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1、有限差分方法有限差分方法一种求偏微分(或常微分)方程和方程组定解问题的数值解的方法，简称差分方法。微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式
2、把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。偏微分方程初值问题的差分法许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质：若初始时刻t=t0的解已给定,则t t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格
3、式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。双曲型方程的差分方法最简单的双曲型方程的初值问题是：式中嫓(x)为已知初值函数。这初值问题的解是：u(x,t)=嫓(x-at)。(2)由(2)可见，(1a)(1b)的解(2)当a0时代表一个以有限的速度a沿特征线x-at=常数向右传播的波,而解u(x,t)在P(慜,惭)点的值完全由嫓(x)在x轴上的点A(慜-惭,0)的值决定。A点就是双曲型方程(1a)在P点的依赖域(图1)。现以初值问题(1)为例介绍初值问题差分方法的基本思想。剖分网格用网格覆盖(1a),(1b)的定解区域,如图2所示,在x，t平面的上半部作两族平行于坐标轴的直线：x=xj=jx，
4、j=0,1,2,t=tn=nt，n=0,1,2,并称之为网格线。x,t分别称为空间步长和时间步长。网格线的交点(jx，nt)称为格点。建立差分格式以下除特别声明外,总设a0,由泰勒公式，有：，(3a)和-12 0(3b)解出，代入(1a)得：(4)式中(5)E是微分方程(1a)用它的解在相邻三个格点(见图2)上的值的差分来表示的形式。略去(4)中关于x,t的高阶项E,得到一个较简单的差分方程,但微分方程的解u(jx,nt)不再是这方程的解；设这个方程的解是u，u满足的方程是：；(6)式(6)还可写成：；(6)初值条件(1b)此时就是：u=嫓(xj),j=0,1,2,。(7)差分方程(6)和相应
5、的初值条件(7)合称差分格式，利用这些格式可逐步算出t=t,2t,各时间层的u,u,，等等。这个把微分方程化为近似的差分方程的过程常称为离散化。差分格式的截断误差和相容性(5)中的E是把微分方程充分光滑的解代入差分方程(6)的结果,它说明微分方程(1a)和差分方程(6)的区别，称为差分格式(6)的截断误差。式(6)的截断误差对t和x都是一阶的，写成O(x+t)，因此称差分格式(6)为一阶相容格式。一般说，如果x，t趋于零，截断误差也趋于零,则差分方程与微分方程是相容的。不相容的格式的解不能作为原微分方程的近似解，因而是无用的。方程(1a)的离散化过程也不是唯一的。例如取数值微分公式：代替微分方
6、程(1a)中的，可得另一个差分方程：，(9)它的截断误差是O(x2+t)阶的,也是相容的差分格式，再若用数值微分公式代替(1a)中的,又得到截断误差为O(x+t)的相容差分格式：。(11)但是，并不是每个相容格式都有用。差分格式的收敛性设P(慜,惭)是求解区域中的一点，取步长x,t使慜=jx，惭=nt,用差分格式算出u,如果当x,t0时u-u(慜，惭)0,便可用步长充分小时的u作为微分方程的解u(jx，nt)的近似，这种差分格式便是收敛的。双曲型微分方程的解，对求解区域内一点(慜，惭)而言，在初值区域内有一个依赖域,差分方程也是如此,对于差分方程(6),点(jx,nt)的依赖域是初值线上区间【
7、(j-n)x,jx】。如令t/x=r=常数,慜=jx,惭=nt，则差分方程(6)在点(慜,惭)的依赖域为【慜-a惭/r，慜】,并且步长比r固定时，依赖域与x，t无关。差分方程(9)在(慜,惭)的依赖域是【慜-a惭/r,慜+a惭/r】，而差分方程(11)的依赖域则是【慜，慜+a惭/r】,R.库朗等人曾经证明，差分格式收敛的一个必要条件是差分方程的依赖域应包含微分方程的依赖域，这个条件叫作库朗条件。从图3中可以看到，对于差分方程(6)，这个条件是慜-a惭/r慜-a惭慜，即对于格式(9)，库朗条件是,两者不同。对于格式(11),库朗条件是慜慜-a惭慜+a惭/r；在a0时,显然不能成立,所以格式(11
