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1、热点专题突破系列(三) 数列的综合应用,考点1 等差数列与等比数列的综合问题 【典例1】(2014南昌模拟)已知an是单调递增的等差数列,首项a1=3,前n项和为Sn,数列bn是等比数列,首项b1=1,且a2b2=12,S3+b2=20. (1)求an和bn的通项公式. (2)令cn=Sncos(an)(nN*),求cn的前n项和Tn.,【解题视点】(1)利用“基本量法”,用首项和公差(比)表示已知等式,解得公差(比),再用通项公式求解. (2)用(1)的结论表示出cn,再分n是偶数与n是奇数两种情况讨论求和.,【规范解答】(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q, 则a2b2=(3+d
2、)q=12, S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d, 则(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2=12, 即3d2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0. 因为an是单调递增的等差数列,所以d0, 所以d=3,q=2, an=3+(n-1)3=3n,bn=2n-1.,(2)由(1)知 cn=Sncos3n= 当n是偶数时, Tn=c1+c2+c3+cn=-S1+S2-S3+S4-Sn-1+Sn=a2+a4+a6+an =6+12+18+3n=,当n是奇数时, Tn=Tn-1-Sn= =- (n+1)2. 综上可得,Tn=,【规
3、律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序. (2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.,提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.,【变式训练】(2014潍坊模拟)在等比数列an中,已知a1=3,公比q1,等差数列bn满足b1=a1,b4=a
4、2,b13=a3. (1)求数列an与bn的通项公式. (2)记cn=(-1)nbn+an,求数列cn的前n项和Sn.,【解析】(1)设等差数列bn的公差为d. 由已知得:a2=3q,a3=3q2, b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d, q=3或q=1(舍去), 所以此时d=2,所以an=3n,bn=2n+1.,(2)由题意得:cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n, Sn=c1+c2+cn=(-3+5)+(-7+9)+(-1)n-1(2n-1)+ (-1)n(2n+1)+3+32+3n, 当n为偶数时,Sn= 当n为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+,【加固
5、训练】在公差为d(d0)的等差数列an和公比为q的等比数列bn中,a2=b1=3,a5=b2,a14=b3. (1)求数列an和bn的通项公式. (2)令cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.,【解析】(1)因为a2=b1=3,a5=b2,a14=b3,所以 解之得 所以an=2n-1,bn=3n. (2)因为cn=anbn=(2n-1)3n.所以Tn=13+332+533+(2n-1)3n, 所以3Tn=132+333+(2n-3)3n+(2n-1)3n+1, 所以-2Tn=3+232+233+23n-(2n-1)3n+1, 所以-2Tn=3+2(32+33+3n)-(2n-1)3n+1
6、 =3+2 -(2n-1)3n+1, 所以Tn=3+(n-1)3n+1.,考点2 数列与函数的综合问题 【典例2】已知函数f(x)=log2x-logx2(0x1),数列an满足 f( )=2n(nN*). (1)求数列an的通项公式. (2)判断数列an的单调性.,【解题视点】(1)将an看成一个未知数,解方程即可求出an. (2)通过比较an和an+1的大小来判断数列an的单调性.,【规范解答】(1)由已知得 所以an- =2n,即an2-2nan-1=0.所以an= 因为0x1,所以0 1,所以an0. 所以an=n-,(2)方法一:因为an+1-an =(n+1)- =1- 所以an+
7、1an,所以an是递增数列. 方法二:因为 又因为anan,所以an是递增数列.,【规律方法】数列与函数的综合问题的常见类型及解题策略 (1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题. (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.,解决数列与函数综合问题的注意点 (1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,而不是某个区间上的连续实数,所以它的图象是一
8、群孤立的点. (2)转化以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题. (3)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.,【变式训练】(2014中山模拟)已知f(x)= 数列 an的前n项和为Sn,点Pn 在曲线y=f(x)上(nN*), 且a1=1,an0. (1)求数列an的通项公式. (2)数列bn的前n项和为Tn,且满足 +16n2-8n-3, b1=1,求数列bn的通项公式. (3)求证:,【解析】(1) 所以 所以数列 是等差数列，首项为 =1，公差d=4. 所以 =1+4(n-1)， 所以 所以,(
9、2)由 得(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1), 所以 所以数列 是等差数列，首项为 =1,公差为1. 所以 =n,所以Tn=4n2-3n, 当n2时，bn=Tn-Tn-1=8n-7,b1=1也满足上式. 所以bn=8n-7,nN*.,(3)因为,考点3 数列与不等式的综合问题 【典例3】(2013广东高考)设数列an的前n项和为Sn,已知 a1=1, =an+1- n2-n- ,nN*. (1)求a2的值. (2)求数列an的通项公式. (3)证明:对一切正整数n,有,【解题视点】(1)将n=1代入已知等式中,化简求值. (2)根据通项与前n项和的关系,通过降低角
10、标的方法导出an与an+1满足的递推关系,进而得到数列an的通项公式. (3)根据(2)的结果,放缩后求和,进而证得结论.,【规范解答】(1)因为a1=1,在 =an+1- n2-n- 中令n=1,可 得a2=4. (2)由已知可得2Sn=nan+1- n3-n2- n,即2Sn=nan+1- 则当n2时,2Sn-1=(n-1)an- , -可得2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1),也就是(n+1)an=nan+1- n(n+1),同除以n(n+1)可得 =1,数列 是公差为 1的等差数列, 且 =1,所以 =n,an=n2,显然a1=1也满足an=n2,即所求通项公 式为an=n
