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1、江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 设集合Ax|1x2，Bx|0x4，则AB_2. 函数yln(x2x2)的定义域是_3. 已知sin，且，则tan_4. 定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)2xx2，则f(1)f(0)f(3)_5. 函数ysinxcosx2(x0)的值域是_6. 等差数列an中，前n项和为Sn，若S48a1，a44a2，则S10_7. 设函数f(x)若f(a)f(1)，则实数a的取值范围是_8. 等比数列an的公比大于1，a5a115，a4a26，则a3_9
2、. 将函数ysin的图象向右平移个单位后，得到函数f(x)的图象，若函数f(x)是偶函数，则的值等于_10. 已知函数f(x)ax(a，bR，b0)的图象在点P(1，f(1)处的切线与直线x2y10垂直，且函数f(x)在区间上单调递增，则b的最大值等于_11. 已知f(m)(3m1)ab2m，当m0，1时，f(m)1恒成立，则ab的最大值是_12. ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若tanA2tanB，a2b2c，则c_13. 已知xy1，y0，x0，则的最小值为_14. 设f(x)和g(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f(x)g(x)0在区间I上恒成立，则称函数f(
3、x)和g(x)在区间I上单调性相反若函数f(x)x32ax与函数g(x)x22bx在开区间(a，b)(a0)上单调性相反，则ba的最大值等于_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知函数f(x)2cos(0)的最小正周期为2.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 设，且f()，求cos的值16.(本小题满分14分)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，且a1，a25，a3成等差数列(1) 求a1，a2的值；(2) 求证：数列an2n是等比数列，并求数列an的通项公式17. (本小题满分14分)已知
4、函数f(x)x22ax1.(1) 若函数g(x)logaf(x)a(a0，a1)的定义域是R，求实数a的取值范围；(2) 当x0时，恒有不等式lnx成立，求实数a的取值范围18. (本小题满分16分)如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元(其中a是正常数)设CDA，每批游客从各自
5、报名点到C岛所需运输成本为S元(1) 写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；(2) 问：中转点D距离A处多远时，S最小？19. (本小题满分16分)设函数f(x)x|x1|m，g(x)lnx.(1) 当m1时，求函数yf(x)在0，m上的最大值；(2) 记函数p(x)f(x)g(x)，若函数p(x)有零点，求实数m的取值范围20. (本小题满分16分)已知数列an的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，Sn是数列an的前n项和，a11，a22.(1) 若S516，a4a5，求a10；(2) 已知S1515a8，且对任意nN*，有anan1恒成立，求证：数列an是等差数
6、列；(3) 若d13d2(d10)，且存在正整数m，n(mn)，使得aman.求当d1最大时，数列an的通项公式(一)1. x|0x2解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识本题属于容易题2. (，1)(2，)解析：由x2x20，则x2或x0时，有2a42，则a1；当a0时，x32，则a1.所以实数a的取值范围是a1或a1. 本题主要考查分段函数，以及简单不等式的解法本题属于容易题8. 4解析：由a5a115，a4a26(q1)，得q2，a11，则a34. 本题主要考查等比数列通项公式本题属于容易题9. 解析：由函数ysin的图象向右平移个单位后，得到函数f(x)sin(2x2)的图象，函
7、数f(x)是偶函数，2k，而为锐角，则k1时.本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的奇偶性本题属于容易题10. 解析：函数f(x)ax(a，bR，b0)的图象在点P(1，f(1)处的切线斜率为2, f(1)2，得ab2，由函数f(x)在区间上单调递增，f(x)0在区间上恒成立，得b，又a2b，则b.本题主要考查导数的几何意义，导数在单调性中的运用以及恒成立问题本题属于中等题11. 解析：将已知条件变形f(m)m(3a2)ba，当3a20时，即a，则有ba1，即ba1，所以ab2a121；当3a20，即a时，函数f(m)在0，1上单调递增，f(m)maxf(1)3a2ba2ab21，则b