8、)当a0时不收敛，因而也是无用的。格式(6)a0在而库朗条件满足时，的确是收敛的。因为的离散化误差适合由此可知：又因差分格式与微分方程的初值相同，于是可知：这说明条件满足时，格式(6)收敛。如果a0时，用向后差商代替,往上风取近似值；当a0使当t、x0而0t=ntT时，恒有K,则称此差分格式是稳定的。以格式(6)为例，适合差分方程：可证当时，取，则有这说明，用格式(6)计算时，若步长比合于库朗条件,则初值误差的影响不增长，即使t缩小，算到t=T时,也不再增大，因而格式是稳定的。对于线性偏微分方程组的稳定性理论,J.von诺伊曼曾用傅里叶分析作了系统研究，把差分方程的解表成谐波的叠加，考察其中一
9、个谐波(12)的增长情况，式中k为实数；G=G(k,t)称为增长因子。若对于一切谐波，(12)的振幅一致有界，即对一切合于0ntT的n和充分小的t都有|Gn|K,K为常数,则此差分格式是稳定的。具体地说，对格式(6),把(12)代入(6)，得：而故当时,G1，解的振幅不增加,所以格式(6)是稳定的。相容性和库朗条件都不能保证稳定性，例如对格式(9)，把(12)代入，得：而故当sinkx厵0时，恒有|G|1,解的振幅逐层增加,所以虽然格式(9)是相容的格式，并且适合库朗条件,但它仍是不稳定的，因而也是无用的。P.D.拉克斯1956年曾证明：对于线性偏微分方程组的适定的初值问题，一个与之相容的线性
10、差分格式是收敛的格式的充分必要条件是这格式的稳定性。非线性问题没有相应的等价定理。抛物型方程的差分方法抛物型方程的定解问题是初值问题或初值边值问题。为了说明抛物型方程差分方法的某些特点，考虑热传导方程的初值、边值问题：式中a0为常数；(x)为给定的连续函数。这里也是用直线x=xj=jx，j=0,1,t=tn=nt，n=0,1,2,N(=T/t)，剖分求解区域为矩形网格(见图4),式中x=1/,为正整数。利用数值微分公式：中的(14a)及(14b)，从微分方程(13)可得差分格式：这里计算u囃时只用到前一层的u囐，u怹及u囐，是一个显示格式。要是用(14a)和(14c)，则得到一个隐式差分格式：
11、此时计算u囃必须解一个线性代数方程组。用诺伊曼方法，可以证明：当常数时,对于任何r值，格式(16)是无条件稳定的；格式(15)则是条件稳定的,稳定性条件是。显然格式(15)的时间步长要受到较大的限制。隐式格式归结为解线性代数方程组。最简便的方法是追赶法,其要点如下：对于每个时间步n+1，把(16)改写成：用消去法可导出如下两套递推公式：和用公式(18a)从j=0出发，逐步先求出j和j，然后用(18b)从j=-1逐步求出u囄,u冁,u啭,u囆来。当Aj0，Bj0，CjAj+Bj时，这两个递推过程都是稳定的。偏微分方程边值问题的差分法物理上的定常问题，如弹性力学中的平衡问题，亚声速流、不可压粘性流
12、、电磁场及引力场等可归结为椭圆型方程。其定解问题为各种边值问题，即要求解在某个区域D内满足微分方程，在边界上满足给定的边界条件。椭圆型方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格，建立差分格式，求解代数方程组以及考察差分格式的收敛性等问题。泊松方程是椭圆型方程的典型例子，它的第一边值问题为：式中D为x,y平面上某个封闭区域；D为它的边界(图5)；(x,y),g(x,y)为连续函数；u(x,y)为未知解。以下简单介绍其差分解法的基本思想。通常可将定解区域剖分成矩形网格或三角形网格。三角形网格对不规则区域较为方便。为简便起见，设D为单位正方形，x和y方向均取为等距步长h，并用直线xi=ih，yj=jh
