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1、1.化归思想方法:就是在研究和解决有关数学问题时, 采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化,进而 达到使问题解决的一种方法,在解决数学问题时,常 遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化为 一个新问题(相对来说,对自己较为熟悉)通过对新问 题的求解,达到解决原问题的目的. 2.转化思想方法:是实现问题的规范化、模式化以便 应用已知的理论、方法和技巧,达到问题的解决,其 思维过程的形式如图.解题的过程就是“转化”的过 程,“转化”是解数学题的重要思想方法之一.,2011年高考数学 转化与化归思想,3.转化具有多样性、层次性和重复性的特点,为了实 施有效的转化,既可以变更问题的条件,也可以变
2、更问 题的结论;既可以变换问题的内部结构,又可以变换问 题的外部形式,这就是多样性.转化原则既可以应用于 沟通数学与各分支学科的联系,从宏观上实现学科间 的转化,又能调动各种方法与技术,从微观上解决多种 具体问题,这是转化的层次.而解决问题时可以多次的 使用转化,使问题逐次达到规范化,这是转化原则应用 的重复性.,问题,规范问题,原问题的解答,解答,问题 转化,已知理论、方法、技巧,问题 还原,1.函数y=sin4x+cos2x的最小正周期是 （ ） A. B. C. D. 解析,B,2.在直角坐标系中,O是坐标原点, 动点P在直线x=3上运 动,若从动点P向Q点的轨迹引切线,则所引切线长的
3、最小值为 （ ） A.4 B.5 C. D. 解析 点Q的轨迹是以(-2,-2)为圆心,半径为1的圆, 要使所求切线长最小,只要使圆心到直线x=3的距 离最短即可.,C,3.设椭圆 (ab0)的半焦距为c,直线l过 （0,a)和(b,0),已知原点到l的距离等于 ,则椭 圆的离心率为 （ ） A. B. C. D. 解析 直线方程为l:ax+by-ab=0, 所以 ， 变形为12e4-31e2+7=0,再解出 .,B,4.设O是坐标原点,A(1,1),若B(x,y)满足 ，则 取最小值时, 点B的个数 （ ） A.1 B.2 C.3 D.无数个 解析 点B（x,y）满足 画出可行域如图阴影部分
4、,又A(1,1), B(x,y),令 =x+y=t，则由t得 几何意义可知，当过圆中B1、B2两点 时，t的值最小，此时tmin=3,所以 取最小值时,点B的个数为2.,B,题型一 等与不等的转化与化归 【例1】若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取 值范围. 解 方法一（看成函数的值域） ab=a+b+3， 即a1或a-3,又a0, a1,故a-10. 当且仅当 ,即a=3时取等号.,又a3时， 是关于a的单调增函数. ab的取值范围是9，+）. 方法二（看成不等式的解集） a，b为正数， ab9. 【探究拓展】将一个等式转化成不等式，是求变量取 值范围的重要方法，通常利用函数的
5、单调性解答此类 问题，或者利用基本不等式解答这类问题.,变式训练1 已知三实数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m (m是正常数)，求b的取值范围. 解 方法一 设三个实数为 由a+b+c=m,得,方法二 因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac, 又a+b+c=m,所以 则a、c是关于x的方程x2-(m-b)x+b2=0的两个实数根, 所以=-(m-b)2-4b20,题型二 正与反的转化与化归 【例2】试求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不 能被直线y=m(x-3)垂直平分. 解 由题意可知，m0， 所以设抛物线上两点 关于直线y=m(x-3) 对称，于是有：,因为存在x1R使上式恒
6、成立， 即12m3+2m2+10, 也即(2m+1)(6m2-2m+1)0. 因为6m2-2m+10恒成立, 所以2m+10,所以 . 即当 时,抛物线上存在两点关于直线 y=m(x-3)对称. 所以当 时,曲线y=x2的所有弦都不能被直线 y=m(x-3)垂直平分.,【探究拓展】在进行正与反的转化时,一定要搞清楚 问题的反面是什么,就本题而言,它的反面是“至少 存在一条弦能被直线y=m(x-3)垂直平分”,进而将 问题转化成对称问题,在解答问题时,正难则反是转 化的一种有效手段. 变式训练2 已知a、b、c(0,1),求证:(1-a)b, (1-b)c,(1-c)a不能同时大于 . 证明 “
