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1、2 含参量反常积分,一致收敛性及其判别法 含参量反常积分的性质,一、一致收敛性及其判别法,都收敛，由反常积分收敛的定义，即,其中 N 与 x 有关. 如果存在一个与,无关的,使得该不等式成立，就称,反常积分在区间 a, b 上一致收敛,设反常积分,在 a, b 收敛,使得,所以上述定义中的不等式,由于,也可表示为,分析,要证：,证,令 u = x y , 得,其中 A 0.,由于,收敛，故,就有,取,则当,对一切,有,从而,所以,一致收敛.,证,因为，有,并且反常积分,收敛,所以,证明含参量反常积分,在 上一致收敛 .,狄利克雷判别法,设, 存在 M 0, 对一切 N c , 及一切 x a,
2、 b ,都有, 对每一个固定的 x a, b ，函数 g ( x, y ) 关于 y,单调递减且当,时，对参量 x , g ( x, y ) 一致,地收敛于 0 ，,则,在 a, b 上一致收敛.,阿贝尔判别法,设, 对每一个固定的 x a, b ，函数 g ( x, y ) 为 y,的单调函数，且存在 M 0, 使得,则,在 a, b 上一致收敛.,在 a, b 上一致收敛.,证,因为，反常积分,收敛，,从而对于参量 y 它在 0, d 上一致收敛，,函数,对每个 x 0, d ，关于参量 y,单调减少，且在 0, d 上一致有界：,故由阿贝尔判别法，知,在 0, d 上一致收敛,定理 19
3、.9（连续性） 设,二、含参量反常积分的性质,在,连续，若,证,在,连续，,因为,由定理19.8，对任一递增且趋于,的数列,函数项级数,在 a, b 上一致收敛.,又由于,故每个 un( x ) 都在 a, b 上连续.,根据函数项,级数的连续性定理，函数,积分号下求导的定理,即:,可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算,可以交换.即,例 5 利用积分号下求导求积分,解 因为,因为,故,由数学归纳法易证,于是,积分顺序交换定理,积分,与,中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且,例4 计算积分,解,含参量无界函数非正常积分,设,在,上有定义. 若对 x 的,某些值，y = d 为函数,的瑕点，则称,为含参量 x 的无界函数反常积分，或简称为含参,量反常积分.,