13、(i，j=0，1，2，N)将此正方形D=0xy1剖分成正方形网格。在格点(i,j)上,微商uxx、uyy分别用x、y方向的二阶中心差商来代替，得到差分格式：的截断误差是二阶的。将u吗按顺序u1,1,u1,2,，u,u2,1,u2,2,，排列，并用矢量形式表示为：u=(u1,1,u1,2,u,u2,1,u2,2,u)TT代表转置，则(20)可写成方程组，(21)其中系数矩阵A为三对角块状方阵,I为(N-1)(N-1)的单位矩阵,S亦为(N-1)(N-1)矩阵。偏微分方程边值问题的差分方程组的特点是系数矩阵中非零元素很少，即是稀疏矩阵。近年来由于稀疏矩阵技术的发展，解差分方程组时，直接法受到了较多
14、的重视。迭代法是用逐次逼近的方式得到差分方程组的解，它的存储量小，程序简单，因此常用于椭圆型差分方程组的求解。迭代方法很多，最基本的有三种：同时位移法(也称雅可比法)：，(23)n代表迭代的次数。逐个位移法(也称赛德耳法)：，(24)当已算出时，取，否则。松弛法：，(25)当已算出时，否则，式中为松弛因子；02,1为超松弛法。三个方法中超松弛法收敛最快，是常用的方法之一。差分方法的发展和应用前面阐述了两个自变量，线性方程的差分法。实际问题常会遇到多个自变量，非线性的方程或方程组；它们还可能是混合型的偏微分方程(如机翼的跨声速绕流)，其解包含着各种间断(如激波间断、按触间断等)。非线性问题的差分
15、法求解是十分困难的。随着电子计算机的发展，在解决各种非线性问题中，差分法得到了很快的发展，并且出现了许多新的思想和方法，如守恒差分格式，时间相关法、分步法等。守恒差分格式数学物理偏微分方程通常代表某种物理、力学中的守恒律(如质量守恒、动量守恒、能量守恒、粒子守恒等)。原始问题的差分格式，若能保持同样的守恒性质，就称为守恒差分格式。守恒性反映出物理问题的整体性质，用它来检验差分格式的好坏是合理的。对于间断的问题，守恒格式特别重要。从积分守恒关系式出发，利用积分插值方法容易得到守恒格式。这时对于复杂的求解区域、各种类型边界条件、间断系数等复杂情况都可以处理。时间相关法把定常的微分问题用一个相应的非
16、定常问题来代替，然后用差分法解后者的初值问题，要求当t时,它的稳定解为原来问题的解，这类方法叫作时间相关法。实践上，当计算时间足够大时，就能得到满足给定精度的近似解。例如拉普拉斯方程第一边值问题：可以用热传导方程的初边值问题：(27)来代替。若用显式格式计算(27)，可避免解大型代数方程组。特别是当微分方程的类型在定解区域内发生变化时，可只用一种类型来算，而使问题大大化简。这种方法在定常问题中广泛使用。缺点是达到定常解的计算时间较长，有待改进。分步法把复杂的问题的每一时间步分解成几个中间步，例如把多维问题按坐标分解为几个一维问题，然后用差分法解这些比较简单的各中间步，最后得到原始问题的近似解，
17、这类方法叫作分步法。交替方向法、预估-修正法、时间分裂法、因式分解法等都属此类。以二维抛物型方程定解问题：为例，用显式格式求解，时间步长受稳定性条件：的限制，用隐式格式,则归结为大型线性代数方程组,解起来比较麻烦。1955年皮斯曼-拉什福德提出交替方向隐式格式：(i=1,2,N-1；j=1,2,-1；n=0,1,2,)为中心差分算符，第一步x方向取隐式，y方向取显式，第二步则相反。两步合成无条件稳定的格式。由于每一步可用追赶法求解，大大简化了解法。交替方向法出现后，进一步发展了各种形式的分步格式，并可推广到任何维数的方程或方程组的情形，困难在于边界条件的处理。有限差分方法已成为解各类数学物理问
18、题的主要数值方法，也是计算力学中的主要数值方法之一。有些解偏微分问题的方法(如特征线法、直线法)实质上也是差分方法的一种形式。在固体力学中，有限元方法出现以前，主要采取差分方法；在流体力学中，差分方法仍然是主要的数值方法。当然，对于某些具有复杂的几何形状及复杂的流动现象的实际问题，差分方法还有待进一步发展。参考书目冯康等编：数值计算方法，国防工业出版社，北京，1978。胡祖炽编：计算方法,高等教育出版社,北京,1959。清华大学、北京大学计算方法编写组编：计算方法，科学出版社，北京，1980。朱幼兰等著：初边值问题差分法及绕流，科学出版社，北京，1980。R.D.里奇特迈尔著，何旭初等译：初值
