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1、第十一章 随机变量与数字特征,一、随机变量 二、离散型随机变量及其概率分布 三、连续型随机变量及其分布 四、数字特征,一、随机变量的概念,在随机试验中，由于随机因素的作用，试验的结果有多个（甚至是无穷多个） 。,如果对于试验的每一个可能结果（也就是一 个样本点 ） ，都让其对应着一个实数 X，,这样 X 是一个随着试验结果不同而变化的变量，称它为随机变量。,随机变量一般用希腊字母 、 或大写拉丁字母 X、Y、Z 等表示。,例1 从0，1，2，9 十个数字中任取一个。,用 X 表示取得的数字,X所有可能取的值为：,0，1，2，3，9,X 就是一个随机变量。,X 的所有可能取值为：,0, 1, 2
2、, , k , ,X是一个随机变量。,例2 一个局域网中在一小时内上网的人数X。,例3 用 X 表示电脑的使用寿命,其可能的取值为 0 , +),X 是一个随机变量，,二、离散型随机变量,如果一个随机变量的所有可能的取值只有有限个或虽有无穷多个可能的值，但这些值可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列的），则称随机变量为离散型随机变量.,如例1、例2 中的随机变量X都是离散型随机变量。,例3 中的随机变量X就不是离散型随机变量。,1、离散型随机变量及其分布律,对离散型随机变量，首先列出它的所有可能取的值 xi ，其次要分别求出以怎样的概率取其中的每一个数。,称 为 X 的概率分布,简称分布律，
3、一般用下表表示,满足如下两个性质：,例1 设已知离散型随机变量 的概率分布为：,求其中的常数 a .,解：,解得 a = 0.6 , a = -0.9,（舍去）,例2 重复独立地抛掷一颗骰子，出现点数4向上为止， 求抛掷次数 X 的分布律。,解：,1,2,3,k,例 3 抛掷一枚匀称的骰子，设出现的点数为 X 。 （1）.求 X 的分布律； （2）.求“点数不小于3”的概率； （3）求“点数不超过3”的概率.,解： （1）,1,2,4,3,5,6,（2）,例 3 抛掷一枚匀称的骰子，出现的点数为 X 。 （3）求“点数不超过3”的概率；,（3）,1,2,4,3,5,6,P104 1；2（1）,
4、2、几种常用的离散型分布,设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p,用 X 表示在 n 次试验中事件A发生的次数，则,（1）、二项分布,若一个随机变量 X 的概率分布律是：,称这样的随机变量 X 服从二项分布,记为X B(n , p),用 X表示 n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数，则 X 服从二项分布 B( n , p)，其中 p 是事件A在一次试验中发生的概率。,例4 医生对 5 人作某疫苗接种试验，已知对试验呈阳性的概率为 p=0.45，且各人的反应相互独立，若以 X 记反应为阳性的人数。 （1）写出 X 的分布律； （2）求恰有 3 人反应为阳性的概率； （3）求至少有 2 人反
5、应为阳性的概率。,解,观察一个人对接种疫苗的反应看成是一次试验。,用X表示5次这样的试验中反应为阳性的人数。,(1),由于 X B(5 , 0.45),（2）恰有 3 人反应为阳性的概率。,至少有 2 人反应为阳性的概率,例4 （3）求至少有 2 人反应为阳性的概率。,X B(5 , 0.45),(2)、泊松分布,若随机变量 X 的概率分布为：,称 X 服从泊松分布，记为 X P(),例5 设随机变量 X 服从参数是 的泊松分布，且已知 ，求 。,解：,由于 XP()，,且,则,解得 =2,所以,解：,由于 XP(10)，,所求概率为,P105 14,三、连续型随机变量,若随机变量 X ，存在
6、非负函数 f (x) ，有,1、连续型随机变量及其分布密度,则称 X 为连续型随机变量，称函数 f (x) 为 X 的概率密度函数 ，简称概率密度或密度函数。,密度函数 f (x) 的性质：,概率的计算,作为连续型随机变量 X 注意如下特性：,例1 设随机变量 X 有概率密度,则称 X 服从区间a，b 上的均匀分布（常用分布）， 试求常数A。,解 由密度函数的性质可得：,例2 设随机变量 X 的概率密度为,求（1）.系数 A ；（2）. P(-2 X 3),解（1）,（2）,P114 1;7(机),2、正态分布,若随机变量 X 的概率密度为：,则称随机变量 X 服从正态分布，记为 X N( ，
7、2 ),特别地，若随机变量 X 的概率密度为,则称 X 服从标准正态分布，记为 X N( 0，1 ),例3 设随机变量 X N(3 , 42) ，求：,解 （1）,例3 设随机变量 X N(3 , 42) ，求：,P115 10(机),四、随机变量的数字特征,1、数学期望,例 设有10个学生的某考试成绩分别是66，76，80，92， 80，52，80，76，80，92。则他们的 平均成绩为：,（1）、离散型随机变量的数学期望,现在我们把每一个同学的成绩分别写在10个相同的球上，这样就得到10个带有数字的球。,我们做随机试验：在这10个写有数字的球中，随机地任取一个球，用X表示所取得的球上的数字
8、，则 X是一个离散型随机变量。,由数据 66，76，80，92，80，52，80，76，80，92,观察：,且X是个离散型随机变量，其概率分布律为：,52,66,76,80,92,平均成绩为：,设离散型随机变量 X的概率分布为：,定义：离散型随机变量 X 的数学期望,EX 就是 X 的平均值,例1：离散型随机变量 X 的概率分布是：,求它的数学期望EX.,解：,X P,例2：设想有这样一种博彩游戏，博彩者将本金 1 元压注在 1 到 6 的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字出现 n 次（n=1，2，3），则博彩者赢 n 元，否则没收 1 元本金，试问这样的游戏规则对博彩者是否公平？,解：
9、设 1 元本金所带来的赢利为 X 元，,则 X 的分布为：,-1,1,2,3,平均赢利为 EX,（2）、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量 X 的概率密度函数为,定义：连续型随机变量 的数学期望,EX 就是 X 的平均值,例3：设随机变量 X 的概率密度是,（2）. 求 X 落在（-1，1）内的概率；,（3）. 求 X 的数学期望E(X) 。,（1）. 求常数C；,解：,由概率密度函数与概率的关系可得：,例3：设随机变量 X 的概率密度是,（2）.求 X 落在（-1，1）内的概率；,由数学期望的定义可知：,例3：设随机变量 X 的概率密度是,（3）.求 X的数学期望 E(X) 。,设随
10、机变量 X 服从正态分布,其数学期望,P123 1(第一问) 7(1),（3）数学期望的性质,性质1、E(C)=C,性质2、E(aX+b)=aE(X)+b,例4 设随机变量X的分布律为,求 E(X)，E(3X+2).,解,P123 1(第3问),2、方差,（1）定义：设 X 是一个随机变量，若 EX-E(X)2 存在，则称 EX-E(X)2 为 X 的方差，记为 D(X)。,（2）计算(只要求连续型),设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x )：,例5 设 X 在 a , b 上服从均匀分布，求D X.,解,随机变量 X 的密度函数为：,例5 设 X 在 a , b 上服从均匀分布，求D X.,设 X 服从正态分布 N( , 2 )，,其方差,（3）方差的性质,性质1、D(C)=0,性质2、D(aX+b)=a2 D(X),P123 7(2),