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1、江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 若全集为UR，Ax|x2x0，则UA_2. i为虚数单位，计算_3. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为_(第5题)4. 已知实数x，y满足则z2xy的最小值是_5. 阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是_6. 已知向量a(2，1)，b(1，0)，则|2ab|_7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)1log2x，则不等式f(x)0的解集是_8. 设b
2、，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题： 若b，c，则bc； 若b，bc，则c； 若c，则c； 若c，c，则.其中正确的命题是_(填序号)9. 以抛物线y24x的焦点为焦点，以直线yx为渐近线的双曲线标准方程为_10. 一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为 cm，则圆锥的体积是_ cm3.11. 函数yasin(ax)(a0，0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为_12. Sn是等差数列an的前n项和，若，则_13. 函数f(x)若关于x的方程f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为_14. 由sin36cos54，可求得cos2 01
3、6的值为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD中，PDPC，底面ABCD是直角梯形，ABBC，ABCD，CD2AB，点M是CD的中点求证：(1) AM平面PBC；(2) CDPA.16.(本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量m(ac，bc)，n(bc，a)，且mn.(1) 求B；(2) 若b，cos，求a.17. (本小题满分14分)如图，某工业园区是半径为10 km的圆形区域，离园区中心O点5 km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中
4、转站，公路AB把园区分成两个区域(1) 设中心O对公路AB的视角为，求的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值18. (本小题满分16分)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，左顶点为A(3，0)，圆心在原点的圆O与椭圆的内接AEF的三条边都相切(1) 求椭圆方程；(2) 求圆O方程；(3) B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系19. (本小题满分16分)已知数列an的各项都为自然数，前n项和为Sn，且存在整数，使
5、得对任意正整数n都有Sn(1)an恒成立(1) 求值，使得数列an为等差数列，并求数列an的通项公式；(2) 若数列an为等比数列，此时存在正整数k，当1kj时，有i2 016，求k.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)ax2(2a1)x2a1ex.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 设x0，2a3，m1，f(x)b2a1e恒成立，求正数b的范围(六)1. 0，1解析：UAx|x2x00，1本题考查集合补集的概念及一元二次不等式的解法，属于容易题2. i解析：i.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识，属于容易题3. 解析：由5只球中一次摸出2只球，共有10种摸法，摸到的2只
6、球颜色不同的摸法共有6种，则所求的概率为.本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容易题4. 1解析：作出可行域发现最优解为(1，1)，则目标函数z2xy的最小值为1.本题考查线性规划解决最值问题，属于容易题5. 240解析：n30时，S30；n28时，S3028；n26时，S302826；以此类推，n2时，S3028262240.本题考查流程图基础知识，关键是把握好每一次循环体的执行情况本题属于容易题6. 解析：2ab(3，2)，则|2ab|.本题考查向量的坐标运算，以及利用平方法求模. 本题属于容易题7. (2，0)(2，)解析：由x0时，f(x)1log2x，则作出图象，再由f(x)是定义
7、在R上的奇函数，利用对称性作出x0的图象，由图象可得不等式f(x)0的解集是(2，0)(2，) .本题考查函数的奇偶性，对数函数的图象变换本题属于容易题8. 解析：中b与c可以异面；中c可以在平面内；中c可以与平面平行. 本题考查线面平行、垂直的性质与判定，属于容易题9. 1解析：抛物线y24x的焦点为(1，0)，即c1；以直线yx为渐近线的双曲线标准方程设为1，则c21，得.双曲线标准方程为1.本题考查双曲线标准方程、焦点、渐近线等内容，属于容易题10. 3解析：由侧面积等于底面面积的2倍，得23R2，得R2，由勾股定理得圆锥的高为3，则圆锥的体积是333 cm3.本题考查圆锥的高、底面面积
8、、侧面积等内容，以及圆锥的体积公式本题属于容易题11. 2解析：函数的周期T为，则，最高点和其相邻最低点的距离为2 2.本题考查三角函数的周期、基本不等式求最值等内容本题属于中等题12. 解析：设Snkn(n1)，S2n2kn(2n1)4kn22kn符合题意，则a3S3S212k6k6k，a5S5S430k20k10k，则.本题考查等差数列求和公式特征，以及Sn与an之间的关系本题属于中等题13. (1，)解析：画图，y2kxk过定点(1，0)，找到临界(0.5，0.5)和(1，0)连线斜率与临界f(1)1.由图象知实数k的取值范围为(1，)本题考查了分段函数、函数的零点问题以及导数问题，利用