19、问题差分方法，科学出版社，北京，1966。(R.D.Richtmyer,Difference Methods for Initial-Value Problems,Interscience Pub.,New York,1957.)R.D.Richtmyer,K.W.Morton,Difference Methods for Initial-Value Problems,2nd ed.,Interscience Pub.,New York,1967.在我们解方程的时候，要求第n+1时刻的响应，需要知道n时刻和n+1时刻的响应(即等式两边都包含所求的未知量)解方程需要解耦合矩阵(质量矩阵求逆)显示
20、求解要求N+1时刻的响应仅仅需要知道N时刻响应即可，求解不需迭代。精度不高有误差。谈谈有限元软件中显式算法和隐式算法的比较分析和区别显式算法，采用中心差分显式时间积分，由于方程是非耦合形式，可以直接求解，不像隐式方程那样求解刚度矩阵，之所以采用这样的算法思路主要是为解决瞬态动力学服务的，它最本质的算法是中心差分，因此它的求解效率高，但精度不高，而且必须设定非常小的时间步求解以保证稳定状态。而隐式算法，采用的是newmark等隐式时间积分，引入了微量代替，需要转换刚度矩阵，对于非线性，需要采用多种数值计算方法，比如用于线性逼近的牛顿-拉夫逊迭代公式等，这种算法多用于静力问题，结构分析，低频率动力
21、学问题等等。因为这类问题时间历程较长，可以采用较大的时间步，也能保证一定的精度要求。隐式算法是指对于每一增量步，时间积分必须满足平衡方程，反复迭代求解，结果准确，但是求解时间长，而且有时会发散。显式算法求解时不需要迭代，避免了不收敛问题，但是时间步长的选择必须非常小心，根据算法的稳定准则。显示动力学与隐式动力学分析比较显式分析，下一步的计算结果只和前面的计算结果有关。有条件收敛，要求时间步较小。通常做动力分析用这种方法。1 Q.6 R9 E！M；/j隐式分析，下一步的计算结果不仅和前面的结果有关，而且和下一步的结果有关，通过迭代得到。无条件收敛。通常做静力分析用这种方法。两种方法的详细比较1、
22、显式算法基于动力学方程，因此无需迭代；而静态隐式算法基于虚功原理，一般需要迭代计算2、显式算法显式算法最大优点是有较好的稳定性。动态显式算法采用动力学方程的一些差分格式(如广泛使用的中心差分法、线性加速度法、Newmark法和wilson法等)，不用直接求解切线刚度，不需要进行平衡迭代，计算速度快，时间步长只要取的足够小，一般不存在收敛性问题。因此需要的内存也比隐式算法要少。并且数值计算过程可以很容易地进行并行计算，程序编制也相对简单。但显式算法要求质量矩阵为对角矩阵，而且只有在单元级计算尽可能少时速度优势才能发挥,因而往往采用减缩积分方法，容易激发沙漏模式，影响应力和应变的计算精度。静态显式
23、法基于率形式的平衡方程组与Euler向前差分法，不需要迭代求解。由于平衡方程式仅在率形式上得到满足，所以得出的结果会慢慢偏离正确值。为了减少相关误差，必须每步使用很小的增量。3、隐式算法隐式算法中，在每一增量步内都需要对静态平衡方程进行迭代求解，并且每次迭代都需要求解大型的线性方程组，这以过程需要占用相当数量的计算资源、磁盘空间和内存。该算法中的增量步可以比较大，至少可以比显式算法大得多，但是实际运算中上要受到迭代次数及非线性程度的限制，需要取一个合理值。4、求解时间使用显式方法，计算成本消耗与单元数量成正比，并且大致与最小单元的尺寸成反比应用隐式方法，经验表明对于许多问题的计算成本大致与自由
24、度数目的平方成正比因此如果网格是相对均匀的，随着模型尺寸的增长，显式方法表明比隐式方法更加节省计算成本隐式求解法将冲压成型过程的计算作为动态问题来处理后，就涉及到时间域的数值积分方法问题。在80年代中期以前，人们基本上使用牛曼法进行时间域的积分。根据牛曼法，位移、速度和加速度有着如下的关系：上面式子中，分别为当前时刻和前一时刻的位移，和为当前时刻和前一时刻的速度，和为当前时刻和前一时刻的加速度，和为两个待定参数。由上式可知，在牛曼法中任一时刻的位移、速度和加速度都相互关联，这就使得运动方程的求解变成一系列相互关联的非线性方程的求解。这个求解过程必须通过迭代和求解联立方程组才能实现。这就是通常所
