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1、13.4 直接证明与间接证明 要点梳理 1.直接证明 (1)综合法 定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等，经过一系列的 ，最后推导出 所要证明的结论 ,这种证明方法叫综合法. 框图表示： (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定 理等，Q表示要证的结论）.,推理论证,成立,基础知识 自主学习,(2)分析法 定义：从 出发，逐步寻求使它成 立的 ，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、 定义、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法. 框图表示： 2.间接证明 反证法：假设原命题 ，经过正确的推理, 最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明 了原命题成立
2、，这样的证明方法叫反证法.,要证明的结论,充分条件,得到一个明显成立的条件,.,不成立,矛盾,基础自测 1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立 的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 由分析法的特点可知.,A,2.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为( ) A.a，b，c都是奇数 B.a，b，c都是偶数 C.a，b，c中至少有两个偶数 D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 解析 a,b,c恰有一个偶数，即a，b，c中只有 一个偶数,其反面是有两个或两个以上偶数或没 有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确.,D,3.若ab0，
3、则下列不等式中成立的是( ) A. B. C. D. 解析,C,4.实数a,b,c满足a+b+c =0，abc0，则 的 值 ( ) A.一定是正数 B.一定是负数 C.可能是0 D.正、负不能确定 解析 （a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0 且a2+b2+c20(由abc0知a,b,c均不为零)， ab+bc+ac0,B,5.用分析法证明：欲使AB,只需CD,这里 是的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 分析法证明的本质是证明结论的充分条 件成立，即，所以是的必要条件.,B,题型一 综合法 设a,b,c0,证明： 本题因
4、为有三项分式，不主张用分 析法.综合法证明不等式，要特别注意基本不等 式的运用和对题设条件的运用.这里可从去分母 的角度去运用基本不等式. 证明 a,b,c0，根据基本不等式，,题型分类 深度剖析,综合法往往以分析法为基础，是分析 法的逆过程,但更要注意从有关不等式的定理、结 论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明. 知能迁移1 已知x+y+z=1，求证： 证明 x2+y22xy，x2+z22xz， y2+z22yz， 2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz. 3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz. 3（x2+y2+z2）（x+y+z）2=1.,题型二 分析
5、法 （12分）已知函数f(x)=tan x, 本题若使用综合法进行推演，三角 函数式的化简较难处理，因此，可考虑分析法. 证明,2分,cos x1cos x20,sin(x1+x2)0, 1+cos(x1+x2)0, 6分 故只需证明1+cos(x1+x2)2cos x1cos x2, 8分 即证1+cos x1cos x2-sin x1sin x22cos x1cos x2, 即证：cos(x1-x2)1. 10分,4分,12分,x,x,分析法是数学中常用到的一种直接证明 方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从 结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设 所要证明的结论是正确的,
6、由此逐步推出保证此结 论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的 命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命 题的已知条件时命题得证.,知能迁移2 已知a0,求证: 证明,题型三 反证法 若x,y都是正实数，且x+y2, 求证： 中至少有一个成立. 本题结论以“至少”形式出现，从正面 思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以 证明. 证明,因为x0且y0, 所以1+x2y，且1+y2x， 两式相加，得2+x+y2x+2y，,所以x+y2，这与已知条件x+y2相矛盾， (1)当一个命题的结论是以“至多”、 “至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用 反证法来证，反证法的关键是在正确的推理
7、下得 出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾，与 假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事 实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难” 问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器. （2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的 定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出 现循环论证的错误.,知能迁移3 已知a、b、c(0,1),求证: (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于 . “不能同时大于 ”包含多种情形， 不易直接证明，可用反证法证明. 证明 方法一 假设三式同时大于 ， a、b、c(0,1), 三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a .,方法二 假设三式同时大于,
8、00,题型四 分析法与综合法的综合应用 若a、b、c是不全相等的正数， 求证: 用分析法得到 再用综合法证明. 证明 方法一,（*）,又a、b、c是不全相等的正数， （*）式等号不成立，原不等式成立. 方法二 a、b、cR+，,又a、b、c是不全相等的正数，,分析法和综合法是对立统一的两种 方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分 析、思考过程，综合法是分析法的逆过程.,知能迁移4 设a，b均为正数，且ab,求证:a3+b3 a2b+ab2. 证明 方法一 （分析法） 要证a3+b3a2b+ab2成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立. 又因为a+b0, 只需证a2-a
9、b+b2ab成立. 又需证a2-2ab+b20成立， 即需证（a-b）20成立. 而依题设ab,则(a-b)20显然成立，由此命题 得证.,方法二 （综合法） aba-b0(a-b)20a2-2ab+b20 a2-ab+b2ab. (*) 而a,b均为正数，a+b0， 由（*）式即得(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b), a3+b3a2b+ab2.,思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知. 2.综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知. 3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较 自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思 路逆行，叙述较
