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1、第二章 圆锥曲线与方程自我校对1(ab0)(0,1)0，b0)(1，)1圆锥曲线的定义与性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用(1)F1，F2是椭圆1(ab0)的两焦点，P是椭圆上任一
2、点，从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线 D抛物线(2)椭圆1(a为定值，且a)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_【规范解答】 (1)延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，如图所示，则APF1是等腰三角形，|PF1|AP|，从而|AF2|AP|PF2|PF1|PF2|2a.由题意知O是F1F2的中点，Q是AF1的中点，连接OQ，则|OQ|AF2|a.Q点的轨迹是以原点O为圆心，半径为a的圆故选A.(2)设椭圆的另一个焦点为F，则FAB的周长|FA|AB|FB|FA|FA|FB|FB|4
3、a，所以4a12，a3，e.【答案】(1)A(2)1圆锥曲线的定义是推导标准方程和几何性质的基础，也是解题的重要工具，灵活运用定义，可避免很多复杂的计算，提高解题效率，因此在解决圆锥曲线的有关问题时，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略2应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合、方程等思想结合运用再练一题1(1)已知双曲线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为() 【导学号：25650089】A8B9C16 D20 (2)如图21所示，动圆P与定圆C：(x1)2y21外切且与y轴相切，则
4、圆心P的轨迹为_图21【解析】(1)由双曲线的定义可知，|AF2|AF1|2，|BF2|BF1|2，所以(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)4，|AF2|BF2|AB|4，|AF2|BF2|44.又|AF2|BF2|AB|20，即44420，所以m9.故选B.(2)设P(x，y)，动圆P的半径为r.两圆外切，PCr1.又圆P与y轴相切，r|x|(x0)，即|x|1，整理得y22(|x|x)当x0时，得y24x；当x0时，得y0.点P的轨迹方程是y24x(x0)或y0(x0)，表示一条抛物线(除去顶点)或x轴的负半轴【答案】(1)B(2)一条抛物线(除去顶点)或x轴的负半轴直线与圆锥曲线
5、的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切和相离把直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消去一个变量后，转化为一元二次方程ax2bxc0.当a0时，若0，直线与圆锥曲线相交，有两个不同的公共点；若0，直线与圆锥曲线相切，有一个公共点；若b0)的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(a,0)若|AB|，求直线l的倾斜角；若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且4，求y0的值【精彩点拨】(1)建立关于a，b的方程组求出a，b；(2)构造新方程，综合运用两点间的距离公式、平面向量等知识求解【
6、规范解答】(1)由e，得3a24c2.由c2a2b2，得a2b.由题意，知2a2b4，即ab2.解方程组得a2，b1.所以椭圆的方程为y21.(2)由(1)知，点A的坐标是(2,0)，设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)于是A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1，从而y1.所以|AB|.由|AB|，得.整理，得32k49k2230，即(k21)(32k223)0，解得k1.所以直线l的倾斜角为或.设线段AB的中点为M，则点M的坐标为.以下分两种情况：a当k0时，点B的坐标是(2,0)，线段A
7、B的垂直平分线为y轴，于是(2，y0)，(2，y0)由4，得y02.b当k0时，线段AB的垂直平分线方程为y.令x0，解得y0.(2，y0)，(x1，y1y0)，2x1y0(y1y0)4，整理，得7k22，故k.所以y0.综上，y02或y0.直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，解题时要注意掌握一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式来进行判断，还要注意二次项系数是否为0；涉及弦长问题时，利用弦长公式及根与系数的关系求解，而对于焦点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法”使运算过程得以简化再练一题2已知椭圆G：1(a
8、b0)的离心率为，右焦点为(2，0)斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积. 【导学号：25650090】【解】(1)由已知得，c2，.解得a2.又b2a2c24，所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，由得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m，因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜率k1，解得m2，此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|AB|3.
9、此时，点P(3,2)到直线AB：xy20的距离d，所以PAB的面积S|AB|d.圆锥曲线中的定点、定值、最值问题圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化、代换等途
10、径来解决如图22所示，椭圆C：1(ab0)，A1、A2为椭圆C的左、右顶点图22(1)设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值；(2)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C的标准方程；(3)若直线l：ykxm与(2)中所述椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，且满足AA2BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. 【导学号：25650091】【精彩点拨】(1)利用函数法，设P(x，y)，将|PF1|表示为x的函数(3)利用AA2BA2得k，m的等量关系，从而将直线l化为只含参数k(或m)的形式【规
11、范解答】(1)证明：设点P的坐标为(x，y)，令f(x)|PF1|2(xc)2y2.又点P在椭圆C上，故满足1，则y2b2x2.代入f(x)得，f(x)(xc)2b2x2x22cxa2，则其对称轴方程为x，由题意，知a恒成立，f(x)在区间a，a上单调递增当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值(2)由已知与(1)得：ac3，ac1，a2，c1.b2a2c23.椭圆C的标准方程为1.(3)证明：如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(34k2)x28mkx4(m23)0，则64m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m20，x1x2，x1x
12、2.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20.y1y2x1x22(x1x2)40.40.7m216km4k20，解得m12k，m2，且均满足34k2m20.当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾当m2时，l的方程为yk，直线过定点，直线l过定点，定点坐标为.解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围再
13、练一题3求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离【解】法一设P(t，t2)为抛物线上的点，它到直线4x3y80的距离d2.当t时，d有最小值，最小值为.法二如图所示，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，则有方程组消去y得3x24xm0，1612m0，m.最小距离为.1已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2B3C4 D9【解析】由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m0，故m3.【答案】B2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0,1)
14、【解析】抛物线y22px(p0)的准线为x且过点(1,1)，故1，解得p2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)【答案】B3已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21【解析】由双曲线的渐近线yx与圆(x2)2y23相切可知解得故所求双曲线的方程为x21.【答案】D4已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3B6 C9D12【解析】抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆中c2，又，a4，b2a2c212，从而
15、椭圆方程为1.抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由图象可知|AB|2|yA|6.故选B.【答案】B5已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_【解析】由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F1(3,0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F666212.【答案】1212