25、说的隐式求解法。隐式求解法可能遇到两个问题。一是迭代过程不一定收敛；二是联立方程组可能出现病态而无确定的解。隐式求解法的最大优点是它具有无条件稳定性，即时间步长可以任意大。显式求解法：如果采用中心差分法来进行动态问题的时域积分，则有如下位移、速度和加速度关系由上式可以看出，当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前时刻的位移求解无需迭代过程。另外，只要将运动方程中的质量矩阵和阻尼矩阵对角化，前一时刻的加速度求解无需解联立方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式求解法。显式求解法的优点是它即没有收敛性问题，也不需求解联立方程组，其缺点是时间步长受到数值积分稳定性的限制，不能
26、超过系统的临界时间步长。由于冲压成型过程具有很强的非线性，从解的精度考虑，时间步长也不能太大，这就在很大程度上弥补了显式求解法的缺陷。在80年代中期以前显式算法主要用于高速碰撞的仿真计算，效果很好。自80年代后期被越来越广泛地用于冲压成型过程的仿真，目前在这方面的应用效果已超过隐式算法。显式算法在冲压成型过程的仿真中获得成功应用的关键，在于它不像隐式算法那样有解的收敛性问题。显式算法和隐式算法，有时也称为显式解法和隐式解法，是计算力学中常见的两个概念，但是它们并没有普遍认可的定义，下面只是我的一些理解。先看看一般对两种方法的理解和比较。显式算法隐式算法-(01)适用问题动力学(动态)静力学(静
27、态)(02)阻尼人工阻尼数值阻尼-(03)每步求解方法矩阵乘法线性方程组(04)大矩阵(总刚)否是(05)数据存贮量小大(06)每步计算速度快慢(07)迭代收敛性无有(08)确定解有确定解可能是病态无确定解-(09)时步稳定性有条件无条件(10)时间步小大(11)计算精度低高(01)是明显不对的，只是对两种方法的初级理解，(02)也是同样。下面要详细讨论这两点。(03)是每一步求解的方法，(04)(05)(06)(07)(08)是由(03)所决定的，它们不是两种方法的基本特点。同样，(09)是时间步选择的方法，(10)(11)是由(09)所决定的。通过(03)(09)可以得到两种方法的计算特点
28、，显式算法是每一步求解为矩阵乘法，时间步选择为条件稳定；隐式算法是每一步求解为线性方程组求解，时间步选择为无条件稳定。下面主要分析两种方法的应用范围。a)在求解动力学问题时，将方程在空间上采用有限元法(或其他方法)进行离散后，变为常微分方程组M.u+C.u+Ku=f。求解这种方程的其中两种方法为，中心差分法和Newmark法。采用中心差分法解决动力学问题被称为显式算法，采用Newmark法解决动力学问题被称为隐式算法。在求解动力学问题时，离散元法(也有其他方法)主要有两种思想：动态松弛法(向后时步迭代)，静态松弛法(每一步要平衡)。动态松弛法是显式算法，静态松弛法是隐式算法。其中冲压成型就是动
29、态松弛法的主要例子。c)在求解静力学问题时，有时候将其看作动力学问题来处理而采用动态松弛法，这是显式算法。Flac就是主要例子。：最后总结，8 y7 V3|+i+5显式算法隐式算法-(01)每步求解方法矩阵乘法线性方程组！(02)时步稳定性有条件无条件-(03)适用问题动力中心差分法动力Newmark法动力动态松弛法动力静态松弛法静力动态松弛法附加说明：1)求解线性静力学问题，虽然求解线性方程组，但是没有时步的关系，所以不应将其看作隐式算法。(2)求解非线性静力学问题，虽然求解过程需要迭代，或者是增量法，但是没有明显的时步问题，所以不应将其看作隐式算法。3)静态松弛法，可以认为是将动力学问题看
