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1、因式分解 1 提公因式法,整式的乘法,计算下列各式: x(x+1)= (x+1)(x1)=,x2 + x,x21,请把下列多项式写成整式的乘积的形式: (1)x2+x =_ (2)x21=_,x(x+1),(x+1)(x-1),上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.,整式的乘法与因式分解有什么关系？,x2-1,因式分解,整式乘法,(x+1)(x-1),因式分解与整式乘法是方向相反的变形.,例2、下列各式由左边到右边的变形,哪些是因式分解,哪些不是?,a2-1=(a+1)(a-1） (a+1)(a-1) = a2-1 (3
2、) (4) ab+ac+d=a(b+c)+d,不是,是,不是,不是,把一个多项式写成几个整式的积的形式,观察多项式ab+ac+ad的每一项， 你有什么发现吗？,a是多项式ab+ac+ad各项都含有的因式。,一个多项式各项都含有的因式，称为这个多项式各项的公因式。,例如a就是多项式ab+ac+ad各项的 公因式,例1、下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试找出公因式。 (1) 6a+8b (2) ab-ac (3) m3n2+m2n5 (4) 2x2-6x3 (5) ab+bc-cd,a,m2n2,2x2,2,思考:如何找多项式的公因式?,没有,公因式:,(1)系数:取各项系数的最大公约数,(
3、2)字母:取各项相同的字母,(3)指数:取各项相同字母指数最低的次数,找出下列多项式各项的公因式 （1）9abc-6a2b2+12abc2 （2）3an+1-6an+9an-1 （3）14(n+m)2-35(n+m)3,3ab,3an-1,7(n+m)2,写出下列多项式各项的公因式. （1）ma+mb （2）4kx8ky （3）5y3+20y2 （4）a2b2ab2+ab,m,4k,5y2,ab,一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.,例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式,分析：找公因
4、式,1.系数的最大公约数 4,2.找相同字母 a,3.相同字母的最低指数 a1b2,公因式为：4ab2,解：原式 =4ab22a2+4ab23bc =4ab2(2a2+3bc),（2）把6a3b-9a2b2c+3a2b分解因式,解： 6a3b-9a2b2c+3a2b =3a2b.2a-3a2b.3bc+3a2b.1 =3a2b（2a-3bc+1）,注意：1、如果提取公因式与多项式中 的某一项相同，那么提取后多项式中的 这一项剩下“1”结果中的“1”不能漏写,2、多项式有几项，提取公因式后 另一项也有几项。,（3）把 -8a2b2+4a2b-2ab分解因式,解： -8a2b2+4a2b-2ab
5、= -（8a2b2-4a2b+2ab） = -（2ab.4ab-2ab.2a+2ab.1） = -2ab（4ab-2a+1）,当多项式第一项的系数是负数时，通常 把负号作为公因式的负号写在括号外， 使括号内第一项的系数化为正数，在提 出负号时，多项式的各项都要变号！,解：原式 =(x3)(a+2b),例2：把a（x3）+2b（x3）分解因式,分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x3)与2b(x3)，每项中都含有（x3）,因此可以把(x3)作为公因式提出来.,把下列各式分解因式: 1. a（xy）+b（yx）,分析：虽然a（xy)与b(yx)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（xy)与
6、(yx）互为相反数，如果把其中一个提取一个“”号，则可以出现公因式，如：yx=（xy）,解：原式 = a（xy）b（xy） =（xy）（ab）,解：原式 = 6（mn）312（mn）2 =6（mn）312（mn）2 =6（mn）2（mn2）,2. 6（mn）312（nm）2,请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“”号，使等式成立: （1）2a=_（a2） （2）yx= _（xy） （3）b+a=_（a+b） （4）（ba）2=_（ab）2 （5）mn=_（m+n） （6）s2+t2=_（s2t2）,-,+,+,把下列各式分解因式 （1）8x72 （2）a2b5ab （3）4m36m2 （4
7、）a2b5ab+9b （5）a2+abac,=8（x9）,=ab（a5）,=2m2（2m3）,=b（a25a+9）,=（a2ab+ac） =a（ab+c）,用提公因式法把下列各式分解因式 （1）6a3b-9a2b2c （2）6x3y-18xy2-3xy （3）-2m3+8m2-12m,步骤: (1)找公因式; (2)分解; (3)提公因式,写成积.,4、把下列各式分解因式 （1）3a(x+y)-2b(y+x) （2）2x(m-n)+4y(n-m) （3）(x-y)3x+(y-x)3y （4）(3x-y)(3x+y)-(2x+5y)(y-3x),归纳小结,1、(1)多项式中每一项都含有的因式，叫
8、做这个多项式各项的公因式. (2) 把多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式的因式分解(也叫做把这个多项式的分解因式) 特点:整式的乘法的运算过程与因式分解的运算过程互逆 。,(3)如果多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提出来.把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。,2、方法规律： 一个多项式各项的公因式： (1) 各项整数系数的最大公约数； (2)各项相同的字母且相同因式的指数取最低。,3、方法技巧： 用提公因式法分解因式的一 般步骤： a、确定公因式 b、把多项式的各项分成公因式与另一因式的乘积的形式 c、提取公因式,得到公因式与另一个多项式的积的形式,