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1、第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的 三角函数,【知识梳理】 1.角的有关概念,正角,负角,零角,象限角,+k360,+k2,2.象限角与轴线角 (1)象限角:,(2)轴线角:,3.弧度的概念与相关公式 在半径为r的圆中,半径长,|r,4.任意角的三角函数,正,弦,余,弦,正,切,正,正,正,正,负,负,负,负,正,负,正,负,MP,OM,AT,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 三角形的内角必是第一、二象限角; 第一象限角必是锐角; 不相等的角终边一定不相同; 若=+k720(kZ),则和终边相同; 点P(tan,cos)在第三象限,则角的终边在第二象限. 其中
2、正确的是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选D.错误.90的角可以是三角形的内角,但它不是第一、二象限角. 错误.390的角是第一象限角,但它不是锐角. 错误.390的角和30的角不相等,但终边相同. 正确.由终边相同的角的概念可知正确. 正确.由已知得tan0,cos0,所以为第二象限角.,2.在-3600范围内与角1250终边相同的角是( ) A.-210 B.-150 C.-190 D.-170 【解析】选C.因为1250=3360+170,所以在-3600范围内与角1250终边相同的角是170-360=-190.,3.已知角的余弦线是单位长度的有向线段,那么角的终边在 ( )
3、A.x轴上 B.y轴上 C.直线y=x上 D.直线y=-x上 【解析】选A.由角的余弦线长度为1分析可知,角的终边在x轴上.,4.(2014沈阳模拟)已知点P(sin -cos ,tan )在第一 象限，则在0，2内的取值范围是( ) 【解析】选D.由已知得 解得 即,5. 弧长为3，圆心角为135的扇形半径为_，面积为 _ 【解析】弧长l3，圆心角 由弧长公式l|r得 面积 答案：4 6,6.角终边上有一点P(x,5)，且 (x0)，则sin _. 【解析】因为 所以 因为x0， 所以r13，所以 答案:,考点1 象限角及终边相同的角 【典例1】(1)已知角的终边落在阴影所表示的范围内(包括
4、边界),则角的集合为 . (2)如果是第三象限的角,试确定-,2的终边所在位置.,【解题视点】(1)先写出在0360范围内满足条件的角,再由终边相同角的关系写出集合. (2)由的范围写出-与2的范围,再由终边相同角的关系判断.,【规范解答】(1)在0360范围内,终边落在阴影内的角为90135或270315.所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为|90+k360135+k360,kZ|270+k360315+k360,kZ =|90+2k180135+2k180,kZ |90+(2k+1)180135+(2k+1)180,kZ =|90+n180135+n180,nZ.,答案：|90+n1
5、80135+n180,nZ (2)由是第三象限的角得2k 2k(kZ)， 所以 2k2k(kZ)， 即 2k2k(kZ)， 所以角的终边在第二象限. 由2k 2k(kZ)，得24k23 4k(kZ)所以角2的终边在第一、二象限及y轴的非负 半轴,【互动探究】在本例(2)的条件下，判断 的终边所在的位 置 【解析】因为2k 2k(kZ)， 所以 当k3n(nZ)时，,当k3n1(nZ)时， 当k3n2(nZ)时， 所以 的终边在第一、三、四象限,【易错警示】判断终边所在位置注意分类讨论 本例第(2)题【互动探究】由 判断 终边所在位置时，要注意分类讨论的原则和标准，否则易 出现漏解或重解的情况.
6、,【规律方法】1.表示区间角的三个步骤 (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360360范围内的角和，写出最简区间. (3)起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合.,2.确定k， (kN*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出k或 的 范围，然后根据k的可能取值讨论确定k或 的终边所在位 置,等分象限角的规律 已知是第m(m=1,2,3,4)象限角,求 是第几象限角. (1)等分：将每个象限分成n等份. (2)标注：从x轴正方向上第一个区域起,按逆时针方向顺次标 上1,2,3,4,1,2,3
7、,4,依次循环,直至填充所有区域. (3)选区间：出现数字m的区域即为 的范围.,【变式训练】设集合 N 那么( ) A.M=N B.MN C.NM D.MN=,【解析】选B.方法一：由于 ，45，45，135，225， ，45，0，45， 90，135，180，225，显然有MN，故选B. 方法二：由于M中，x 18045k9045 45(2k1)，2k1是奇数；而N中，x 18045 k4545(k1)45，k1是整数，因此必有 MN，故选B.,【加固训练】 1.给出下列命题： 是第二象限角； 是第三象限角；400是第 四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有( ) A1个 B2个 C
8、3个 D4个,【解析】选C. 是第三象限角，故错误. 从而 是第三象限角，故正确400360 40，从而正确31536045，从而正 确,2. 若k18045(kZ)，则在( ) A第一或第三象限 B第一或第二象限 C第二或第四象限 D第三或第四象限 【解析】选A.当k2n(nZ)时，2n18045(nZ)，在第一象限；当k2n1(nZ)时，2n180225(nZ)，在第三象限,3.如图所示： 则终边落在直线y x上的角的集合为 .,【解析】终边落在y x(x0)上的角的集合是S1=|=60+k360,kZ，终边落在y x(x0)上 的角的集合是S2=|=240+k360,kZ，于是，终边 落