30、作静力学问题来解决，每一步达到静力平衡，需要数值阻尼。4)动态松弛法，可以认为是将静力学问题或者动力学问题，分为时步动力学问题，采用向后时步迭代的思想计算。对于解决静力学问题时，需要人工阻尼。显式差分：大家都知道数值分析中的差分，将其中的向前差分用于方程的处理就可以得到新时间步上的值及由X(n+1)=QX(n)来得到新值，其中X(n)为T时刻的值，X(n+1)为T+1时刻的值，也就是说显式差分完全可以有已知或已算出的值来计算出下一个时间步的值。这样的差分就是显式差分。%NKS dDV-?隐式差分：与显式差分不同，隐式差分要获得新时间步的值不仅要已知或已算出的值还要用到新时间步的值，及X(n+1
31、)=QX(n)，X(n+1)，可以看出这样的方程来求解新时间步就要用到迭代，这些数值分析上大家已经了解。像这样的求解新时间步时同时用到旧值和新值的差分就是隐式差分方法。但是由于隐式差分是无条件稳定的，所以隐式算法不存在稳定性问题。隐式差分方程课件.htm微分方程数值解先修课程：数学分析、高等代数、数值分析、常微分方程和数学物理方程。数学物理方程简介(三大类方程的导出)数学物理方程简介(偏微分的一些基本概念)欧拉法、梯形法、单步法、Runge-Kutta法等线性多步法、误差事后估计、高阶和方程组的数值解法。偏微分的差分格式建立的基础、显式格式、隐式格式解三对角型方程组的追赶法、差分格式的稳定性和
32、收敛性。非线性抛物型方程的差分方法、二维抛物型的差分方法。交替方向的隐式差分法；Laplace方程Dirichlet边值问题的差分法(另一章)。Neumann边值问题、混合边值问题、非矩形区域的差分模拟。极坐标形式的差分格式、矩形区域的五点差分格式的敛速分析。椭圆型方程差分方程的迭代解法、多重网格法一阶拟线性双曲型方程、方程组的特征线法一阶双曲型方程、方程组的差分法二阶双曲型方程的差分法非线性双曲型守恒律简介、弱解的定义、守恒型差分格式和Lax-Wendroff定义单调差分格式、TVD差分格式、一维方程组的推广有限元方法简介第一章绪论一、学习目的通过本章的学习，了解偏微分方程中的三大类方程，以
33、及偏微分的一些基本概念。计划8学时。二、课程内容第一节数学物理方程中的三大类方程(一)抛物型方程典型方程：热传导方程，由空间物体的热传导问题导出。利用物理中传热学的傅里叶实验定律。(二)双曲型方程典型方程：波动方程，由两端固定的细弦振动导出。利用胡克定律、牛顿第二定律等。(三)椭圆型方程典型方程：调和方程(Laplace方程)，由静电场的电位势或没有热源的热传导等导出。第二节数学物理方程中的基本概念何为线性的或非线性的，给出一个方程怎么判断它是哪类方程，定解问题的三种提法等。三、重点、难点提示和教学手段本章重点是三类方程的导出和偏微分方程中的基本概念。难点是导出过程的理论推导。四、思考与练习掌
34、握、吸收所学知识。第二章常微分方程初值问题数值解法一、学习目的通过本章的学习，对常微分方程初值问题的几个典型方法了解、掌握，并能编写程序。计划8学时。二、课程内容2.1欧拉法(一)欧拉法的格式：用差商代替微商。(二)收敛性研究通过分析截断误差确定格式的收敛速度。(三)稳定性研究格式对初值误差的连续依赖性。2.2梯形法、隐式格式的迭代计算用梯形公式近似计算积分得到常微分方程的梯形公式，而且是一个隐式格式。估算梯形法的整体截断误差。2.3单步法、Runge-Kutta法用泰勒级数构造一般的单步法，几种不同的Runge-Kutta法，以及各自的优缺点。其中经典的四阶Runge-Kutta法尤为重要。
35、2.4线性多步法用Lagrange插值近似小分割上的曲线，得到线性多步法。Adams外插、内插公式等。2.5误差的事后估计法、步长的自动选择何为误差的事后估计法，以及如何利用事后估计法得到的截断误差作为步长h自动选择的标准。2.6高阶常微分方程(组)的数值方法怎样把高阶微分方程转化为一阶的方程组，然后怎么对方程组利用前面所介绍的方法进行近似计算。三、重点、难点提示和教学手段本章重点是利用各种方法求方程的近似解。难点是方法的推导以及局部和整体截断误差的估计。四、思考与练习复习所学内容，计算课堂上没有推导的几种格式的截断误差，然后完成布置的作业。第三章抛物型方程的差分格式一、学习目的掌握有关差分格