7、不能同时大于 ”包含多种情形,不易直 接证明,可用反证法证明. 假设三式同时大于 ，,a、b、c(0,1), 三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a . 这与假设矛盾，故原命题正确.,题型三 以换元为手段的转化与化归 【例3】已知函数f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小 值为g(a). (1)求g(a)的表达式； (2)若g(a)= ,求实数a的值,并求此时f(x)的最大值. 解（1）因f(x)=2cos2x-2acos x-2a-1 令t=cos x,则-1t1,(2)由题意分析得:只有 一种情况， 所以令 ,其中-2a2, 解得a=-1, 此时 , 所以当co
8、s x=1,即x=2k (kZ)时， 函数f(x)的最大值为5. 【探究拓展】通过换元将三角问题转化成较为熟悉的 二次函数问题,应特别注意换元后t-1,1,应讨论 二次函数的对称轴与区间-1,1的位置关系,才能快 速、准确解答此题.,变式训练3 求函数 的最大值和最 小值. 解 设t=sin x+cos x Z Z,题型四 常量与变量的转化与化归 【例4】设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若 f(-1-ax-x2)f(-2-a)对任意a-1,1恒成立， 求实数x的取值范围. 解 由题意知,-1-ax-x2-2-a, 即(1-x)a-x2+10,令g(a)=(1-x)a-x2+1, 所以原不
9、等式等价于 解得x(-,-21,+)， 所以实数x的取值范围是(-,-21,+).,【探究拓展】 在解答这类问题时,往往是通过变换 主元的方式，转换思维方式从而使问题的解答变得 简洁、明快. 变式训练4 已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中 的a为正整数，问a取何值时此方程至少有一个整数 根. 解 原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7， x=-2不是原方程的解， 又a为正整数， 即x2+2x-30，,解得-3x1. 又x是整数且x-2, x=-3,-1,0,1, 把它们分别代入原方程得 又因为a为正常数， 故当a=1或a=5时,原方程至少有一个整数根.,【考题再现】 已知奇
10、函数f(x)的定义域为实数集R,且f(x)在0, +)上是增函数,当 时,是否存在这样的实 数 m,使 对所有 的 均成立?若存在,求出所有适合条件的实 数m;若不存在,请说明理由.,【解题示范】 解 由f(x)是R上的奇函数可得f(0)=0,再利用f(x)的单 调性,则可把原不等式转化为关于 的三角不等式. f(x)在R上为奇函数,又在0,+)上是增函数,故 f(x)在R上为增函数,且f(0)=0. 2分 由题设条件可得, 又由f(x)为奇函数,可得 4分 f(x)在R上为增函数, 6分,令 0t1. 于是问题转化为对一切0t1, 不等式t2-mt+2m-20恒成立. 8分 t2-2m(t-
11、2),即 又 10分 11分 存在实数m满足题设的条件, 12分,转化思想方法包含三个基本要素： 1.把什么东西转化,即转化的对象； 2.转化到何处去,即转化的目标； 3.如何进行转化,即转化的方法. 转化思想方法应遵循以下五条原则： 1.熟悉化原则:将陌生等问题转化成熟悉的问题,以利 于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决. 2.简单化原则:将复杂问题转化成简单问题,通过对简 单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某 种解题的启示和依据.,3.和谐化原则:转化问题的条件或结论,使其表现形式 更符合数与形内部所表示和谐统一的形式,或者转化 命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们