8、32a，所以aba32a3a；当3a20，即a时，函数f(m)在0，1上单调递减，f(m)maxf(0)ba1，则ba1，所以ab2a1.综上所述，ab的最大值为.本题主要考查在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题本题属于中等题12. 1解析：由tanA2tanB2，结合正、余弦定理转化为边的关系，有2，化简有a2b2c2，结合已知条件有c1.本题主要考查利用正、余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦本题属于中等题13. 解析：将xy1代入中，得，设t0，则原式(12t)12，当且仅当t时，即x，y时，取“”本题主要考查利用代数式变形，以及利用基本不等式求最值本题
9、属于难题14. 解析：因为g(x)x22bx在区间(a，b)上为单调增函数，所以f(x)x32ax在区间(a，b)上单调减，故x(a，b)，f(x)x22a0，即a，而ba，所以b(0，2)，bab(b1)2，当b1时，ba的最大值为.本题主要考查二次函数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题本题属于难题. 15. 解：(1) f(x)2cos2cos22cossin(1cosx)sinx(2分)2sin.(4分) 函数f(x)的最小正周期为2， 2，1.(6分) f(x)2sin.(7分)(2) 由f()，得sin. ， ， cos.(9分) coscoscoscossins
10、in(12分).(14分)16. (1) 解：由已知，得2a1a23，2(a1a2)a37.(2分)又a1，a25，a3成等差数列，所以a1a32a210.(3分)解，得a11，a25.(5分)(2) 证明：由已知，nN*时，2(Sn1Sn)an2an12n22n1，即an23an12n1，即an13an2n(n2)，(7分)由(1)得，a23a12， an13an2n(nN*)，(9分)从而有an12n13an2n2n13an32n3(an2n)(11分)又a120， an2n0， 3， 数列an2n是等比数列，且公比为3.(12分) an2n(a12)3n13n，即an3n2n.(14分)
11、注： 不说明a23a12，就得an13an2n(nN*)，扣1分； 仅由an12n13(an2n)，就得到数列an2n是等比数列，扣1分17. 解：(1) 由题意得，对任意xR，恒有f(x)a0，即恒有x22ax1a0，(2分)于是4a24(1a)0，(3分)即a2a10，解得a.(3分)因为a0，a1，所以实数a的取值范围是(0，1).(5分)(2) 当x0时，不等式lnx等价于x2alnx，即2axlnx，(7分)设g(x)xlnx，则g(x)1.(9分)令g(x)0，得x，当0x时，g(x)0，g(x)单调减，当x时，g(x)0，g(x)单调增，(11分)故当x时，g(x)mingln，
12、(13分)所以2aln，所以实数a的取值范围是.(14分)18. 解：(1) 由题知在ACD中，CAD，CDA，AC10，ACD.由正弦定理知，(2分)即CD，AD，(3分)所以S4aAD8aBD12aCD(12CD4AD80)aa80a(5分)60a.(6分)(2) S20a，(8分)令S0得cos，(10分)当cos时，S0；当cos时，S0，(12分)所以当cos时，S取得最小值，(13分)此时sin，AD5，(15分)所以中转点D距A处 km时，运输成本S最小(16分)19. 解：(1) 当x0，1时，f(x)x(1x)mx2xmm，当x时，f(x)maxm.(2分)当x(1，m时，f
13、(x)x(x1)mx2xmm，因为函数yf(x)在(1，m上单调递增，所以f(x)maxf(m)m2.(4分)由m2m得m2m0，又m1，所以m.(6分)所以当m时，f(x)maxm2；当1m时，f(x)maxm.(8分)(2) 函数p(x)有零点，即方程f(x)g(x)x|x1|lnxm0有解，即mlnxx|x1|有解令h(x)lnxx|x1|，当x(0，1时，h(x)x2xlnx.因为h(x)2x1210，(10分)所以函数h(x)在(0，1上是增函数，所以h(x)h(1)0.(11分)当x(1，)时，h(x)x2xlnx.因为h(x)2x10，(12分)所以函数h(x)在(1，)上是减函
14、数，所以h(x)h(1)0.(14分)所以方程mlnxx|x1|有解时m0.即函数p(x)有零点时实数m的取值范围是(，0(16分)20. (1) 解：由题意，得a11，a22，a3a1d11d1，a4a2d22d2，a5a3d112d1.(2分)因为S516，a4a5，所以a1a2a3a4a573d1d216，2d212d1.所以d12，d23，(4分)所以a1024d214.(5分)(2) 证明：当n为偶数时，因为anan1恒成立，即2d21d1，(d2d1)1d20恒成立，所以d2d10且d21.(7分)当n为奇数时，因为anan1恒成立，即1d12d2，(1n)(d1d2)20恒成立，所以d1d20，于是有d1d2.(9分)因为S1515a8，所以8d114d23045d2，所以d1d22，ann，所以数列an是等差数列(11分)(3) 解：若d13d2(d10)，且存在正整数m，n(mn)，使得aman，由题意得，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m为奇数，n为偶数因为aman，所以1d12d2.(13分)因为d13d2，所以d1.因为m为奇数，n为偶数，所以3mn1的最小正值为2，此时d13，d21.(15分)所以数列an的通项公式为an(16分)9