20192011高考数学总复习课件10.2排列与组合.ppt

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1、10.2 排列与组合 要点梳理 1.排列 （1）排列的定义：从n个 的元素中取出m (m n)个元素，按照一定的 排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数的定义：从n个不同的元素中取出m（mn）个元素的 的个数叫做从n个 不同的元素中取出m个元素的排列数，用A 表示.,不同,顺序,所有不同排列,基础知识 自主学习,（3）排列数公式：A = . （4）全排列：n个不同的元素全部取出的 ，叫 做n个不同元素的一个全排列，A =n (n-1） （n-2）21= .于是排列数公式写成阶乘 的形式为 ，这里规定0！= . 2.组合 （1）组合的定义：从n个 的元素中取出m（

2、m n）个元素 叫做从n个不同的元素中取出 m（mn）个元素的一个组合.,n(n-1)(n-2)(n-m+1),排列,n！,1,不同,合成一组,（2）组合数的定义：从n个不同的元素中取出m（m n）个元素的 的个数，叫做从n个 不同的元素中取出m（mn）个元素的组合数，用 C 表示. （3）组合数的计算公式： = ，由于0！= ，所以 C = . （4）组合数的性质：C = ；C = + .,所有不同组合,1,1,基础自测 1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 （ ） A.9个 B.24个 C.36个 D.54个 解析

3、选出符合题意的三个数有 =9种方法，每三个数可排成 =6个三位数， 共有96=54个符合题意的三位数.,D,2.已知1，2 X 1,2,3,4,5，满足这个关系式的集合X共有 （ ） A.2个 B.6个 C.4个 D.8个 解析 由题意知集合X中的元素1，2必取，另外， 从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个. 故有 =8（个）.,D,3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥 运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加， 则不同的选派方案共有 （ ） A.25种 B.35种 C.840种 D.820种 解析 若选男生甲，则有 =10种不同的选法；同 理，选女生乙也有10种不同的选

4、法；两人都不选有 =5种不同的选法，所以共有25种不同的选派方案.,A,4.（2009湖南理，5）从10名大学毕业生中选3人 担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没 有入选的不同选法的种数为 （ ） A.85 B.56 C.49 D.28 解析 丙不入选的选法有 =84（种）, 甲乙丙都不入选的选法有 =35（种）. 所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法 有84-35=49种.,C,5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ） A.36种 B.48种 C.72种 D.96种 解析 恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第 三个空位不相邻，先排三个人，然

5、后插空.从而共 =72种排法.,C,题型一 排列问题 【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选其中5人排成一排； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻； （6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.,题型分类 深度剖析,思维启迪 无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可.但要看清是全排列还是选排列；有限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法. 解 （1）从7个人中选5个人来排列， 有 =76

6、543=2 520种. （2）分两步完成，先选3人排在前排，有 种方法，余下4人排在后排，有 种方法，故共有 =5 040种.事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.,（3）（优先法） 方法一 甲为特殊元素.先排甲，有5种方法；其 余6人有 种方法，故共有5 =3 600种. 方法二 排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非 甲的6个人中选2个排列，有 种方法，中间5个位 置由余下4人和甲进行全排列有 种方法，共有 =3 600种. （4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生 在一起进行全排列，有 种方法，再将4名女生进 行全排列,也有 种方法,故共有 =576种.,（5）（插

7、空法）男生不相邻，而女生不作要求， 所以应先排女生，有 种方法，再在女生之间及首 尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有 种方 法，故共有 =1 440种. （6）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先 排甲、乙两人有 种方法，再从剩下的5人中选3 人排到中间，有 种方法，最后把甲、乙及中间3 人看作一个整体，与剩余2人全排列，有 种方 法，故共有 =720种.,方法归纳：1: 排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，某些元素“排”或“不排”在哪个位置上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题在分析时，主要按“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位置. 2：解组合题时，常遇到