12、的思维规律. 4.直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的 问题来解决. 5.正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到 考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,是问题 获得解决，或证明问题的可能性.,一、选择题 1.已知向量a=(1,1),b=(x,-1),若a与b所成的角不是 锐角，则x的取值范围是 （ ） A.(-,1) B.(-,1 C.(-1,1 D.(1,+) 解析 假设a与b所成的角是锐角 ， 则 得x1, 所以a与b所成的角不是锐角时， x的取值范围是（-,1.,B,2.已知abc,a+b+c=0,当0x1时,代数式ax2+bx +c的值是 （ ） A.正数 B.负数
13、C.0 D.介于-1到0之间 解析 由abc,a+b+c=0知a0,c0,令 f(x)=ax2+bx+c, 则f(0)=c0,f(1)=a+b+c=0, 设m是f(x)=0的另一根， 则 所以在区间(0,1)上,f(x)=ax2+bx+c0.,B,3.若直线2ax-by+2=0(a0,b0)被圆x2+y2+2x-4y+1 =0截得的弦长为4，则 的最小值是 （ ） A.2 B. C. D.4 解析 圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4，所以圆心 为M(-1,2),半径R=2,则已知直线过圆心,即a+b=1, 所以,D,4.设函数f(x)对于任意实数x都有f(x+1)=f(1-x)恒成
14、立，且方程f(x)=0有2 009个解，则这2 009个解的 和是 （ ） A.0 B.-1 C.2 009 D.4 018 解析 由题意可知,函数f(x)的图象关于直线x=1对 称,而方程f(x)=0有2 009个解,所以f(1)=0,即x=1是 它的一个根,其它根关于x=1对称,所以这2 009个解 的和是1 0042+1=2 009.,C,5.在RtABC中,C=90,BC=a,AC=b,则ABC外 接圆的半径为 ,运用类比方法,在四面体 SABC中,若SA、SB、SC两两垂直,SA=a,SB=b, SC=c,则四面体SABC外接球的半径R等于 （ ） A. B. C. D.,解析 因为
15、在四面体SABC中,有SA、SB、SC两两垂 直,则可以SA、SB、SC为棱把四面体补成长方体,所 以长方体的对角线长为 ,又因四面体 SABC与补成的长方体有相同的外接球，所以 答案 B,6.已知椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P为椭圆上的一点,且|PF1|PF2|的最大值 的取值范围是2c2,3c2,其中 则椭圆的离心 率的取值范围为 （ ） A. B. C. D.,解析 因为|PF1|+|PF2|=2a， 即(|PF1|PF2|)max=a2，所以2c2a23c2, 答案 A,二、填空题 7. =_. 解析 原式=,8.已知a,b,x,yR,a2+b2=4,ax+by=6
16、,则x2+y2的最小 值为_. 解析 由题意可设 则 所以 即x2+y2=r2=,9,9.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A、B两点并向抛物线 的准线作垂线.垂足分别为D、C，则梯形ABCD的面 积为_. 解析 由 得x2-10x+9=0, 解得x1=9,x2=1,如图， 梯形面积 S= (|AD|+|BC|)|CD| = (x1+x2+p)|y1-y2| = (9+1+2)2(3+1)=48.,48,10.已知函数f(x)满足f(1)=2, 则f(1)f（2）f（2 009）=_. 解析 由题意得， 所以f(x)是以4为周期的函数， 且f(1)f(2)f(3)f(4)=1， 所以f(1)f(2)f(2 009) =1502f(2 009) =f(5024+1)=f(1)=2.,2,三、解答题 11.设二次函数f(x)=x2+bx+c (b，cR),且对任意实 数 （1）求证：b+c=-1； （2）求证：c3. 证明 (1)因 又 所以 -1，1,则 即f(1)0,f(1)0,所以f(1)=0,即b+c=-1. (2)由(1)可知f(3)0, 即9+3b+c0,又b+c=-1, 所以9-3(1+c)+c0,即6-2c0,所以c3.,解,返回,