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1、第18讲 直角三角形【知识梳理】（一）直角三角形的性质1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2=c2。2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3. 直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。（二）直角三角形的判定1.在一个三角形中，有一个角是直角的三角形是直角三角形。2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。3.在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。【考点解析】考点一：直角三角形的性质【例1】（2017湖南株洲）如图示在ABC中B=25【考点】KN：直
2、角三角形的性质【分析】由直角三角形的两个锐角互余即可得出答案【解答】解：C=90，B=90A=9065=25；故答案为：25考点二、直角三角形的判定【例2】在ABC中，AB10，AC2，BC边上的高AD6，则另一边BC等于( )A10B8C6或10D8或10【知识点】勾股定理、分类讨论思想【答案】C.【解析】在图中，由勾股定理，得BD8;CD2;BCBDCD8210. 在图中，由勾股定理，得BD8;CD2;BCBDCD826.故选择C.【点拨】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长.【中考热点】（2017宁夏）在ABC中，A
3、B=6，点D是AB的中点，过点D作DEBC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM当AMBM时，则BC的长为8【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可【解答】解：AMBM，点D是AB的中点，DM=AC=3，ME=DM，ME=1，DE=DM+ME=4，D是AB的中点，DEBC，BC=2DE=8，故答案为：8【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键【达标检测】1. （2017湖南岳阳）如图，点P是NOM的边OM上一点，PDON于点D，OPD=30，PQON，则MPQ的度数是60【分析】
4、根据直角三角形的内角和，求得O，再根据平行线的性质，即可得到MPQ【解答】解：PDON于点D，OPD=30，RtOPD中，O=60，又PQON，MPQ=O=60，故答案为：60【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等2. 如图，在ABC中，ABC=90，AB=8，BC=6若DE是ABC的中位线，延长DE交ABC的外角ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A7 B8 C9 D10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DFBM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题【解答】解：在RTAB
5、C中，ABC=90，AB=8，BC=6，AC=10，DE是ABC的中位线，DFBM，DE=BC=3，EFC=FCM，FCE=FCM，EFC=ECF，EC=EF=AC=5，DF=DE+EF=3+5=8故选B3. 如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A5 B6 C8 D10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质【分析】根据等腰三角形的性质得到ADBC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：AB=AC，AD是BAC的平分线，ADBC，BD=CD，AB=5，AD=3，BD=4，BC=2BD=8，故选C4. 如图，在ABC中，ACB=90，M、N
6、分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN若AB=6，则DN=3【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MNBC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可【解答】解：连接CM，M、N分别是AB、AC的中点，NM=CB，MNBC，又CD=BD，MN=CD，又MNBC，四边形DCMN是平行四边形，DN=CM，ACB=90，M是AB的中点，CM=AB=3，DN=3，故答案为：35. （2017宁夏）在ABC中，AB=6，点D
7、是AB的中点，过点D作DEBC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM当AMBM时，则BC的长为8【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可【解答】解：AMBM，点D是AB的中点，DM=AC=3，ME=DM，ME=1，DE=DM+ME=4，D是AB的中点，DEBC，BC=2DE=8，故答案为：8【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键6. （2017江苏盐城）如图，ABC是一块直角三角板，且C=90，A=30，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部（1）如图，当圆形纸片与两直角边A
8、C、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长【考点】O4：轨迹；MC：切线的性质；N3：作图复杂作图【分析】（1）作ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；（2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为，先求出ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出OO1O2=60=ABC、O1OO2=90，从而知OO1O2CBA，利用相
9、似三角形的性质即可得出答案【解答】解：（1）如图所示，射线OC即为所求；（2）如图，圆心O的运动路径长为，过点O1作O1DBC、O1FAC、O1GAB，垂足分别为点D、F、G，过点O作OEBC，垂足为点E，连接O2B，过点O2作O2HAB，O2IAC，垂足分别为点H、I，在RtABC中，ACB=90、A=30，AC=9，AB=2BC=18，ABC=60，CABC=9+9+18=27+9，O1DBC、O1GAB，D、G为切点，BD=BG，在RtO1BD和RtO1BG中，O1BDO1BG（HL），O1BG=O1BD=30，在RtO1BD中，O1DB=90，O1BD=30，BD=2，OO1=922=72，O1D=OE=2，O1DBC，OEBC，O1DOE，且O1D=OE，四边形OEDO1为平行四边形，OED=90，四边形OEDO1为矩形，同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，又OE=OF，四边形OECF为正方形，O1GH=CDO1=90，ABC=60，GO1D=120，又FO1D=O2O1G=90，OO1O2=3609090=60=ABC，同理，O1OO2=90，OO1O2CBA，=，即=，=15+，即圆心O运动的路径长为15+9