20192015世纪金榜理科数学(广东版)10.9.ppt

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1、第九节 离散型随机变量的均值与方差,【知识梳理】 1.离散型随机变量的均值与方差 (1)离散型随机变量X的分布列:,(2)离散型随机变量X的均值与方差:,x1p1+x2p2+xipi,+xnpn,平均水平,平均偏离程度,2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=_(a,b为常数). (2)D(aX+b)=_(a,b为常数).,aE(X)+b,a2D(X),3.两点分布与二项分布的均值和方差 (1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=_,D(X)=_. (2)若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即XB(n,p), 则E(X)=_,D(X)=_.,p,p(1-p),np,np(1-p),【

2、考点自测】 1.(思考)下面的结论正确的是( ) 期望值就是算术平均数,与概率无关; 随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定; 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小; 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事. A. B. C. D.,【解析】选B.错误.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均值,反映了离散型随机变量取值的平均水平. 正确.由于随机变量的取值是确定值,而每一个随机变量的概率也是确定的,因此随机变量的均值是定值,即为常数;而样本数据随着抽样的次数不同而不同,因此其平

3、均值也不相同.,正确.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小;方差或标准差越大,则偏离均值的平均程度越大. 错误.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,均值反映了平均水平,而方差则反映它们与均值的偏离情况.,2.有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若表示取到次品的个数,则E()等于( ),【解析】选A,由题意,知取0,1,2,它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式,即,3.已知某一随机变量的概率分布列如下,且E()=6.3,则a的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7,【解析】选A,由题意和概率的性质得

4、0.4+0.1+b=1,b=0.5,且E()=0.5a+70.1+90.4=6.3, 所以a=4,4.(2014潍坊模拟)设X为随机变量, XB(n, )，若随机 变量X的数学期望E(X)=2,则P(X=2)等于( ),【解析】选D.因为随机变量XB(n, )，所以其期望E(X)=np= n=2,所以n=6, 所以P(X=2)=,5.随机抛掷一枚骰子,则所得骰子点数的期望为( ) A.0.6 B.1 C.3.5 D.2,【解析】选C.抛掷骰子所得点数的分布列为 所以,E()= =(1+2+3+4+5+6) =3.5.,6.已知随机变量的方差D()=4,且随机变量=2+5,则D()= . 【解析

5、】由D(a+b)=a2D(),得D()=D(2+5)=22D()=16. 答案:16,考点1 离散型随机变量的均值与方差 【典例1】(1)(2013广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为 则X的数学期望E(X)=( ) A. B. 2 C. D.3,(2)(2013上海高考)设非零常数d是等差数列x1,x2,x3, x19的公差,随机变量等可能地取值x1,x2,x3,x19,则方差 D()= .,【解题视点】(1)考查离散型随机变量的期望公式,可以直接代入计算. (2)利用等差数列的前n项和公式和数学期望的计算公式即可得出E(),再利用方差的计算公式即可得出D().,【规范解答】(1)选A.

6、 E(X)= (2)由题意可得 E()= 所以xn-E()=x1+(n-1)d-(x1+9d)=(n-10)d， 所以D()= (-9d)2+(-8d)2+(-d)2+0+d2+(2d)2+ (9d)2= (12+22+92) = =30d2. 答案：30d2,【互动探究】第(1)题条件不变,求E(2X+3)的值. 【解析】由均值的性质E(aX+b)=aE(X)+b得 E(2X+3)=2E(X)+3=2 +3=6.,【规律方法】求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)理解的意义,写出可能的全部值. (2)求取每个值的概率. (3)写出的分布列. (4)由均值的定义求E(). (5)由方差的定

7、义求D().,均值与方差的性质的推导 若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则 (1)E(aX+b)=aE(X)+b. 证明:E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+(axi+b)pi+ (axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+xipi+xnpn)+b(p1+p2+ pi+pn)=aE(X)+b.,(2)D(aX+b)=a2D(X). 证明:D(Y)=(ax1+b-aE(X)-b)2p1+(ax2+b-aE(X)-b)2p2+(axi+b-aE(X)-b)2pi+(axn+b-aE(X)-b)2pn= a2(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xi-E(X)

