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1、优秀精品课件文档资料,第6章 信号的矢量空间分析,信号矢量空间的基本概念； 信号的正交函数分解； 相关； 能量谱和功率谱； 信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析 相关、正交概念的应用：匹配滤波器，CDMA,6.1 信号矢量空间的基本概念,线性空间 范数 内积 柯西施瓦茨不等式,一线性空间,现代信号分析理论要借助于泛函分析等数学工具；,泛函分析中，一个重要概念是函数空间，即由函数构成的集合，并在集合上赋予各种代数、拓扑结构.,线性空间： 设X为一非空集合，若在X中规定了元素的加法和元素的数乘运算，并满足相应的结合律及分配律，则称X为一线性空间。,(1) N维实数空间R N,R N 空
2、间的元素 x 由 N 个有序的实数组成,x与元素 y=(y1, y2, , yN)T 相加及与a数乘定义为,如果上述定义中实数改为复数，则构成复数空间CN,(2) 连续函数空间 L,在区间a,b上全部连续函数的集合构成该空间。,各函数的相加和倍乘定义为,(x+y)(t)=x(t)+y(t), tR,(ax)(t)=a x(t), tR,二范数、线性赋范空间,范数是矢量长度概念的推广，是矢量自身的重要的属性.,设X为一线性空间，若对于任意xX，有一个确定的非负实数|x|与它对应，并满足,(1) xX，|x|0，当且仅当x=0，|x|=0,(2) xX 及aR ，|ax|=|a|x|,(3) |x
3、+y|x|+|y|,则称|x|为X的范数，X为线性赋范空间。,完备的线性赋范空间称为Benach空间。,1. RN与CN空间的范数,令 p 为实数，1p，在 RN 或 CN 空间元素x=(x1,x2, , xN) 的 p 阶范数定义为,最常用的范数为|1 ，|2 ，|,对于xC2， 给定x=(1,j)，则其范数为,例,在R2或R3中，二阶范数的物理意义是矢量的长度； |x|2也称为欧氏范数或欧氏距。,2. 连续/离散时间信号空间 L/ l 空间中的范数,(1)连续时间信号空间 L中，元素x的p阶范数|x|p的定义,对于定义在闭区间内的信号， sup表示其幅度值。,(2)离散时间信号空间 l 中
4、，元素x的p阶范数|x|p的定义,x(t)的上确界,1-范数表示 信号作用的强度,1-范数,2-范数的平方表示信号的能量,2-范数,-范数,定义在闭区间的x，|x| 表示信号的峰值,即信号幅度,U或I在单位电阻上消耗的能量,三内积,直角坐标平面内两矢量相对位置关系,内积的概念反映了元素之间的关系，在时域信号 中则反映了信号之间的相互关系，如正交、 相关; 完备的内积空间称为Hilbert空间。,先由二维矢量空间引入内积的概念,或,推广之，多维,上式表明：给定了的矢量长度，标量乘积式反映了 两矢量之间相对位置的“校准”情况。,二维矢量空间的内积(点积)运算,实内积空间,设RN为实线性空间，如果对
5、于RN中的任意x,yRN，均有一实数 x,y与之对应, 满足以下公理,则x,y称为x与y的内积，R称为实内积空间(欧氏空间),(2) x,y =y,x， 交换律,(1) x,x0, 当且仅当 x=0 时， x,x=0,自内积正定性,(3) x,y =x,y，为任意实数 齐性,(4) x+y,z =x,z+ y,z，zC(R) 分配律,N维实线性空间，定义为,复内积空间,设CN 为复线性空间，如果对于CN中的任意x,yCN，均有一复数 x,y与之对应, 满足以下公理,则x,y称为x与y的内积，C称为复内积空间 (酉空间),(2) x,y =y,x*， 共轭交换律,(1) x,x0, 当且仅当 x
6、=0 时， x,x=0,自内积正定性,(3) x,y =x,y，为任意复数 齐性,(4) x+y,z =x,z+ y,z，zC(R) 分配律,N维复线性空间，定义为,信号空间L/l 内的两连续/离散信号的内积,对于L/ l空间，信号x与其自身的内积运算,连续/离散函数空间的内积,四、Cauchy-Schwarz不等式,Cauchy-Schwarz不等式,所以,对于一般情况的证明见教材p323.,6.2 信号的正交函数分解,矢量的正交分解 正交函数 正交函数集 复变函数的正交特性,怎样分解，能得到最小的误差分量？,方式不是唯一的：,一矢量的正交分解,当 =0，c12 = 1, V1、V2 完全重
7、合； 随 增大，c12 减小； 当 =90，c12= 0 ，V1和V2垂直。,c12表示V1 和V2 互相接近的程度,利用二维矢量空间较直观的概念引出正交函数和正交函数族的定义,正交分解,空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。,平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。,一个三维空间矢量 ，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：,三维正交集,二维正交集,假设在区间 (t1,t2) 内用函数 f2(t) 近似表示 f1(t),方均误差,二、正交函数,分解原则：方均误差最小，即误差信号功率(能量)最小,交换微分与积分次序,此项为零,解得,若c12为零，则f1(t)不包含f
8、2(t)的分量，称f1(t)、 f2(t)为正交。,正交条件,试用sint 在区间 (0, 2) 近似表示 f(t)，使方均误差最小。,例6-1,解：,即,试用正弦信号sint 在(0,2)区间内来表示余弦信号cost,所以,说明cost 中不包含 sint 分量，因此cost 和 sint 正交.,显然,例6-2,解,例6-3,用正弦波逼近三角函数,所以,解,n个函数 g1(t),g2(t),gn(t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2) 内满足正交特性，即,则此函数集称为正交函数集。,归一化正交函数集：,三、 正交函数集(orthogonal function set),orthon
9、ormal set,规格化正交函数集,任意函数由正交函数集的线性组合近似,方均误差,注意到 gi(t) 交叉项的积分为零, 交换微积分次序, 得到,分解原则是误差函数方均值最小,或,将ci 代回 表示式，得到最佳近似条件下的方均误差,四、复变函数的正交特性 (orthogonality in complex signals),两周期信号在同一周期(区间)内正交的条件是c12=0，即：,总结,两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。,对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满足正交。,6.3 完备正交函数集、 帕塞瓦尔定理,完备正交函数集 帕塞瓦尔定理,如果用正交函数集gi(t)
10、(i=1,2,n)在区间(t1, t2)近似表示f(t),方均误差,若 ，此函数集称为完备(complete)正交函数集.,称为广义傅立叶级数展开,一完备正交函数集,(generalized Fourier series）,在正交集gi(t)(i=1,2,n)之外，不存在函数x(t),则称gi(t)为完备的正交函数集。,完备的正交函数集的另一种定义,二帕塞瓦尔定理(Parsevals theorem),物理意义： 一个信号所含有的能量(功率)恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量(功率)之和。,信号的能量,基底信号的能量,各信号分量的能量,数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。,当Kr=1时，,三角函数集,虚指数函数集,勒让德多项式,Pn(x)(n=0,1,2,)在(-1,1)内构成完备的正交函数集。,Walsh函数,完备的正交函数集,二值函数,常用的正交函数集,