10、繁；综合法从条件推出结论，较 简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常 两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用 综合法叙述出来.,4.应用反证法证明数学命题,一般分下面几个步骤: 第一步：分清命题“pq”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定 q； 第三步：由p和 q出发，应用正确的推理方法, 推出矛盾结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所 作的假定 q不真，于是原结论q成立，从而间接 地证明了命题pq为真. 第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果 与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定 理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以 及自相矛盾等各种情况.,失
11、误与防范 1.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误, 并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理 而推出矛盾结果，其推理过程是错误的. 2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的 规范性，常常用“要证（欲证）”“即要 证”“就要证”等分析到一个明显成立的结 论P，再说明所要证明的数学问题成立.,一、选择题 1.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点P1(x1,y1)、 P2（x2，y2）、P3(x3，y3)在抛物线上，且 2x2=x1+x3，则有 ( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D
12、.|FP2|2=|FP1|FP3| 解析 如图所示，y2=2px的准线为 P1Al，P2Bl，P3Cl.,定时检测,由抛物线定义知： P1F=P1A= P2F=P2B= P3F=P3C= 2|FP2|= 又2x2=x1+x3，2|FP2|=|FP1|+|FP3|. 答案 C,2.用反证法证明“如果ab,那么 ”假设内容 应是 ( ) A. B. C. D. 解析,D,3.a，b，c为互不相等的正数，且a2+c2=2bc，则下列 关系中可能成立的是 ( ) A.abc B.bca C.bac D.acb 解析 由a2+c22ac2bc2acba,可排除A、D, 令a=2, 可得c=1或4，可知C
13、可能成立.,C,4.设x、y、zR+， 则a、b、c三数 ( ) A.至少有一个不大于2 B.都小于2 C.至少有一个不小于2 D.都大于2 解析 假设a、b、c都小于2，则a+b+c6, 而事实上：a+b+c= a、b、c中至少有一个不小于2.,C,5.已知a、b是非零实数，且ab,则下列不等式中成 立的是 ( ) A. B.a2b2 C.|a+b|a-b| D. 解析 ab,a-b0.而a可能大于0，也可能小于0， 因此a(a-b)0不一定成立，即A不一定成立； a2b2(a-b)(a+b)0,a-b0，只有当a+b0时，a2b2成立，故B不一定 成立； |a+b|a-b|(a+b)2(a
14、-b)2ab0,而abb,上式一定成立，因此只有D正确. 答案 D,6.设a，b是两个实数，给出下列条件： (1)a+b1;(2)a+b=2;(3)a+b2; (4)a2+b22;(5)ab1. 其中能推出：“a,b中至少有一个大于1”的条 件是( ) A.(2)(3) B.(1)(2)(3) C.(3) D.(3)(4)(5) 解析 但a1,b1,故（1）推不出；,若a=b=1,则a+b=2,故（2）推不出； 若a=-2,b=-3,则a2+b22,故（4）推不出； 若a=-2,b=-3,则ab1,故（5）推不出； 对于（3），即a+b2,则a,b中至少有一个大于1， 反证法：假设a1且b1,
15、 则a+b2与a+b2矛盾， 因此假设不成立，故a,b中至少有一个大于1. 答案 C,二、填空题 7.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f（x） 在0,1上有意义，且f（0）=f（1），如果对于 不同的x1，x20，1，都有|f（x1）-f（x2） |x1-x2|,求证：|f（x1）-f（x2）| .那么它的 反设应该是 .,“ x1，x20,1,使得|f(x1)-f(x2)|,|x1-x2|且|f(x1)-f(x2)| ”,8.凸函数的性质定理为:如果函数f(x)在区间D上是 凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,xn,有 已知函数y=sin x在区间（0,）上是凸函数，则 在ABC
16、中，sin A+sin B+sin C的最大值 为 . 解析 f（x）=sin x在区间（0，）上是凸 函数， 且A、B、C（0，），,答案,9.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不 在平面内，下列条件中能保证“若xz,且yz， 则xy”为真命题的是 .(填写所有正确 条件的代号) x为直线，y,z为平面；x,y,z为平面； x,y为直线,z为平面；x,y为平面,z为直线； x,y,z为直线. 解析 中x平面z,平面y平面z， x平面y或x平面y. 又x平面y，故xy成立.,中若x,y,z均为平面,则x可与y相交,故不成立. xz,yz,x,y为不同直线，故xy成立. zx，zy，
17、z为直线，x,y为平面可得xy,成 立. x,y,z均为直线可异面垂直，故不成立. 答案 ,三、解答题 10.(1)设x是正实数,求证: （x+1）(x2+1)(x3+1)8x3; (2)若xR，不等式（x+1）(x2+1)(x3+1)8x3是 否仍然成立？如果成立,请给出证明；如果不成 立，请举出一个使它不成立的x的值. （1）证明 x是正实数，由均值不等式知 x+12 ，x2+12x，x3+12 ， 故（x+1）(x2+1)(x3+1)2 2x2 =8x3 （当且仅当x=1时等号成立）.,（2）解 若xR,不等式（x+1）(x2+1)(x3+1)8x3仍 然成立. 由（1）知，当x0时，不
18、等式成立； 当x0时，8x30, 而（x+1）(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1) 此时不等式仍然成立.,11.已知等比数列an的前n项和为Sn，若am,am+2, am+1(mN*)成等差数列,试判断Sm,Sm+2,Sm+1是否 成等差数列，并证明你的结论. 解 设等比数列an的首项为a1,公比为 q(a10,q0), 若am,am+2,am+1成等差数列， 则2am+2=am+am+1. 2a1qm+1=a1qm-1+a1qm. a10,q0,2q2-q-1=0. 解得q=1或,当q=1时，Sm=ma1,Sm+1=(m+1)a1, Sm+2=(m+2)a1,2
19、Sm+2Sm+Sm+1. 当q=1时，Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列. 当 时，Sm，Sm+2,Sm+1成等差数列. 下面给出证明： 方法一 （Sm+Sm+1）-2Sm+2 =(Sm+Sm+am+1)-2(Sm+am+1+am+2) =-am+1-2am+2 =-am+1-2am+1q,2Sm+2=Sm+Sm+1. 当 时，Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列. 方法二,12.已知a,b,c是互不相等的实数. 求证：由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b 确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的 交点. 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不 与x轴有两个不同的交点（即任何一条抛物线与x 轴没有两个不同的交点）， 由y=ax2+2bx+c, y=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b, 得1=(2b)2-4ac0,2=(2c)2-4ab0,3=(2a)2-4bc0. 上述三个同向不等式相加得， 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0, 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca0, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)20, a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证.,返回,