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1、三.函数的周期性,函数的周期性 如果函数yf(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(xT)f(x) 恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期. 一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(kN)也是f(x)的周期.,例1 已知函数f ( x )，对任意实数x，有下面四个关系式成立： （1）f ( x ) =f (x+a)（a为非零常数）； （2）f ( x ) = f (ax)（a为非零常数）； （3）f (ax) = f (bx)（a,b为常数且a2 + b20）,【例题讲解】,（4）f (ax) =f (bx)(a,b为常数且a2+b20） 其中使f
2、( x )是周期函数的关系式是_,【解】考查（1），f ( x )=f (x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等： f ( x )=f (x+a) = f (x+2a) 等式（1）使f ( x )是周期函数， 且2a是周期；,考查（2），f ( x )=f (ax)表明函数f ( x )的图像关于直线 对称，这不一定能使其为周期函数； 考查（3），f (ax)= f (bx)表明自变数相差ab时， 函数值相等， 即 f ( x ) = f (ab+x) 等式（3）使f (x)是周期函数，且ab是周期,考查（4），f (ax) =f (bx)表明自变数相
3、差ab时，函数值互为相反数，于是相差2（ab）时，函数值相等故（4）同（1），能使 f ( x )为周期函数，且 2（ab）是周期 综上所述，应填（1），（3），（4）,例2 f ( x )是R上的以2为周期的周期函数，又是奇函数，且x(0，1)时， 则f ( x ) 在（1，2）上 （A）是增函数，且f ( x )0 （B）是减函数，且f ( x )0 （C）是增函数，且f ( x )0 （D）是减函数，且f ( x )0,【讲解】认识f ( x )在（1，2）上的性质，可以把f ( x )在（1，2）上的解析式求出来，或者由f ( x )的性质去推断：,例3.已知函数f(x)对任意实数x,
4、都有f(xm)f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.,证明：因为f(xm)f(x) 所以，f(x2m)f(xm)m f(xm) f(x) 所以f(x)是以2m为周期的周期函数.,例4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期.,证明：因为f(xm)f(xm) 令xmt，则xmt2m 于是f(t2m)f(t)对于tR恒成立， 所以f(x)是以2m为周期的周期函数.,例5.已知函数f(x)对任意实数x,都有 f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期.,证明：由已知f(x2m)f(xm)m,f(x) 所以f(x)是以2m为周期的周期函数.,例6.已
5、知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm) ,求证:4m是f(x)的一个周期.,证明：由已知f(x2m)f(xm)m,于是f(x4m) f(x),所以f(x)是以4m为周期的周期函数.,例7.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx), 求证:2|ab|是f(x)的一个周期.(ab),证明：不妨设ab 于是f(x2(ab)f(a(xa2b) f(a(xa2b)f(2bx) f(b(xb)f(b(xb) f(x) 2(ab)是f(x)的一个周期 当ab时同理可得 所以，2|ab|是f(x)的周期,例8.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)
6、f(x1)f(x1) 若f(0)2004，求f(2004),解：因为f(x)f(x1)f(x1) 所以f(x1)f(x)f(x2) 两式相加得0f(x1)f(x2) 即：f(x3)f(x) f(x6)f(x) f(x)是以6为周期的周期函数 20046334 f(2004)f(0)2004,例9 f (x)是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f (x+2)f (x)，且x0，1时，f (x)x，则f (x)在R上的解析式为 ,【解】 f (x+2)f (x)， f (x+4)f (x+2)f (x)， f (x)是周期函数，4是周期 f (x)f (x) f (x+2)f (x)， f (x)
7、的图像关于x1对称， 由上述这些性质，及x0，1时，y=x， 得知f (x)的图像如下：,其中斜率为1的线段过点（4m，0）， 其中斜率为1的线段过 点（4m+2，0）,故解析式为,例10.已知对于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0 求证：f(x)是偶函数； 若存在正整数m使得f(m)0，求满足f(xT)f(x)的一个T值(T0),证明：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去) 又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x) 所以，f(x)为偶函数 令axm，bm 得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0 所以f(x2m)f(x) 于是f(x4m)f(x
8、2m)2m =f(x2m) f(x) 即T4m(周期函数),例11.数列an中，a1a，a2b， 且an2an1an(nN) 求a100； 求S100.,解：由已知a1a，a2b， 所以a3ba，a4a，a5b，a6ab， a7a，a8b， 由此可知，an是以6为周期的周期数列， 于是a100a6164a4a 又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a),例12.对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(2)=2,试求满足f(a)a的所有整数a.,
9、解：令xy0，得f(0)1 再令xy1，得f(2)2f(1)2，又f(2)2 所以f(1)2 又令x1，y1，可得f1 令xy1得f2f114 令y1，得f(x1)f(x)x2 即f(x1)f(x)x2 ,当x取任意正整数时，f(x1)f(x)0 又f10所以f(x)0 于是f(x1)f(x)x2x1 即对任意大于1的正整数t，f(t)t 在中，令x3，得f(3)1， 进一步可得f(4)1,注意到f(x)f(x1)(x2) 所以当x4时，f(x)f(x1)0 即f(x)f(x1)f(x2)f(4)1 所以x4时，f(x)x 综上所述，满足f(a)a的整数只有a1或a2,(2),于是f(x1)f
