2019年奥本海姆信号与系统1-3章重点讲解.ppt

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1、Course Status,信号与系统,Teaching Purpose,通过本课程的学习，使学生掌握信号分析与线性系统分析的基本理论及分析方法，能对工程中应用的简单系统建立数学模型，并对数学模型求解。 为适应信息科学与技术的飞速发展，在相关专业领域的深入学习打下坚实的基础。 同时，通过习题和实验，学生应在分析问题与解决问题的能力及实践技能方面有所提高。,Teaching Request,概念第一、方法第二、技巧第三 根据个人定位按广度、深度分层次学习 重视基本概念的思考 注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计算 在掌握基本理论和基本方法上下功夫 记笔记、记重点、记思路、记方法 不强调复

2、杂计算 比较学习方法 重视预习、复习、练习和章节小结这些学习环节 做好作业与一定的习题量，做到熟能生巧,Application Field,计算机、通信、语音与图像处理 电路设计、自动控制、雷达、电视 声学、地震学、化学过程控制、交通运输 经济预测、财务统计、市场信息、股市分析 宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警 电子出版、新闻传媒、影视制作 远程教育、远程医疗、远程会议 虚拟仪器、虚拟手术 人体：,Problem to solve,两大模块： 信号与系统 研究的对象：线性时不变系统(LTI) 信号分析法：时域分析、频域分析、变换域分析 系统分析法：时域分析、频域分析、变换域分析 信号的设

3、计 系统的设计,Course Structure,3条主线： 1、连续时间信号与系统 & 离散时间信号与系统 2、时域分析 & 变换域分析(FT,LT,ZT) 3、输入输出法 & 状态变量法,Teaching Contents,第1章 信号与系统 4 信号的描述；信号的自变量变换；基本连续时间信号；基本离散时间信号；系统的描述 第2章 线性时不变系统 4 信号的时域分解；卷积和；卷积积分；LTI系统的性质；LTI系统的微分、差分方程描述；LTI系统的方框图描述 第3章 周期信号的傅立叶级数表示 4 连续时间付里叶级数；离散时间付里叶级数 第4章 连续时间傅立叶变换 62 连续时间付里叶变换；傅

4、立叶变换的性质；LTI系统的频域分析,第5章 离散时间傅立叶变换 6 离散时间付里叶变换；离散时间付里叶变换的性质；由线性常系数差分方程描述的系统的频率响应 第6章 信号与系统的时域和频域特性 6 连续时间付里叶变换的极坐标表示；理想低通滤波器；Bode图；一阶系统与二阶系统的分析方法 第7章 采样 4 采样定理；重建信号；连续时间信号的离散处理；离散时间信号采样 第8章 通信系统,第9章 拉普拉斯变换 双边拉氏变换；拉氏反变换，拉氏变换的性质；利用拉氏变换分析LTI系统；单边拉氏变换 第10章 Z变换 双边Z变换，ZZ反变换；Z变换的性质；利用Z变换分析LTI系统；单边Z变换 第11章 线性

5、反馈系统,概念与重要知识点 信号、信息、消息 系统、信号能量与功率（如何求） 信号分类：确定信号与随机信号、连续信号与离散信号、周期 信号与非周期信号、能量信号与功率信号、一维信号与多维信号、因果信号与反因果信号,第一章信号与系统,信号运算 1、信号的算术运算：+-*/； 2、信号的时间变换：反转、平移、尺度变换 典型信号（概念、性质、信号运算） ：阶跃函数、冲激函数、指数信号与正弦信号（欧拉公式、基波频率、能量、功率、周期性判断）,系 统,描述连续动态系统的数学模型是微分方程；描述离散动态系统的数学模型是差分方程。,一、连续系统,2. 系统的框图描述,上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系

6、：相乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。基本部件单元有：,积分器：,加法器：,数乘器：,积分器的抗干扰性比微分器好。,系统模拟：,实际系统方程模拟框图 实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计,例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画出框图。,解：将方程写为 y”(t) = f(t) ay(t) by(t),例3：已知框图，写出系统的微分方程。,解：设辅助变量x(t)如图,x(t),x(t),x”(t),x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即x”(t) + 2

