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1、在没有舍入误差的情况下，经过有限次 运算可以得到方程组的精确解的方法。,第六章 线性方程组的数值解法 /*Numerical Method for Solving Linear Systems*/,求解,Cramer法则:,所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n,n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！,直接法,6.2.1 Gauss消元法/*Gaussian Elimination Method*/,一、 基本Gauss消去法,思想,通过初等变换逐步消去未知元，将 原方程组化为同解的三角方程组。,三角（系数矩阵）方程组易于求解,Step 1第一列消元过程：消去第一个方程以下各
2、个方程的变量x1,Step 2第2列消元过程：消去第2个方程以下各个方程的变量x2,Step k：第k步消元过程的计算公式,上三角矩阵,经过n-1次消元，原方程组化为等价的上三角方程组,回代过程的计算公式：,等价方程组,例5：用基本Gauss消元法求解下列方程组,解：,将第一个方程的x1的系数化为1，消去其它方程中的x1,将第二个方程的x2的系数化为1，消去其它方程中的x2,回代，得,基本Gauss消元法的工作量,消元过程：,回代过程：,加减法的次数,乘除法的次数,顺序主子式,对于mn阶矩阵A,由A的即在前k（ ）行又在前k列的k2个元素，保持在矩阵A中的相对位置而组成的矩阵，称为矩阵A的k阶
3、主子矩阵，其对应的行列式称为A的k阶顺序主子式。,基本Gauss消元法的实现条件,小主元 可能导致计算失败,8个,解：,二、列主元消去法/* Column Pivoting Strategies*/,思想,每次消元之前，在剩余元素中选择绝对值最大的 非零元素作为主元， 然后经过换行换到主元位置,列主元消去法/* Column Pivoting Strategies */,Step k：第k步首先选择主元,寻求 满足,然后交换矩阵 的第 行和 行，再进行消元过程,算法: Gauss列主元消去算法 求方程组AX=B 的解. 输入:增广矩阵An(n+1)=（A|B）. 输出: 近似解 xk=ak,n+1(k=1,2,n) 或失败信息. 消元过程 for k = 1,2,n-1 do Step 1 - Step 4 Step 1 寻找行号 l , 使得 Step 2 如果 ，则交换第k行和l行； 否则转Step 7,算法: Gauss列主元消去算法（续） Step 3 for i=k+1,n 计算 Step 4 for j=k+1,n+1 计算 回代过程 Step 5 Step 6 for i=n-1,1 计算 Step 7 Output (系数矩阵奇异); /*不成功 */ STOP.,例7：用Gauss列主元消去法求解下列方程组,解：,首先写出增广矩阵,Step 1,Step 2,