8、“至多”、“至少”问题，用直接法求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足. 3：排列、组合综合题目，一般遵循先分后排原则，将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准. 4：在解排列、组合综合题目时，注意问题的转化，把不熟悉的问题背景转化为熟悉的情形，如;排位置.分东西等问题。,知能迁移1 用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数： （1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125的数. 解 （1）先排个位，再排首位，共有 =144（

9、个）. （2）以0结尾的四位偶数有 个，以2或4结尾的四位偶数有 个，则共有 =156（个）. （3）要比3 125大，4、5作千位时有2 个，3作千位，2、4、5作百位时有3 个，3作千位，1作百位时有2 个，所以共有2 =162(个).,题型二 组合问题 【例2】 （12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.,思维启迪 （1）分步.（2）可分类也可用间接法. （3）可分类也可用间接法.（4）分类.

10、解 （1）第一步：选3名男运动员，有 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 种选法. 共有 =120种选法. （2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为 =246种.,方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运 动员”可用间接法求解. 从10人中任选5人有 种选法，其中全是男运动员 的选法有 种. 所以“至少有1名女运动员”的选法为 =246 种. 6分 （3）方法一 可分类求解： “只有男队长”的选法为 ； “只有女队长”的选法为 ； “男、女队长都入选”的选法为 ； 所以共有2 + =196种选法. 9分

11、,方法二 间接法： 从10人中任选5人有 种选法. 其中不选队长的方法有 种.所以“至少1名队长” 的选法为 - =196种. （4）当有女队长时，其他人任意选，共有 种选 法.不选女队长时，必选男队长，共有 种选法.其 中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时 的选法共有 - 种选法. 所以既有队长又有女运动员的选法共有 + - =191种.,探究提高 解组合题时，常遇到“至多”、“至少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足.,知能迁移2 在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ （1）A，B必须当选；

12、 （2）A，B必不当选； （3）A，B不全当选； （4）至少有2名女生当选； （5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.,解 （1）由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中 选取3人即可，有 =120种. （2）从除去的A，B两人的10人中选5人即可， 有 =252种. （3）全部选法有 种，A，B全当选有 种， 故A，B不全当选有 - =672种.,（4）注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名 女生或没有女生，故可用间接法进行， 有 =596种选法. （5）分三步进行： 第一步：选1男1女分别担任两个职务为 ； 第二步

13、：选2男1女补足5人有 种； 第三步：为这3人安排工作有 . 由分步乘法计数原理共有 =12 600种选法.,题型三 排列、组合的综合应用 【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？ （2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ （3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 把不放球的盒子先拿走，再放球到余 下的盒子中并且不空. 解 （1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒 子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒 子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1 个放2个球，其余2个球放

14、在另外2个盒子内，由分 步乘法计数原理，共有 =144种.,思维启迪,（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2 个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中 恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与 “恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种 放法. （3）确定2个空盒有 种方法. 4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两 类，第一类有序不均匀分组有 种方法；第 二类有序均匀分组有 种方法. 故共有 （ ）=84种.,探究提高 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不

15、平均分组”的差异及分类的标准.,知能迁移3 已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止. （1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ （2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？,解 （1）先排前4次测试，只能取正品，有 种 不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第 10的位置上测试，有 = 种测法，再排余 下4件的测试位置，有 种测法.所以共有不同排法 =103 680种. （2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次 中出现，从而前4次有一件正品出现

16、.所以不同测试 方法共有 （ ） =576种.,方法与技巧 1.解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理. 2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏. 3.对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析答案的形式，错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误.,思想方法 感悟提高,4.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏. 失误与防范 要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不 要重复计数.,一、选择题 1.（2009辽宁

17、理，5）从5名男医生、4名女医生中 选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女 医生都有，则不同的组队方案共有 （ ） A.70种 B.80种 C.100种 D.140种 解析 对此问题可分类：男2女1和男1女2，故总 共有 =70种不同的组队方案.,A,定时检测,2.（2009北京理，7）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A.324 B.328 C.360 D.648 解析 若组成没有重复数字的三位偶数，可分为两种情况：当个位上是0时，共有98=72种情况；当个位上是不为0的偶数时，共有488=256种情况. 综上，共有72+256=328种情况.,B,