7、x(t) + 3x(t) = f(t),y(t) = 4x(t)+ 3x(t),根据前面，逆过程，得,y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t),二、离散系统,1. 解析描述建立差分方程,由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。 描述LTI离散系统的是线性常系数差分方程。,2. 差分方程的模拟框图,基本部件单元有： 数乘器 加法器 迟延单元（移位器）,例：已知框图，写出系统的差分方程。,解：设辅助变量x(k)如图,x(k),x(k-1),x(k-2),即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消

8、去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2),x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2),方程框图 用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。,1.6 系统的性质及分析方法,一、系统的定义,二、系统的分类及性质,、动态系统与即时系统,连续系统与离散系统,单输入单输出系统与多输入多输出系统,线性系统与非线性系统,稳定系统与不稳定系统,例判断下列系统是否为线性系统？,解：,y (t) = yf(t) + yx(t) ， 满足可分解性；,Ta f1(t)+ b f2(t) , 0,= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满

9、足零状态线性；,T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 满足零输入线性；,所以，该系统为线性系统。,5. 时不变系统与时变系统,满足时不变性质的系统称为时不变系统。,（1）时不变性质,T0，f(t) = yf(t) 则有 T0，f(t - td) = yf(t - td) 系统的这种性质称为时不变性（或移位不变性）。,例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yf (k) = f (k) f (k 1) （2） yf (t) = t f (t) （3） y f(

10、t) = f ( t),解(1)令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而 yf (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 显然 T0，f(k kd) = yf (k kd) 故该系统是时不变的。 (2) 令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而 yf (t td)= (t td) f (t td) 显然T0，f(t td) yf (t td) 故该系统为时变系统。,(3) 令g (t) = f(t td) , T0，g (t) =

11、 g ( t) = f( t td) 而 yf (t td) = f ( t td)，显然 T0，f(t td) yf (t td) 故该系统为时变系统。,直观判断方法： 若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。,本课程重点讨论: 线性时不变(Linear Time-Invariant)系统，简称LTI系统。,（2）LTI连续系统的微分特性和积分特性,微分特性： 若 f (t) yzs(t) ， 则 f (t) y zs (t),积分特性： 若 f (t) yzs(t) ， 则,6. 因果系统与非因果系统,零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统。,即对因果系统，

12、当t t0 ，f(t) = 0时，有t t0 ，yf(t) = 0。,如下列系统均为因果系统：,yf(t) = 3f(t 1),而下列系统为非因果系统：,(1) yf(t) = 2f(t + 1),(2) yf(t) = f(2t),因为，令t=1时，有yf(1) = 2f(2),因为，若f(t) = 0， t t0 ，有yf(t) = f(2t)=0, t 0.5 t0 。,例 某LTI因果连续系统，起始状态为x(0)。已知，当x(0) =1，输入因果信号f1(t)时，全响应 y1(t) = e t + cos(t)，t0； 当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应 y

13、2(t) = 2e t +3 cos(t)，t0； 求输入f3(t) = +2f1(t-1)时，系统的零状态响应y3f(t) 。,解 设当x(0) =1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)。当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。,由题中条件，有 y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = e t + cos(t)，t0 （1） y2(t) = y2x(t) + y2f(t) = 2e t +3 cos(t)，t0 （2） 根据线性系统的齐次性，y2x(t)

14、= 2y1x(t)，y2f(t) =3y1f(t)，代入式（2）得 y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = 2e t +3 cos(t)，t0 （3） 式(3) 2式(1)，得 y1f(t) = 4e-t + cos(t)，t0 由于y1f(t) 是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改写成 y1f(t) = 4e-t + cos(t)(t) (4),f1(t) y1f(t) = 4e-t + cos(t)(t),根据LTI系统的微分特性,= 3(t) + 4e-t sin(t)(t),根据LTI系统的时不变特性,f1(t

15、1) y1f(t 1) = 4e-(t-1) + cos(t1)(t1),由线性性质，得：当输入f3(t) = +2f1(t1)时，,y3f(t) = + 2y1(t1) = 3(t) + 4e-t sin(t)(t) + 24e-(t-1) + cos(t1)(t1),系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。 具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。,系统的分析方法：,输入输出法（外部法）,状态变量法（内部法）（chp.8),外部法,时域分析（chp.2,chp.3),变换域法,连续系统频域法(4)和复频域法(5),离散系统z域法（chp6),系统特

