，动点的轨迹是什么图形？ 【提示】过点F且与直线l垂直的直线,知 识 梳 理,http:/ (2)抛物线的开口方向与焦点的位置关系：焦点在x(或y)轴的正半轴上，开口向右(向上)，焦点在x(或y)轴的负半轴上，开口向左(向下) 3抛物线的
16、几何性质,http:/ (2)在抛物线y22px(p0)上，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为( ，p)，( ，p)，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p.,http:/ (1)抛物线的几何性质的特点：只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；(2)抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离,http:/ ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【解析】由题意知，点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，符合抛物 线的定义 【答案】 D,达 标 自 测,http:/ 【答案】 (2,0),h
17、ttp:/ 【答案】 y22x，y218x,5已知AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2、y2)，求证： (1)x1x2 ； (2)|AB|x1x2p (为直线AB与x轴的夹角)； (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,http:/ 学 建 议,互 动方 法 探 究,http:/ 抛物线的定义及应用 【温馨提示】抛物线的定义是解决抛物线问题的基本方法，也是一个捷径，涉及到抛物线的焦半径、焦点弦问题，都可以优先考虑到用抛物线的定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，这样往往可以使问题简单化,典 例 研 习,http:/ 【解答】(
18、1)把A(1,2)代入y22px，得2p4， y24x，焦点F(1,0)，准线x1. 把A(1,2)代入axy40，得a2，直线方程为y2x4.,http:/ (1)A (2)A 【点评】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说，用定义的问题都与焦半径问题相关 【变式与思考】(1)求解诸如第(1)小题这样的直线与二次曲线相交的问题的基本策略是什么？(2)将第,http:/ 【提示】(1)设出交点坐标但不求(即设而不求)，再利用韦达定理整体求解(2)最小值为 ，此时点P的坐标为(2,2),http:/ 抛物线的标准方程 【温馨提示】求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法抛物线的标准方程有四种形式，因此在设方程形式之前，首先要确定抛物线的焦点位置当抛物线的焦点位置不明确时，可分类讨论，也可利用统一设法：焦点在x轴上的抛物线方程设为y22ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线设为x22ay(a0),http:/