36、式以及稳定性的一些基本概念，会构造差分格式并可用两种方法分析差分格式的稳定性。了解差分格式稳定性的定义及其含义。计划14学时。二、课程内容3.1差分格式建立的基础对所考虑的方程的初边值问题进行网格剖分，建立差分格式。学习三种差商代替微商的方法。学会用算子形式表示差分格式。3.2显示差分格式一维常系数热传导方程的古典显式格式，以及系数依赖于x的一维热传导方程的显式格式。计算各自的截断误差。3.3隐式差分格式由向后差商得到古典隐式格式，推导常用的Crank-Nicolson隐式格式和加权的六点隐式格式，知道前两种是六点加权隐式格式的特殊形式。系数依赖于x,t的一维热传导方程的隐式格式。3.4解三对
37、角形方程组的追赶法在求解隐式差分方程时形成一个线性代数方程组，它的系数矩阵是三对角形矩阵，因此要学会用追赶法求这类方程组，分为追和赶两步。3.5差分格式的稳定性和收敛性学习-图方法、矩阵法、Fourier级数法(Von Neumann方法)分析差分格式的稳定性。重点用矩阵法和Von Neumann方法分析前面学习的几种差分格式，并比较后两种方法的优劣。对于收敛性利用Lax等价性定理转化为对稳定性的研究。3.6非线性抛物型方程的差分解法举例包括Richtmyer线性方法和Less三层差分格式。对于Less三层差分格式要对第二层利用其他方法求出。3.7二维抛物型方程的差分格式初边值问题要进行三维方
38、向的网格剖分，其中方法与一维的类似，也有显式和隐式之分，以及稳定性分析等，其中显式简单，但效果没有隐式好。3.8交替方向的隐式差分格式(ADI格式)为了提高精度和满足无条件稳定的差分格式，把每一时间层的计算分成几步进行，而使每步具有一维格式的特点，提出以下几种格式：Peaceman-Rachford格式、Douglas-Rachford格式、Mitchell-Fairweather格式等。三、重点、难点提示和教学手段本章重点是利用各种方法求方程的近似解，用矩阵法和Von Neumann方法进行稳定性分析。难点是格式的理论导出和稳定性分析。四、思考与练习复习所学内容，编写一定的程序，用两种方法进
39、行稳定性分析，然后完成布置的作业。第四章椭圆型方程的差分格式一、学习目的掌握椭圆型方程的五点、九点差分格式，掌握极值原理，收敛性分析和误差估计。计划14个学时。二、课程内容4.1正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟对Dirichlet边值问题从x和y轴方向进行网格剖分得到Laplace方程的五点差分格式。然后转化为解一个线性矩阵。4.2 Neumann边值问题的差分模拟由于边值问题通过告诉它的法向量在边值的值，这样关键就是如何把这个条件转化为边值上的解。利用中心差商代替微商把导数边值转为一般的边值条件。4.3混合边值问题区域的一部分是Dirichlet条件而另一
40、部分是Neumann条件，那么对于Neumann条件利用类似上节的方法处理边值问题。4.4非矩形区域当区域不是规则的矩形时，我们对这种区域的邻接边界的内部结点需要特别的处理，它到边界的距离可以是非整数倍的分割。也可以得到Laplace方程的五点差分格式，它是前面五点格式的推广。4.5极坐标形式的差分格式有的时候所求区域是圆环、环形域或扇形域，采用极坐标形式更为方便，此时应该把一般的Poisson方程转化为极坐标的形式。在极坐标情况下会出现奇异点，故需要附加条件，对它需特别处理。4.6矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析利用极值原理分析五点差分格式的敛速估计。4.7一般二阶线性
41、椭圆型方程差分逼近及其性质研究通过一些实例学习二阶线性椭圆型方程的差分格式。4.8椭圆型差分方程的迭代解法由于前面介绍的各种边值问题的差分格式最终都是解一个大型的线性方程组。那么怎样求这个大型的线性方程组?本节介绍三种迭代法(Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、超松弛迭代)。通过比较Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的敛速发现，Gauss-Seidel迭代是Jacobi迭代的两倍。虽然前两者都收敛，但是他们的速度还是比较慢，如果选择适当的松弛因子，利用超松弛方法可以大大提高敛速，故如何选择最佳松弛因子是关键。4.9多重网格法简介学习为何引入多重网格法，有哪些优点?包括二