16、性：系统函数（chp.7),三、LTI系统的分析方法,1.6 系统的性质及分析方法,（1）把零输入响应和零状态响应分开求。 （2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。,求解的基本思路：,采用的数学工具：,（1）卷积积分与卷积和 （2）傅里叶变换 （3）拉普拉斯变换 （4）Z变换,1.6 系统的性质及分析方法,第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 二、阶跃响应 2.3

17、卷积积分 一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解,2.4 卷积积分的性质 一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性 五、相关函数 2.5* P算子分析法 一、微分算子及系统描述 二、零输入响应求解 三、LTI连续系统的初始条件 四、零状态响应的求解 五、由H(P)求h(t),一、冲激响应,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t),二、阶跃响应,g(t)= T (t) ，0,由于(t) 与(t) 为微积分关系，故,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的

18、函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。,第二章 连续系统的时域分析,例3 如图所示的LTI系统，求其阶跃响应及冲激响应。,解：,（1）列写系统的微分方程,（2）求阶跃响应,（3）求冲激响应,验证结论（解法II）：,2.3 卷积积分,一、信号的时域分解与卷积积分,1 .信号的时域分解,2 .任意信号作用下的零状态响应,根据h(t)的定义：,(t),h(t),由时不变性：,(t -),h(t -),f ()(t -),由齐次性：,f () h(t -),由叠加性：,f (t),yf(t),卷积积分,3 .卷积积分的定义,已知定义在区间（

19、 ，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分,为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。,例1：f (t) = e t,（-t)，h(t) = (6e-2t 1)(t)，求yf(t)。,解： yf(t) = f (t) * h(t),当t t时，(t -) = 0,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为得 f1()， f2() （2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-) （3）乘积： f1() f2(t-) （4）积分：

20、从 到对乘积项积分。 注意：t为参变量。 下面举例说明。,例2 f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。,解 采用图解法求卷积 。,f ( t -),f ()反折,f (-)平移t, t 0时 , f ( t -)向左移,f ( t -) h() = 0，故 yf(t) = 0, 0t 1 时, f ( t -)向右移, 1t 2时, 3t 时,f ( t -) h() = 0，故 yf(t) = 0, 2t 3 时,0,图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。,例3：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t

21、) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？,f1(-),f1(2-),解：,（1）换元,（2） f1()得f1(),（3） f1()右移2得f1(2),（4） f1(2)乘f2(),（5）积分，得f(2) = 0（面积为0）,2.4 卷积积分的性质,卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。,一、卷积代数,1 满足乘法的三律： （1） 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) （2） 分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)*

22、f3(t) （3） 结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t),2. 复合系统的冲激响应,2.4 卷积积分的性质,二、奇异函数的卷积特性,1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t),证：,f(t)*(t t0) = f(t t0),2. f(t)*(t) = f(t),证：,f(t)*(n)(t) = f (n)(t),3. f(t)*(t),(t) *(t) = t(t),三、卷积的微积分性质,1.,证：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2

23、(t),2.,证：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t),3. 在f1( ) = 0或f2(1)() = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t),例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求f1(t)* f2(t),解：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)* f1(t)=,注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的。,例2：f1(t) 如图, f2(t) = et(t)，求

24、f1(t)* f2(t),解法一： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t),f1(t) = (t) (t 2),f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2),解：,f1(t) = (t) (t 2),f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2(t), (t) * f2(t)= f2 (-1)(t),四、卷积的时移特性,若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2)

25、,前例：f1(t) 如图, f2(t) = et(t)，求f1(t)* f2(t),利用时移特性，有 (t 2) * f2(t)= f2 (-1)(t 2),f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2),例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t),解： f1(t) = 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1),f1(t)* f2(t) = 2 (t)* (t+1) 2 (t)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) 2 (t 1)* (t 1),由于 (t)* (t) = t (t) 据时移特性，有 f1(t)*

26、f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) 2 (t 2) (t 2),常见的卷积公式,求卷积是本章的重点与难点。 求解卷积的方法可归纳为： （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。,（1）,解法I(定义)：,例 求下列函数的卷积积分。,解法II(图解)：,解法IV(常用公式)：,解法III(性质)：,(2),解:,1、任意信号作用下的零状态响应,根据h(t)的定义：,(t),h(t),由时不变性：,