18、3.高三（一）班学生要安排元旦晚会的4个音乐节目，2个 舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节 目不连排，则不同排法的种数是 （ ） A.1 800 B.3 600 C.4 320 D.5 040 解析 4个音乐节目和1个曲艺节目的排列共 种. 两个舞蹈节目不连排，用插空法，不同的排法种 数是 =3 600.,B,4.摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排， 2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有 （ ） A.1 440种 B.960种 C.720种 D.480种 解析 2位老师作为一个整体与5名学生排队，相 当于6个元素排在6个位置，且老师不排两端，先安 排老师，有 种排

19、法，5名学生排在剩下的5个 位置,有 种，所以共有 =960种排法.,B,5.（2009广东理，7）2010年广州亚运会组委会要 从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选 派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同 工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其 余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共 有 （ ） A.36种 B.12种 C.18种 D.48种 解析 小张和小赵选派一人参加有 =24种 方案，小张和小赵都参加有 =12种方案， 共有不同的选派方案24+12=36种.,A,6.2008年北京奥运会期间，计划将5名志愿者分配到 3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至

20、少分配一名志愿者的方案种数为 （ ） A.540 B.300 C.150 D.180 解析 每个场馆至少一名志愿者，相当于将5人分 成三组，然后排列，三组的人数分别为3，1，1或 2，2，1，这样,分组方法共有 种，然后 三组进行排列，有 种. 所以共有 =150种方案.,C,7.宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影 响照明，要同时熄掉其中3盏，但这3盏灯不能相 邻，则不同的熄灯方法种数为 .（用数字作答） 解析 可以先将五盏灯排列，然后将3盏将要熄灭 的灯插空，共有20种不同的熄灯方法.,20,8.（2009浙江理，16）甲、乙、丙3人站到共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同

21、一级台阶 上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）. 解析 当每个台阶上各站1人时有 种站法， 当两个人站在同一个台阶上时有 种站法， 因此不同的站法种数有 =210+126 =336（种）.,336,三、解答题 10.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中 （1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共 有多少种不同选法？ （2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？ （3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选 法？ （4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生， 有几种选法？ 解（1）只需从其他18人中选3人即可， 共有 =816（种）；,（2）只需从其

22、他18人中选5人即可，共有 =8 568 （种）； （3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加， 共有 =6 936（种）； （4）方法一 （直接法）至少一名内科医生一名外科 医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二 外；四内一外，所以共有 =14 656（种）. 方法二（间接法）由总数中减去五名都是内科医生和 五名都是外科医生的选法种数，得 =14 656(种）.,11.已知平面 ，在 内有4个点,在 内有6个点. （1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少 个不同平面？ （2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ （3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体 积？ 解 （1

23、）所作出的平面有三类： 内1点， 内 2点确定的平面，有 个； 内2点， 内1点确 定的平面，有 个； ， 本身. 所作的平面最多有 +2=98（个）.,（2）所作的三棱锥有三类： 内1点， 内3点确 定的三棱锥，有 个； 内2点， 内2点 确定的三棱锥，有 个； 内3点， 内1点 确定的三棱锥，有 个. 最多可作出的三棱锥有 =194（个）. （3）当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相 等,且平面 ，体积不相同的三棱锥最多有 =114（个）.,12.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现 安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？ 解 前排中间3个座位不能坐， 实际可坐的位置前排8个，后排12个. （1）两人一个前排，一个后排，方法数为 种； （2）两人均在后排左右不相邻， 共 (种)；,（3）两人均在前排，又分两类： 两人一左一右，共 种； 两人同左同右，有2（ ）种. 综上可知，不同排法种数为 =346(种).,返回,