11、2.,(3)当n=1时, 结论成立; 当n=2时, 结论成立; 当n3时, 即对一切nN*, 成立.,【规律方法】数列中不等式的处理方法 (1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式. (2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到. (3)比较方法:作差或者作商比较. (4)数学归纳法：使用数学归纳法进行证明,【变式训练】(2014汕头模拟)已知数列an中，a1=1,an+1= (nN*). (1)求证：数列 为等差数列. (2)设 数列bnbn+2的前n项和Tn,求证：Tn,【证明】(1
12、)由an+1= 得： 所以数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列. (2)由(1)得： =1+2(n-1)=2n-1，由 得： =2n-1+ 1=2n, 所以bn= ,从而：bnbn+2= 则Tn=b1b3+b2b4+bnbn+2,【加固训练】(2014太原模拟)已知等差数列an的公差不为 零,且a3=5,a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列an的通项公式. (2)若数列bn满足b1+2b2+4b3+2n-1bn=an且数列bn的前n 项和为Tn,试比较Tn与 的大小.,【解析】(1)在等差数列an中,设公差为d(d0), 所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.,(
13、2)b1+2b2+4b3+2n-1bn=an , b1+2b2+4b3+2n-1bn+2nbn+1=an+1 , -得:2nbn+1=2,所以bn+1=21-n, 当n=1时,b1=a1=1,所以bn=,当n=1时，T1=b1=1， =1，所以Tn= 当n2时，Tn=1+4 又2n=(1+1)n= n+1(n2)， 所以 所以当n=1时，Tn= ，当n2时，Tn,考点4 数列的实际应用问题 【典例4】某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上
14、缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.,(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式. (2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).,【解题视点】(1)只要根据增长率求出当年年底的资金总额,再减去上缴的资金,就是剩余资金,即可求出a1,a2,以及建立an+1与an间的递推关系式. (2)使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列an的通项公式an,令am=4000即可求出d.,【规范解答】(1)由题意得a1=2 000(1+50%)-d =3 000-d，
15、a2=a1(1+50%)-d= a1-d=4 500- 所以an+1=an(1+50%)-d= an-d.,(2)方法一：由(1)得，当n2时， an= an-1-d= an-2- d-d= 整理得an= (3 000-3d)+2d.,由题意，am=4 000,所以 (3 000-3d)+2d=4 000, 故该企业每年上缴资金d的值为 时，经过 m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元.,方法二：由于an+1= an-d， 设an+1+= (an+)，化为an+1= an+ ,与an+1= an-d 比较可得=-2d， 故an+1-2d= (an-2d)，这说明数列an-2d是以a1-2d
16、=3 000- 3d为首项, 为公比的等比数列， 所以an-2d=(3 000-3d) 即an=(3 000-3d) +2d. (下同方法一),【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤 (1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表:,(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确. (3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点. 提醒:一般地,涉及递增率或递减率要用等比数列,涉及依次增加或减少要
17、用等差数列,有的问题是可以通过转化得到等差或等比数列的,注意之间的联系.,【变式训练】(2014广州模拟)某学校餐厅为了保证每天供应1000名学生用餐,每星期一都提供有A,B两种菜可供学生选择(每个学生都将从二种中选一种),经调查,凡是在本周星期一选A菜的,下周星期一会有20%改选B,而选B菜的,下周星期一则有30%改选A.用an,bn分别表示在第n个星期一选A,B菜的人数(a1,b1表示本周星期一选A,B菜人数),若a1=200. (1)试以an表示an+1. (2)证明:an的通项公式是an=(-400) +600. (3)试问从第几个星期一开始,选A的人数超过选B的人数?,【解析】(1)
18、由题可知,因为在本周星期一选A菜的,下周星期一 会有20%改选B,而选B菜的,下周星期一则有30%改选A,所以 an+1=an(1-0.2)+0.3bn, 又an+bn=1000,所以整理得:an+1= an+300. (2)因为a1=200,且an+1= an+300, 所以an+1-600= (an-600), 即an-600可以看成是首项为-400,公比为 的等比数列, 所以an=(-400) +600.,(3)由an+bn=1000,anbn得an500, 又an=(-400) +600,所以 即n3. 答:从第4个星期一开始,选A的人数超过选B的人数.,【加固训练】流行性感冒(简称流
19、感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市11月份曾发生流感,据资料统计,11月1日,该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制.从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8670人.问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求出这一天的新患者人数.,【解析】设从11月1日起第n(nN*,1n30)日感染此病毒 的新患者人数最多,则从11月1日至第n日止,每日新患者人数 依次构成一个等差数列,这个等差数列的首项为20,公差
20、为50, 前n日的新患者总人数即该数列的前n项之和Sn=20n+ 50=25n2-5n.,从第n+1日开始,至11月30日止,每日的新患者人数依次构成 另一等差数列,这个等差数列的首项为20+(n-1)50-30= 50n-60,公差为-30,项数为(30-n),(30-n)日的新患者总人数 为T30-n=(30-n)(50n-60)+ (-30)=(30-n) (65n-495)=-65n2+2445n-14850.,依题意得Sn+T30-n=8670, 即(25n2-5n)+(-65n2+2445n-14850)=8670. 化简得n2-61n+588=0,解得n=12或n=49. 因为1n30,所以n=12. 第12日的新患者人数为20+(12-1)50=570. 所以11月12日,该市感染此病毒的新患者人数最多,且这一天的新患者人数为570人.,