10、(x)f(x2)f(x1)， 记这个差为d 同理f(x3)f(x2)f(x2)f(x1)d f(xn1)f(xn)f(xn)f(xn1) f(x1)f(x)d,即是说数列f(xn)是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列 因此f(xn)f(x)ndf(x)nf(x1)f(x)对所有的自然数n成立，而对于xR，|f(x)|1，即f(x)有界，故只有f(x1)f(x)0 即f(x1)f(x) xR 所以f(x)是周期为1的周期函数.,例14 设 f (x)的定义域为R，其图像关于直线 x2 和 x0对称，且x4，6时， f ( x )2 x + 1，那么在区间2，0上，f 1( x )的解析式为
11、 （A）ylog2(x4) （B）y4log2(x1) （C）y4+log2(x1) （D）ylog2(x1),【解】yf (x)的图像关于x0 对称， f ( x )f (x)， yf (x)的图像关于x2对称， f (x)f (4+x) 于是有f ( x )f (4+x) f ( x )是周期为4的函数， 当2x0时， 0x2且x + 44，6, yf (x)的图像关于x0对称， f (x)f (x) 周期为4， f (x)f (x+4)2x+4 +1 即在 2，0上，yf (x)2x+4 +1 2x+4y1 x+4log2(y1) x4log2(y1) 2，0 上，f (x)4log2(
12、x1) 应选（B）,1.数列an中，a1a，a2b，且 an2an1an(nN) 求a100；求S100. 解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a， a5b，a6ab，a7a，a8b， 由此可知，an是以6为周期的周期数列， 于是a100a6164a4a 又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a) 2ba,2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1) 若f(0)2004，求f(2004) 解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以f(x
13、1)f(x)f(x2) 两式相加得0f(x1)f(x2) 即：f(x3)f(x) f(x6)f(x),练习.1.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN) 求a100；求S100.,2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1) ,f(0)2004，求f(2004),3.函数f(x) 是定义域为R且以2为周期的周期函数，当x0,2时，f(x)=|x-1|； 当x2k,2k+2( kZ)时，求f(x)的解析式，并证明f(x)是偶函数。,例15 已知 ，函数g(x)的图像与函数yf 1(x+1)的图像关于直线 yx 对称，则 g ( 5 ) ,【分
14、析】很明显，g(x)是f 1(x+1)的反函数只要求出f 1(x+1)的反函数解析式，就得到g ( x )，不难得到g ( 5 ) f 1(x+1)的反函数不是f (x+1)，为什么？看了下面的解法，应当能回答出来,【解法2】yf (x)和f 1(x)的图像关于xy对称，当f 1(x)沿x轴负方向平移1个单位时，“镜子” yx另一侧的“像” f (x)沿y轴负方向平移1个单位，于是 f 1(x+1)和f (x)1互为反函数 即g (x)f (x)1，下略,练习1已知函数 ，函数y=g(x) 的图像与y=f -1(x+1)的图像关于直线y=x对称，则 g(11)的值为： A B1 C D,2已知
15、定义在R上的函数f(x)的反函数为f -1(x)，且函数y=f(x+1)的反函数为y= f -1(x+1)。若f(1)=3999求f(2000),3.对于任意的 ,函数f(x)表示 x2-4x+3中的较大者,则求函数f(x)的解析式及f(x)的最小值. (f(x)min=2),例16 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2 ， ，an ，共n个数据我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小依此规定，从 a1，a2 ， ，an 推出的a=_,【讲解】 用谁做为这个物理量的近似值效果最佳？ 依题意，这个最佳近
16、似值a，应当使函数 y(xa1)2+(xa2)2+ +(xan)2 取最小值,【讲解】首先要统一变元，由于有正弦一次项，故cos2x 要化为1sin2x，若再设tsinx，则y2t2 +2mt + m24m+1，t1，1 问题转化为求闭区间1，1上的一个二次函数的最值问题 这类问题首先要讨论对称轴与闭区间的相对位置,（1）0m2时， ,当0m2时， ， 这时， m0， 取得最大值时， ，kZ,（2）2m0时， ,当2m0时， 这时， m0， 取得最大值时， ，kZ ,（3）m2 时， ,当m2 时， 这时，函数在 1，1 上递减， m2 + 4m40,解之， , 且 ， 取最大值时， ，kZ
17、,例18 已知f (x)=x2+ax+b (a，bR)的定义域为1，1 () 记| f (x)|的最大值M，求证： ； () 求出()中的 时，f (x)的表达式,【讲解】 已知条件是 x1，1 且| f (x)|M 像这样在一个区间上的所有各点都 满足的性质，在各特殊点上依然成立 即 | f (1)|1+a+b|M | f (0)|b|M | f (1)|1a+b|M,接下来就要考虑由形如M|m|的三个不等式能否构造出常数 ？或者构造出4M2 ？这自然想到绝对值不等式的性质： | x1|+| x2| + +| xn | x1+ x2+ +xn | 于是，能否巧妙安排x1, x2, x3, x4使其和为2 ？ 另一个思路是, 反证法, 即若M , 由三个不等式能否导出矛盾？,()【证法1】依题意x1，1时， 总有| f (x) |M，因此有 | f (1) |1 + a + b| M 2 | f (0)|2b|2b|2M | f (1) |1a + b|M 相加得 |1 + a + b| + |2b| + |1a + b|4M, |(1 + a + b) +(2b) +(1a + b)| |1 + a + b| + |2b| + |1a + b| 24M 即 M,由 + 得 12 + 2b1 即 与矛盾 故 不能成立因此， ,由，知， 把 代入 ， 得 a0 ， ,再见,