9、数形结合思想求参数范围本题属于难题14. 解析：cos2 016cos36，又sin36cos54，2sin18cos18cos184sin218cos18，4sin2182sin1810，sin18，则cos2 016cos362sin2181.本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式、以及利用二倍角公式推导三倍角公式：cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos21)cos2cossin22cos3cos(2cos2cos3)4cos33coscos4sin2cos.本题属于难题15. 证明：(1) 在直角梯形ABCD中，ABCD，CD2AB，点M是CD的中点，所以ABCM，
10、且ABCM，所以四边形ABCM是平行四边形，且是矩形(3分)所以AMBC.(4分)又BC平面PBC，AM是平面PBC外一条直线，(6分)故AM平面PBC.(7分)(2) 连结PM，因为PDPC，点M是CD的中点，所以CDPM.(8分)因为四边形ABCM是矩形，所以CDAM.(9分)又PM平面PAM，AM平面PAM，PMMAM，(11分)所以CD平面PAM.(12分)又AP平面PAM，所以CDPA.(14分)16. 解：(1) 因为mn，所以a2c2b2ac.(2分)因为cosB，B(0，)，(5分)故B.(6分)(2) 因为A，cos，(8分)所以sin，(9分)所以sinAsin.(11分)
11、在ABC中，由正弦定理可得，解得a1.(14分)17. 解：(1) 如图1，作OHAB，设垂足为H，记OHd，2AOH，(1分)图1因为cosAOH，要使有最小值，只需要d有最大值，结合图象可得dOP5 km，(3分)当且仅当ABOP时，dmax5 km.此时min2AOH2.(4分)设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S，根据题意可得Sf()S扇形SAOB50(sin)，(6分)f()50(1cos)0恒成立，f()为增函数，(7分)所以Sminf50 km2.(8分)答：视角的最小值是，较小区域面积的最小值是50 km2.(9分)图2(2) 如图2，过O分别作OHAB，OH1CD
12、，垂足分别是H，H1，记OHd1，OH1d2，由(1)可知d10，5，所以ddOP225，且d25d.(10分)因为AB2，CD2，所以ABCD2()2()，(11分)记L(d1)ABCD2()，可得L2(d1)41752，(12分)由d0，25，可得d0，或d25时，L2(d1)的最小值是100(74)，从而ABCD的最小值是2010 km.(13分)答：两条公路长度和的最小值是2010 km.(14分)18. 解：(1) 由题意可知，a3，得c，(2分)因为a2b2c2，所以b2，故椭圆的标准方程是1.(4分)(2) 设直线AE的方程：yk(x3)，点E(x1，y1)，由可得(4k21)x
13、224k2x36k290.(5分)因为3x1，得x1，代入直线yk(x3)，得y1，所以E.(7分)同理可得F.(8分)根据条件可知圆心O到直线AE的距离等于圆心O到直线EF的距离可得|r，解之得k2，(9分)从而r21，所以圆O的方程为x2y21.(10分)(3) 设直线BM的方程为ykx，因为直线BM与圆O相切，所以dr，解得k.(11分)当k，lBM：yx，由可得x2x0，所以M(，1)(13分)同理可得N(，1)，(14分)可得直线MN方程是y1，(15分)直线MN与圆O的位置关系是相切(16分)19. 解：(1) (解法1)因为Sn(1)an，所以Sn1(1)an1.得an1(1)a
14、n，(2分)当0时，an0，数列an是等差数列(4分)当0时，a1(1)a1，a11，且an1anan，要使数列an是等差数列，则式右边an为常数，即an1an为常数，式左边an1an0，an0，又a11，矛盾！(6分)综上可得：0时，数列an为等差数列，且an0.(7分)(解法2)若数列an是等差数列，必有2a2a1a3，当0时，a1a2a30，满足2a2a1a3，(1分)此时Snan，从而Sn1an1，(3分)故an0.(4分)当0时，a11，a21，a3，(5分)由2a2a1a3，得21，该方程无解(6分)综上可得：0时，数列an为等差数列，其中an0.(7分)(2) 由(1)可得：当0
15、时，不是等比数列，(8分)当1时，由得Sn1，则a1S11，anSnSn10(n2)，不是等比数列(9分)当0，且1时，得1，an为公比是q1的等比数列(10分)又对任意n，anN，则q1N，故仅有1，q2时，满足题意又由(1)得a11，故an2n1.(11分)因为i2 016，所以2k1(2jk11)2 01625327，(13分)jk12，2jk11为大于1的奇数，2k125，k6，(15分)则2j51327，2j564，j11，故仅存在k6时，j11，i2 016.(16分)20. 解：(1) f(x)(ax2x)exx(ax1)ex.若a0，则f(x)xex，令f(x)0，则x0；令f
16、(x)0，则x0；若a0，由f(x)0，得x0；由f(x)0，得x或0x；若a0，由f(x)0，得0x；由f(x)0，得x或x0.综上可得：当a0时，函数f(x)的增区间是(，0)，减区间是(0，)；(3分)当a0时，函数f(x)的增区间是，减区间是(0，)，；(5分)当a0时，函数f(x)的增区间是(，0)，减区间是.(7分)(2) 因为2a3，m1，由(1)x(0，)上函数f(x)的最小值是f.因为f(x)b2a1e恒成立，所以fb2a1e恒成立，(8分)所以e(2a1)b2a1e恒成立，即2a1b2a1恒成立(9分)由2a3，m1，令2a1t2，m，则tbt，所以lnbg(t)(10分)由g(t)，可知函数g(t)在(0，e)上递增；(e，)上递减，且g(2)g(4)(11分)当2m4时，g(t)ming(2)，从而lnb，解得0b；(13分)当m4时，g(t)ming(m)，从而lnb，解得0bm.(15分)故：当2m4时，0b；当m4时，0bm.(16分)9