42、重网格法和多重网格法等。三、重点、难点提示和教学手段本章重点是：差分格式的建立，极值原理及数值解的收敛性分析。教学难点：边界条件的处理及非均匀部分差分格式的建立。四、思考与练习复习所学内容，编写一定的程序，然后完成布置的作业。第五章双曲型方程的差分格式一、学习目的掌握一阶拟线性双曲型方程(组)的特征线法，一阶双曲型方程(组)的差分方法，以及二阶线性双曲型方程的差分方法。计划12个学时。二、课程内容5.1一阶拟线性双曲型方程的特征线法对于一阶(拟)线性双曲型方程，通过一条特征曲线，把一个偏微分问题转化为常微分问题，然后再对此常微分方程进行近似求解，就可以求出原问题的近似解。给出这样的方程要知道怎
43、么求它的特征曲线、特征方程以及特征关系。5.2一阶拟线性双曲型方程(组)的特征线法对于一阶(拟)线性双曲型方程组，首先求出它的正规形式，以及它的两个特征曲线、特征方程和特征关系。同上节一样也是把偏微分方程沿着特征方向转化为常微分方程组的形式。再用欧拉法对常微分方程组近似求解。5.3一阶双曲型方程的差分格式如果通过向前差商代替对t方向的微商，用中心差商代替对行x方向的微商,经过验证发现这是一个恒不稳定的格式，所以通过改进此格式得到Lax-Friedrichs格式。根据方程系数的不同对x方向的微商向前差商或向后差商就是Courant-Isaacson-Rees格式。如果对时间层进行中心差商代替就是
44、跳蛙格式。还有Lax-Wendroff格式和隐式的Crank-Nicolson格式。5.4一阶双曲型方程组的差分格式类似一阶双曲型方程的差分格式，也有Lax-Friedrichs格式和Courant-Isaacson-Rees格式，以及Courant-Friedrichs-Lewy条件。5.5二阶双曲型方程的差分格式有显式格式和隐式格式之分，但是由于双曲型方程的初值问题比较复杂，因此对告诉初始时刻速度的初始条件需要像处理Neumann问题进行差商代替微商。三、重点、难点提示和教学手段本章重点是：一阶拟线性双曲型方程(组)的特征线法，一阶双曲型方程(组)的差分方法，以及二阶线性双曲型方程的差分方
45、法。教学难点：一阶拟线性双曲型方程组的特征线法的导出。四、思考与练习复习所学内容，编写一定的程序，然后完成布置的作业。第六章非线性双曲型守恒律方程的差分格式一、学习目的掌握何为双曲型守恒律、弱解的定义，和几种典型的差分格式：守恒型差分格式，单调差分格式，TVD差分格式等。计划8个学时。二、课程内容6.1非线性双曲型守恒律简介、弱解的定义怎样判断一个方程组的对应Jacobi矩阵的特征值和特征向量决定此方程组是(严格)双曲型守恒律的?以及什么是弱解，为什么需要提出弱解的概念，有什么优点?6.2一阶拟线性双曲型方程(组)的特征线法把一阶的线性双曲型方程中的Lax-Friedrichs格式和Lax-W
46、endroff格式推广到双曲型守恒律方程，可以证明它们都是守恒型差分格式。6.3单调差分格式此前的守恒型差分格式虽然收敛到弱解，但是不能保证极限是唯一物理解，所以提出单调差分格式，这种格式若收敛，则收敛到唯一物理解。给出满足什么条件才是单调差分格式。另外这种格式只有一阶精度，对于高精度还在研究中。6.4 TVD差分格式由于前面提到的单调差分格式精度不高，所以为了能够得到精度较高且能得到唯一物理解的差分格式，由A.Harten于1983年提出了总变差减少差分格式(TVD)。本节给出什么格式是TVD格式，以及保单调格式，并且证明前面讨论的差分格式在一定条件下都是TVD差分格式。6.5对一维方程组的推广把Lax-Wendroff格式和Lax-Friedrichs格式可以推广到一维方程组的情况。三、重点、难点提示和教学手段本章重点是：课本中对双曲型守恒律方程提出的各种差分方法。教学难点：各种差分格式