8、2pi+ (xn-E(X)2pn= a2D(X).,【变式训练】 已知某随机变量X的分布列如下(aR): 则随机变量X的数学期望E(X)= ,方差D(X)= .,【解析】根据所给分布列，可得 所以 所以随机变量X的分布列如下： 所以 答案：,【加固训练】 1.(2013湖北高考)如图，将一个各面都 涂了油漆的正方体，切割为125个同样大 小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取 一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X 的均值E(X)=( ),【解析】选B. P(0)= E(X)=,2.已知某离散型随机变量X服从的分布列如表，则随机变量X的方差D(X)等于( ),【解析】选B.由题意可得：m+2m=

9、1，所以 所以E(X)= 所以D(X)=,3.已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=0，D(X)=1，则a-b=( ),【解析】选A.由题知 E(X)=-a+c+ =0. D(X)=(-1-0)2a+(1-0)2c+(2-0)2 =1,考点2 与二项分布有关的期望和方差 【典例2】(1)已知随机变量XB(10,0.6),则E(X)与D(X)分别为( ) A.2.4,4 B.6,2.4 C.4,2.4 D.6,4 (2)若XB(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为( ) A.32-2 B.2-4 C.32-10 D.2-8,【解题视点】(1)已知随机变量符合二

10、项分布,根据二项分布 的期望和方差的公式和已知条件,得到E(X)与D(X)的值即可. (2)根据二项分布的期望和方差的计算公式E(X)=np,D(X)= np(1-p),可求得p和n的值,根据P(X=k)= pk1-pnk，即 可求得P(X=1)的值.,【规范解答】(1)选B.因为X服从二项分布, 所以E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=2.4. (2)选C.E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3, 所以p= ,n=12. 则P(X=1)=,【规律方法】与二项分布有关的期望、方差的求法 (1)求随机变量的期望与方差时,可首先分析是否服从二项分布,如果B(n,p),则用公式E

11、()=np,D()=np(1-p)求解,可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(a+b)= aE()+b以及E()=np求出E(a+b),同样还可求出D(a+b).,【变式训练】设B(n，p)，如果E()=12，D()=4，则n=_,p=_. 【解析】因为 解得 答案：,【加固训练】 如果随机变量B(n，p)，且E()=7，D()=6，则p等 于( ) 【解析】选A.如果随机变量B(n，p)，则E()=np，D()=np(1-p)，又E()=7，D()=6， 所以np=7，np(1-p)=6，所以,考点3 均值

12、与方差的应用 【考情】从近几年的高考试题来看,离散型随机变量的均值与方差是高考的热点,题型为填空题或解答题,属中档题.常与排列组合、概率等知识综合命题,既考查基本概念,又注重考查基本运算能力和逻辑推理、理解能力.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013浙江高考改编)设袋子中装有a个红球,b 个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球 得2分,取出一个蓝球得3分.从该袋子中任取(每球取到的机会 均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若E()= D()= 则abc= .,(2)(2013新课标全国卷)一批产品需要进行质量检验,检 验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,

13、这4件产品中优质 品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若 都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中 任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况 下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品 的概率都为 且各件产品是否为优质品相互独立.,求这批产品通过检验的概率; 已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.,【解题视点】(1)根据计算数学期望与方差的公式计算,寻找a,b,c之间的关系求解. (2)由事件的独立性

14、和互斥性,并结合产品通过检验的情形确定这批产品通过检验的概率; 根据题意,先确定X的可能取值,然后求出相应的概率,列出分布列,利用期望公式求出期望.,【规范解答】(1)由题意知的分布列为,所以abc=321. 答案：321,(2)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A.依题意有A=(A1B1)(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2),X可能的取值为400，500，800, P(X=500)=

15、P(X=800)= P(X=400)= 所以X的分布列为,【通关锦囊】,【关注题型】,【特别提醒】在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式.,【通关题组】 1.(2014临沂模拟)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为 a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c(0,1),已知他 投篮一次得分的均值为2,则 的最小值为( ),【解析】选D.由题意得投篮一次得分X的分布列为 E(X)=0c+2b+3a=2,即3a+2b=2,2.(2013山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概 率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 假设每局

16、比 赛结果互相独立. (1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率. (2)若比赛结果为30或31,则胜利方得3分,对方得0分;若 比赛结果为32,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分X的 分布列及数学期望.,【解析】(1)记“甲队以30胜利”为事件A1,“甲队以31胜 利”为事件A2,“甲队以32胜利”为事件A3,由题意,各局比 赛结果相互独立, 所以甲队以30胜利、以31胜利的概率都为 甲队以 32胜利的概率为,(2)设“乙队以32胜利”为事件A4, 由题意,各局比赛结果相互独立, 所以 由题意,随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3, 根据事件的互斥性得 P(=0)=P(A1+A2)