27、(t -),h(t -),f ()(t -),由齐次性：,f () h(t -),由叠加性：,f (t),yf (t),四、零状态响应的求解,卷积积分,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解 三、零输入响应 四、零状态响应 3.2 单位序列和单位序列响应 一、单位序列和单位阶跃序列 二、单位序列响应和阶跃响应,3.3 卷积和 一、卷积和 二、卷积的图解 三、卷积和的性质 *3.4 离散系统的算子分析 一、E算子及方程 二、离散系统的零输入响应 三、由H(E)求h(k) 四、求解零状态响应,3.1 LTI离散系统的响应,一、差分与差分方

28、程,设有序列f(k)，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2),等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。,1. 差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式：,（1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) f(k) （2）一阶后向差分定义：f(k) = f(k) f(k 1) 式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1)

29、 = f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2)= f(k) 2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m),因此，可定义：,2. 差分方程,包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 例1：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知初始条件y

30、(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)。 解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 注：一般不易得到解析形式的(闭合)解。,二、差分方程的经典解,y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),与微分方程经典解类似，上述差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。齐次解用yh(k)表示，特解用yp(k)表示，即 y(k) = yh(k) + yp(k),1. 齐次解yh(k),齐次解 是齐

31、次差分方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0 的解。yh(k)的函数形式由上述差分方程的特征根确定。 （齐次解的函数形式见P87表3-1）,齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0 其特征方程为 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ，即 n + an-1n 1 + + a0 = 0 其根i( i = 1，2，n)称为差分方程的特征根。,2. 特解 yp(k) 特解的函数形式与激励函数的形式有关。P87表3-2列出了几种典型得f(k)所对应的特解yp(k)。,例2：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k

32、 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。,解： 特征方程为 2 + 4+ 4=0 可解得特征根1=2= 2，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k2 , k0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2, k0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= 1/4,三、零输入响应和零状态

33、响应,系统的全响应y(k)可以分解为零输入响应yx(k)和零状态响应yf(k) 。 y(k) = yx(k) + yf(k) 零输入响应和零状态响应可以分别用经典法求解。,已知单输入-单输出LTI离散系统的激励为f(k)，其全响应为y(k)，那么，描述该系统激励f(k)与响应y(k)之间的关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，表示如下：,1. 零输入响应,系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用yx(k)表示。,在零输入条件下，(1)式可化为齐次方程：,通常，用y(-1)，y(-2)，y(-n)描述系统的初始状态。,一般设定激励是在k=0时刻接入系统的，在k0时，激励

34、尚未接入，因此（2）的初始状态满足：,2. 零状态响应,系统的初始状态为零，仅由激励f(k)引起的响应，称为零状态响应，用yf (k)表示。,在零状态条件下，(1)式仍为非齐次方程，其初始条件为零，即零状态响应满足：,利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值yx(j)和yf (j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1),零状态响应为：,位移单位脉冲序列：,1. 单位序列(单位脉冲序列/单位样值序列/单位取样序列)：,基本离散信号：,3.2 单位序列和单位序列响应,迭分：,延时：,乘：,加：,运算：,3.2 单位序列和单位序列响应,取样性质：,偶函数：,3.2 单位序列和单位序列响

35、应,(1)定义：,(2)运算：同一般离散信号的运算,相加：,相乘：,延时：,2. 单位阶跃序列：,迭分：,（3） 与 的关系：,3.正弦序列：,连续正弦信号是周期信号，但正弦序列不一定是周期序列。,如果正弦序列是由连续正弦信号通过抽样得到，设正弦信号,式中：,代入式,得：,否则为非周期序列。,当 为有理数时，正弦序列才是周期序列；,可见，复指数序列的实部和虚部均为幅值按指数规律变化的正弦序列。 如下页图所示,4.复指数序列：,5.Z序列：,z为复数,类比：连续与离散基本信号的对应关系,复指数函数：,复指数序列,单位冲激信号：,单位阶跃信号：,正弦信号：,虚指数信号：,单位脉冲序列,单位阶跃序列

