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1、恩格斯： 傅立叶是一首数学的诗， 黑格尔是一首辩证法的诗,麦克斯韦：一首伟大的数学的诗,傅里叶热的解析理论,所有的声音，无论是噪音还是仪器发出的，复杂的还是简单的，都可以用数学方式进行全面的描述。 傅立叶的证明具有深刻的哲学意义：美妙的音乐以令人意想不到的美妙方式得到了数学描述，从而，艺术中最抽象的领域能转换为最抽象的科学；而最富有理性的学问，也有合乎理性的音乐与其密切相联。,音乐是感觉中的数学，而数学是推理中的音乐，两者的灵魂是完全一致的！ 音乐家可感觉到数学，而数学家也可以想象到音乐，虽说音乐是梦幻，而数学是现实，但当人类智慧到完美的境界时，音乐和数学就互相渗透而融为一体了。所以，数学是推
2、理中的音乐，而音乐则是感觉中的数学。,傅里叶级数与变换的意义,平稳随机过程的功率谱密度 白噪声随机过程,主讲人：张有光 电 话：82314978 办公室：新主楼F806,第五讲：,主要内容,一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度与自相关函数 三、平稳过程的互谱密度 四、白噪声过程,一、平稳过程的功率谱密度,能量型信号 信号的频谱 信号的能谱 功率型信号 平均功率的谱表示和功率谱密度 平稳过程的功率谱密度,1、能量型信号,能量型信号,其中，s(t)为信号，W为总能量。,2、信号的频谱,在 的情况下，能量型信号s(t)的傅里叶变换存在，即,称F()为信号s(t)的频谱。,？,3、信号的能谱密度,能量
3、型信号的能谱E()为,由巴塞伐尔等式，可得到,能量守恒！,4、功率型信号,能量无限，平均功率有限的信号称为功率型信号, 即,Ps为信号的平均功率。,5、平均功率的谱表示,功率型信号不满足绝对可积条件 为了能够利用傅里叶变换给出平均功率的谱表示式，构造截尾函数：,平均功率的谱表示,sT(t)能够满足绝对可积条件， sT(t)的频域结构,sT(t)的平均功率：,平均功率的谱表示,由巴塞伐尔等式，可得到,两边同除以2T，并由截尾函数的定义，得到,平均功率的谱表示,令T趋于无穷，功率型信号s(t)在 (-, )上的平均功率可表示为,功率型信号的平均功率谱密度,功率谱密度,功率型信号的平均功率谱密度，简
4、称功率谱密度，定义为：,6、平稳过程的功率谱密度,平稳随机过程的样本函数是功率型的,6、平稳过程的功率谱密度,由于平稳随机过程的均方值是常数,平稳过程的功率谱密度,定义,为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。 这样，Px又可以写成,平均功率谱的表达式,平稳过程的功率谱密度,为双边功率谱密度，但在实际应用中，负频率不存在，故引入 单边谱密度,二、谱密度与自相关函数,1、功率谱密度与自相关函数 2、功率谱密度的两种定义 3、功率谱密度的性质,1、谱密度与自相关函数的关系,平稳随机过程的功率谱密度是它的 自相关函数的傅立叶变换：,谱密度与自相关函数的关系,由傅里叶逆变换公式，有 上述两式统称为 维纳-
5、辛钦公式,注释：对比“信号与系统”中维纳辛钦公式,2、功率谱密度两种定义的等价条件,对于第一种定义，将其展开,功率谱密度两种定义的等价条件,通过变量置换，最后得到：,只要 则上式中第二项为零，故此时,平稳随机过程在自相关函数绝对可积的情况下，维纳-辛钦公式成立。此时功率谱密度的两种定义等价。,功率谱密度两种定义的等价条件,功率谱的意义,3、功率谱密度的性质,若过程X(t)是实平稳的，则自相关函数是实偶函数，因此功率谱密度也是实偶函数，即,证明：,功率谱密度的性质,由于R()和S()都是偶数，于是 维纳-辛钦公式还可以写成：,例 2.4-1,设随机相位余波 的功率谱密度，其 是在区间 内均匀分布
6、. 解：,例 2.4-2,随机电报信号自相关函数 求功率谱密度,例 2.4-3,已知功率谱,留数和,应用留数定理,例 2.4-4,若平稳随机过程功率谱,三、互谱密度,1、互谱密度的定义 2、互谱密度的维纳-辛钦公式 3、互谱密度的性质,1、互谱密度的定义,定义： 设随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳的，则定义互谱密度为,2、互谱密度的维纳-辛钦公式,随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度是它们的互相关函数RXY()的傅里叶变换：,2、互谱密度的维纳-辛钦公式,当 若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经该器件的电流，则上式左边就是消耗的功率。,两个正交随机过程性质,随机过程X(t)和Y(t)正
7、交,此时有：,随机过程X(t)和Y(t)正交,3、互谱密度的性质,先证明：,令：,互谱密度函数： 不是实的、正的偶函数,从定义 和施瓦茨不等式,3),四、白噪声过程,1、白噪声过程的定义 2、白噪声过程的自相关函数 3、白噪声的相关系数,1、白噪声过程的定义,若一个均值为零的平稳过程 具有恒定功率谱密度,则称W(t)为白噪声过程,其中N0表示单边功率谱密度,相当于信号与系统中的脉冲函数,2、白噪声过程的自相关函数,根据维纳-辛钦公式，白噪声过程的自相关函数：,2、白噪声过程的自相关函数,白噪声的自相关函数和功率谱密度,3、白噪声过程的相关系数,注释：白噪声平均功率,白噪声是一种理想化的数学模型，在物理上不可实现，因为按照白噪声的定义它的平均功率是无限大。,由于白噪声数学表述上的简洁性，是很多物理现象的一种近似。如电子管中的散弹噪声，通信传播中的信道干扰。显然白噪声是各态历经过程，它可以看成是大数定律中随机序列推广到连续时间的情形。,4、非白噪声,非白噪声成为有色噪声，或相关噪声，其功率谱密度：,其功率谱密度不再是均匀的，而是频率的函数。,5、矢量白噪声,定义：若一个n维独立矢量随机过程 均值矢量为,本节课小结,1、平稳过程的功率谱密度 2、谱密度与自相关函数：维纳辛钦定理，计算功率谱的方法； 3、平稳过程的互谱密度 4、白噪声过程,习题,P87：2731,