9、在y x上的角的集合是|=60+k360, kZ|=240+k360,kZ=|=60+2k 180,kZ|=60+(2k+1)180,kZ=|= 60+n180,nZ. 答案：|=60+n180,nZ,考点2 弧度制及应用 【典例2】(1)(2014唐山模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦 长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.sin 2 C. D.2 sin 1 (2)已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数 是( ) A1 B4 C1或4 D2或4,【解题视点】(1)利用弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解. (2)构造弧长和半径的方程组求解.,【规范解答】
10、(1)选C.如图: AOB2弧度，过O点作OCAB于C，并延长OC交弧AB于D.则 AODBOD1弧度，且AC AB1， 在RtAOC中，AO 即 从而弧AB的长为,(2)选C.设此扇形的半径为r，弧长为l， 则 解得 或 从而 或,【规律方法】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式l =|r,扇形的面积公式是S= (其中l是扇形的弧长,是扇形的圆心角). (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个 量中的任意两个量. 提醒：运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度 量单位为弧度制.,【变式训练】(2014大连模拟)一个半径为R的扇形，它的周
11、 长为4R，则这个扇形所含弓形的面积是( ) 【解析】选D.设圆心角为,由题知2R+R=4R，得=2， 所以S弓=S扇-S= =,【加固训练】 1. (2014哈尔滨模拟)已知扇形的面积为 半径为1，则该 扇形的圆心角的弧度数是( ) 【解析】选B.S扇 所以,2.(2014佛山模拟)已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正 三角形的边长，则这段圆弧所对圆心角的弧度数为_. 【解析】如图，ABC是圆内接正三角形， 显然BOC是等腰三角形，腰长为R，顶角 BOC=120，所以正三角形的边长= 依题设知圆弧长 又因l=R,所以 (弧度). 答案：,考点3 三角函数的定义及三角函数线的应用 【考情】任意
12、角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容.在高考中以选择题、填空题的形式出现,考查利用定义求三角函数值或已知三角函数值求坐标等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2014石家庄模拟)若三角形的两内角，满 足sin cos 0，则此三角形必为( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能 (2)(2014东莞模拟) 若角的终边经过点 且 则cos 的值为_.,【解题视点】(1)根据三角形中角的范围，先判断sin 的符 号，再判断cos 的符号，从而可解. (2)根据三角函数的定义利用 求出m后再求解. 【规范解答】(1)选B.三角形的两内角,的
13、终边一定落在第 一、二象限或y轴的非负半轴上，所以sin 0，又因为 sin cos 0，所以cos 0，故角为钝角，此三 角形为钝角三角形.,(2)由题意得， 所以 因为m0，所以 当 时， 点P的坐标为 所以 当 时， 点P的坐标为 所以 答案：,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】 1.(2014西安模拟)已知角的终边与单位圆的交点 则tan ( ) 【解析】选B.由 得,2.(2014大连模拟)点A(sin 2 014，cos 2 014)在直角坐标平面上位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】选C.由2 0143605(18034)可知， 2 014角
14、的终边在第三象限，所以sin 2 0140， cos 2 0140，即点A位于第三象限,3.(2014汕头模拟)若 则角的终边一定 落在直线_上.( ) A.7x+24y=0 B.7x-24y=0 C.24x+7y=0 D.24x-7y=0 【解析】选D.因为 所以 由三角函数的定义可知,角的终边过点(-7,-24)，代入 A,B,C,D四个选项可知，的终边一定落在直线24x-7y=0上.,【加固训练】 1.(2014海口模拟)已知 在单位圆中角的正弦 线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们的大小关系是 ( ) A.MPOMAT B.ATMPOM C.ATOMMP D.MPATOM
15、【解析】选B.如图，由图可知ATMPOM.,2.(2014厦门模拟)如图所示，角的终边 与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于 第二象限的点 则cos sin _. 【解析】由题意得 所以 又cos 0，所以 又 所以 答案：,3.(2014南京模拟)函数 的定义域为_ 【解析】因为2cos x10，所以 cos x 由三角函数线画出x满足条件的终边的 范围(如图阴影所示) 所以 答案：,【易错误区9】利用定义法求三角函数值问题的易错点 【典例】(2014杭州模拟)已知角的终边在直线3x4y0 上，则sin cos tan 的值为_,【解析】,【误区警示】,【规避策略】,答案：,【类题试解】(2014三明模拟)若420角的终边所在直线上 有一点(-4,a)，则a的值为( ) 【解析】选B.由三角函数的定义有：tan 420= 又tan 420=tan(360+60)=tan 60= 故 得,