36、,正弦序列,虚指数序列,二、单位序列响应和阶跃响应,1.单位序列响应,当LTI系统的激励为单位序列(k)时，系统的零状态响应称为单位序列响应（或单位样值响应、单位取样响应），用h(k)表示，它的作用与连续系统中的冲激响应h(t)相类似。,求解系统的单位序列响应可用求解差分方程法或z变换法（见第六章）。,由于单位序列(k)仅在k=0处等于1，而在k0时为零，因而在k0时，系统的单位序列响应与系统的零输入响应的函数形式相同。这样就把求解单位序列响应的问题转换为求解齐次方程的问题。而k=0处的值h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。,2.阶跃响应,当LTI系统的激励为单位阶跃序列(k)时，系统的零

37、状态响应称为阶跃响应，用g(k)表示。,若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求得系统的单位阶跃响应g(k)。此外,由于,由线性和移位不变性,由于,那么,例1.求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)和阶跃响应g(k)。,解：,（1）列写差分方程，求初始值,由加法器的输出可列出系统的方程为,整理得：,根据单位序列响应的定义，它应满足方程,由迭代得：,（2）求h(k),当k0时，h(k)满足齐次方程,其特征方程为：,代入初始值得：,于是，系统的单位序列响应,注意：这时已将h(0)的值代入，因而方程的解也满足 k=0。 由上式可解得：,（3）求 g(k),根据阶跃响应的定义，它应满足方程,由迭代

38、得：,容易求得其特解为：,于是，得：,解法I,代入初始值得：,于是，系统的阶跃响应,由上式可解得：,考虑到k0，得：,解法II,由级数求和公式得：,3.3 卷积和,3 .卷积和的定义,已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和,为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为 f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。,若有两个序列f1(k)与f2(k)，如果序列f1(k)是因果序列，即有f1(k)=0,k0,则卷积和可改写为：,若有两个序列f1(k)与f2(k)，如果序列f2(k)是

39、因果序列，即有f2(k)=0,k0,则卷积和可改写为：,如果序列f1(k)与f2(k)均为因果序列，即若f1(k)=f2(k)=0, k0, 则卷积和可写为：,例1：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yf (k)。,解： yf (k) = f (k) * h(k),当i k时，(k - i) = 0,这种卷积和的计算方法称为解析法。,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为五步： （1）换元： k换为 i得 f1(i)， f2(i)； （2）反转： 将 f2(i)以纵坐标为轴线反转，成为f2(i)； （3）平移：将f2(i)沿i轴正方向平移k 个单位 f2(k i);

40、（4）乘积： f1(i) f2(k i) ; （5）求和： i 从 到对乘积项求和。 注意：k 为参变量。 下面举例说明。,例1：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？,解：,（1）换元,（2） f2(i)反转得f2( i),（3） f2(i)右移2得f2(2i),（4） f1(i)乘f2(2i),（5）求和，得f(2) = 4.5,f2(i ),f2(2i),解：（1）换元，反转，得,例2 求,（2） 平移，求,（3）求,四、卷积和的性质,1. 满足乘法的三律,(1) 交换律：,(2) 分配律：,(3) 结合律：,证明： (仅证明交换律

41、，其它类似。),2. 复合系统的单位序列响应,3. f(k)*(k) = (k) *f(k)=f(k)，f(k)*(k k0) = f(k k0),4. f(k)*(k) =,5. f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k),6. f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k),常用卷积和公式,求卷积和是本章的重点。,证明:,例1,解法I：（列表法）,解法II：（不进位乘法）,解法III： （图解法）,例5:,解：,由复合系统各个子系统之间的连接关系得:,(3.21),解法IV： （解析法）,例2,解：（1）求零输入响应

42、：,零输入响应满足方程：,方程特征根为：,上式的特征方程：,(P.110 3.6 (4) ),解以上两式得：,于是系统的零输入响应为：,所以其齐次解为：,将初始值代入得：,系统的零状态响应是非齐次方程的解，分别求出非齐次方程的齐次解和特解，得,（2）求零状态响应：,零状态响应满足方程,初始状态,由（2）式得：,迭代得：,（3）系统的全响应为：,解以上三式得：,于是系统的零状态响应为：,例3:,解：,(1) 求系统的差分方程：,整理得：,(P.112 3.17),系统的零状态响应满足：,由迭代得：,(2) 求零状态响应的齐次解,差分方程的特征方程为：,可解得特征根为：,因此，齐次解为：,(3)

