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1、主要内容（2学时）,一、一维随机变量函数Y=g(X)的分布。 1、离散型Y=g(X)； 2、连续型Y=g(X)(重点） 二、二维 (X, Y)函数的分布 1、离散型Z=g(X,Y)的分布 2、Z=X+Y的分布(重点） 3、M=Max(X, Y)和N=Min(X,Y)的分布（重点）,第九节 随机变量函数的分布,问题的提出,实际中，人们经常对随机变量的函数很感兴趣.,1、已知圆的直径 d 的分布，求园的面积S= d 2 的分布.,例如：,2、变速直线运动质点的速度v、时间t联合分布已知，求 位移S=vt的分布.,归纳：1、随机变量X 的分布已知，Y=g (X) ，求 Y 的分布？,2、设随机变量(
2、X,Y)的联合分布已知，Z=g (X,Y) , 如何 由 (X,Y) 的分布求 Z的分布？,一、一维随机变量函数Y=G(X)的分布,解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13,X=a与Y=2a+3两事件同时发生，两者具有相同的概率.,故,1、离散型Y=g(X),再对等值合并,解：设X，U的分布函数分别为 FX (x) , FU(u),2、连续型Y=g(X),设函数Y=g(X)严格单调(递增),Y=g(X)非严格单调时，分段单调，分段求反函数即可。,U 的概率密度,当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，,解： 设Y和X的分布函数分别为 ，,则 Y=X2 的概率密度
3、为：,启示：从例3-4中看到，在求F(y)=P(Yy) 过程中，关键就是设法从 g(X) y 中解出X，从而得到与 g(X) y 等价的X的不等式 .,目的：为了利用X的分布，从而求出Y=g(X)的概率.,求连续型随机变量F(x)或f(x)的通用做法。,例5（P63,例4） 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布。求：（1）(略).（2）Y=-2lnX的概率密度.,二、二维(X,Y)函数的分布,1、离散型Z=g(X,Y),解: 将(X,Y)及各函数值列表如下：,合并后可得各变量的分布律如下：,设(X，Y)的联合概率密度为 f (x,y)，求Z=X+Y的概率密度.,分析: Z=X+Y的分布函数是
4、,积分区域D=(x, y): x+y z是直线x+y =z 左下方半平面,2、Z=X+Y的分布(重点）,FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),Z=X+Y的概率密度为,由对称性,特别: 当X和Y独立时，设(X,Y) 的边际密度为fX(x) , fY(y),卷积公式,解: 由卷积公式,解: 由卷积公式,设X、Y是两相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x)和FY(y)，求M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布函数.,3、 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布（重点）,FM(z) =P(Mz)=P(max(X,Y) z),=P(Xz,Yz),=P(Xz)P(Yz),= F
5、X(z)FY(z),即 FM(z)= FX(z)FY(z),FN(z) =P(Nz)=P(min(X,Y) z),=1-P(min(X,Y) z),=1-P(Xz,Yz),=1- P(Xz)P(Yz),即 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),特例: 当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,FN(z)=1-1-F(z) n,推广:设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 (i =0,1，, n) ，则,FM(z)=F(z) n,解（1）串联方式： 系统L的寿命 Z=min(X,Y
6、),（2）并联方式： 系统L的寿命 Z=max(X,Y),（3）备用方式： 系统L的寿命 Z=X+Y,本节重点总结,一、连续型随机变量函数Y=g(X)的分布 二、二维连续型(X, Y)函数的分布 1、Z=X+Y的分布。 2、M=Max(X, Y)和N=Min(X,Y)的分布。,1、分布律、概率密度、分布函数的定义、性质及计算； 2、二项分布、均匀分布、指数分布的定义、计算； 3、利用分布律、概率密度、分布函数计算事件的概率； 4、边际分布律、边际概率密度； 4、随机变量独立的定义与性质； 5、连续型随机变量函数的分布计算 Y=g(X) 、相互独立随机变量的和、最大最小值的分布。,本章重点总结,
7、备选1：若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的概率函数.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散 卷积公式,r=0,1,2, ,解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n),=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n),记1-p=q,备选2：设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .,n=0,1,2,解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1),=P(max(X1,X2) n )-P(max(X1,X2) n-1),=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1),n=0,1,2,=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）,当0y1时,=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）,而,由独立性,备选8 随机变量X和Y 独立，它们服从相同的分布N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度。,