17、=P(A1)+P(A2)= 又P(=1)=P(A3)= P(=2)=P(A4)= P(=3)=1-P(=0)-P(=1)-P(=2)=,故的分布列为 所以E()=,3.(2013福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了 甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 中奖可以获得2分; 方案乙的中奖率为 中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每 人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会 结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累 计得分为X,求X3的概率. (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖, 问:他们选择何种方案抽奖,累计得

18、分的数学期望较大?,【解析】(1)由已知得:小明中奖的概率为 小红中奖的概率为 且两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分X3”的事件为A,则A事件的对立事件为“X=5”, 因为P(X=5)= 所以P(A)=1-P(X=5)= 所以这两人的累计得分X3的概率为,(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2), 因为E(2X1)E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.,【加固训练】 1.(2013辽宁高考)现有10道题,其

19、中6道甲类题,4道乙类题, 张同学从中任取3道题解答. (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率. (2)已知所取到的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学 答对每道甲类题的概率都是 答对每道乙类题的概率都是 且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.,【解析】(1)记事件A=“张同学所取的3道题至少取到1道乙类 题”,则 =“张同学所取的3道题全为甲类题”; 事件 =“张同学所取的3道题全为甲类题”共有 种取法; 而“从10道题中任取3道题”共有 种取法, 所以 所以张同学至少取到1道乙类题的概率为,(2)张同学答对题的个数X的可能值为0，1，2，3.

20、X=0表示张同学答对0道题，P(X=0)= X=1表示张同学答对1道题，包含以下两种可能，“答对1道甲类题”“答对1道乙类题”，,X=2表示张同学答对2道题，包含以下两种可能，“答对2道甲类题”“答对1道甲类题和1道乙类题”， X=3表示张同学所取的3道题全部答对， 因此P(X=3)=,所以X的分布列为 故X的数学期望为E(X)=,2.(2013重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:,其余情况无奖且每次摸奖最多只

21、能获得一个奖级. (1)求一次摸球恰好摸到1个红球的概率. (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X).,【解析】设Ai表示摸到i个红球,Bj表示摸到j个蓝球,则Ai(i=0,1,2,3)与Bj(j=0,1)独立. (1)恰好摸到1个红球的概率为,(2)X的所有可能值为0,10,50,200,且 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)= P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)= P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= P(X=0)= 综上知,X的分布列为,从而有E(X)=,3.(2013北京高考)下图是某市3月1日至14日的空气质量

22、指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.,(1)求此人到达当日空气重度污染的概率. (2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望. (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明),【解析】(1)某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,共有13种可能.到达当日空气重度污染有2种可能.所以概率为 (2)X可能取值为0,1,2.分布列如下,E(X)= (3)5,6,7三天.,【规范解答19】均值和方差在实际问题中的应用 【典

23、例】(12分)(2013新课标全国卷)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量.T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.,(1)将T表示为X的函数. (2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率. (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X1

24、00,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入100,110)的频率),求T的数学期望.,【审题】分析信息,形成思路,【解题】规范步骤，水到渠成 (1)当X100,130)时，T=500X300(130X) =800X39 000， 当X130,150时，T=500130=65 000. 所以 4分,(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120X150. 由直方图知需求量X120,150的 频率为0.7,所以下一个销售季度内的 利润T不少于57 000元的概率的估计 值为0.7.7分,(3)依题意可得T的分布列为 所以E(T)45 0000.1+53 0000.2

25、+61 000 0.3+65 0000.4=59 400. 12分,【点题】失分警示,规避误区,【变题】变式训练，能力迁移 (2012新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式.,(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. 若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求 X的分布列,数学期望及方差; 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝 还是17枝?请说明理由.,【解析】(1)当n16时,y=16(10-5)=80. 当n15时,y=5n-5(16-n)=10n-80, 得:,(2)X可取60,70,80. P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X的分布列为,E(X)=600.1+700.2+800.7=76. D(X)=1620.1+620.2+420.7=44. 购进17枝时,当天的利润为 y=(145-35)0.1+(155-25)0.2+(165-15)0.16+1750.54=76.4, 由76.476,得应购进17枝.,