43、求零状态响应的特解,其特解为：,将特解代入（1），得：,解得：,（4）求零状态响应,代入初始条件得：,解得：,所以，系统的零状态响应为：,离散系统的E算子分析,2、LTI离散系统的响应,（1）零输入响应yx(k) :,输入f(k)为零，由初始状态产生的响应称零输入 响应。设初始时刻为k0=0，系统初始状态通常指： （对n阶系统）。,1、描述：,LTI离散系统的基本概念,复习,初始状态为零，由输入f(k) 产生的响应称零状态响应。,（3）完全响应y(k)：,3、线性时不变因果系统的性质：,（2）零状态响应yf (k):,（2）时不变性：,由初始状态和输入共同产生的响应称为完全响应。,可分解性：

44、y(k)=yx(k)+yf (k)； 零输入线性： yx(k)与初始状态满足线性； 零状态线性： yf (k)与输入f(k)满足线性。,（1） 线性：包括以下三个方面：,若,则,若kk0时，输入f(k)=0 ； 则kk0时，零状态响应yf(k)=0 。,已知单输入单输出LTI离散系统的激励为f(k)，其全响应为y(k)，那么，描述该系统激励f(k)与响应y(k)之间的关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，表示如下：,（3）因果性：,2、n阶离散系统的差分算子方程：,1、差分算子：,一、离散系统的差分算子及方程,由后向差分方程形式得：,算子方程也可写成：,进一步写成：,H(E)称为系统的传输算

45、子。,3、关于差分算子方程的说明：,（3）算子方程两边的公因子或H(E)的公因子不能随 意消去。,（2） 其中，A(E)、B(E)为E的正幂或负幂多项式；,（1）E的正幂多项式可以相乘，也可以进行因式分解； 例：,H(E)的E正幂形式：（由前向差分方程形式得到）,例1 图示LTI离散系统，写出系统的差分算子方程，和传输算子H(E)。,由系统框图得：,解：,差分方程：,或：,传输算子：,系统的差分算子方程：,求yx(k)方法小结：,设方程为：,（2）根据情况1、2求各分式对应的零输入响应；,（3） yx(k)等于各因式对应的零输入响应之和；,（4）由初始条件 yx(-1),yx(-2),或yx(

46、0),yx(1), 确定待定系数Ci。,（1）对A(E)进行因式分解；,二、离散系统的零输入响应,1. 零输入响应yx(k)的方程：,1.单位序列响应,当LTI系统的激励为单位序列(k)时，系统的零状态响应称为单位序列响应（或单位样值响应、单位取样响应），用h(k)表示，它的作用与连续系统中的冲激响应h(t)相类似。,本章第一节我们已经向大家讲述了单位序列响应的经典解法求解差分方程法。,本节我们会介绍由传输算子H(E)求解h(k)的方法。,第六章我们会给大家讲解利用z变换法求解单位序列响应。,一、单位序列响应和阶跃响应,2.阶跃响应,当LTI系统的激励为单位序列(k)时，系统的零状态响应称为阶

47、跃响应，用g(k)表示。,若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求得系统的单位阶跃响应g(k)。此外,由于,由线性和移位不变性,由于,那么,(k2k1 ),两个常用的求和公式：,求单位响应h(k)方法小结： 1、H(E)为E的正幂分式，H(E)除以E，得H(E)/E; 2、设H(E)/E为有理真分式，将H(E)/E展开为部分 分式之和； 3、H(E)/E的部分分式展开式乘以E，得到H(E)的 部分分式展开式； 4、根据情况1，情况2求H(E)的各分式对应的单位 响应； 5、求系统的单位响应h(k)，h(k)等于各分式对应 单位响应之和。,由H(E)求单位序列响应h(k),2有理分式的部分分式展开,H(E)/E为有理真分式,（1）H(E)/E的极点为单极点：,（2）H(E)/E的极点为m重极点：,（3）H(E)/E的极点为单极点和重极点:,例6: 求图示系统的单位序列响应。,x