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1、第 1717 讲 等腰三角形 【知识梳理】 1.概念及分类 有两条边相等的三角形叫等腰三角形；有三条边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三 角形；等腰三角形分为：腰和底不相等的等腰三角形及腰和底相等的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）； （2“）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为 三线合一”； （3）等腰三角形是轴对称图形。 3.等腰三角形的判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 4.等边三角形角的性质：三个内角相等，等于 60， 5.等边三角形的判定：
2、 三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 有两个角是 60的三角形是等边三角形。 【考点解析】 考点一：等腰三角形的性质与判定 【例 1 1】已知实数 x，y 满足 ，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周 长是（ ） A20或 16B20 C16D以上答案均不对 【分析】根据非负数的意义列出关于 x、y 的方程并求出 x、y 的值，再根据 x 是腰长和底边长 两种情况讨论求解 【解答】解：根据题意得 ， 解得 ， 1 （1）若 4 是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8， 不能组成三角形； （2）若 4 是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能
3、组成三角形，周长为 4+8+8=20 故选 B 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非 负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判 断根据题意列出方程是正确解答本题的关键 考点二、等边三角形的性质与判定 【例 2】如图，点 P 在等边ABC 的内部，且 PC=6，PA=8，PB=10，将线段 PC 绕点 C 顺时针旋 转 60得到 PC，连接 AP，则 sinPAP的值为 【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形 【分析】连接 PP，如图，先利用旋转的性质得 CP=CP=6，PCP=6
4、0，则可判定CPP 为等边三角形得到 PP=PC=6，再证明PCBPCA 得到 PB=PA=10，接着利用勾股定理的 逆定理证明APP为直角三角形，APP=90，然后根据正弦的定义求解 【解答】解：连接 PP，如图， 线段 PC绕点 C 顺时针旋转 60得到 PC， CP=CP=6，PCP=60， CPP为等边三角形， PP=PC=6， ABC 为等边三角形， CB=CA，ACB=60， PCB=PCA， 在PCB 和PCA 中 2 ， PCBPCA， PB=PA=10， 62+82=102， PP2+AP2=PA2， APP为直角三角形，APP=90， sinPAP= = = 故答案为 【中
5、考热点】 （2017宁德）如图，在ABC中，AB=AC，点 D，E 分别在边 BC 和 AC 上，若 AD=AE，则下列结 论错误的是（ ） AADB=ACB+CAD BADE=AED CCDE= BADDAED=2ECD 【考点】KH：等腰三角形的性质 【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项 A、B、C 正确，选项 D 错误，即可 得出答案 【解答】解：ADB 是ACD的外角， ADB=ACB+CAD，选项 A 正确； AD=AE， ADE=AED，选项 B 正确； 3 AB=AC， B=C， ADC=ADE+CDE=B+BAD，AED=CDE+C， CDE+C+CDE=B+B
6、AD， CDE= BAD，选项 C 正确； AED=ECD+CDE，ECDCDE， 选项 D 错误； 故选：D 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三 角形的外角性质是解决问题的关键 【达标检测】 一选择题： 1. 如图，正ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 lAB，且ABC 与ABC关于直线 l 对称， D 为线段 BC上一动点，则 AD+CD的最小值是（ ） A4 B3 2 C2 3 D2+ 3 【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质 【分析】连接 CC，连接 AC 交 y 轴于点 D，连接 AD，此时 AD+CD的值最小，根据等边三
7、角 形的性质即可得出四边形 CBAC为菱形，根据菱形的性质即可求出 AC 的长度，从而得出 结论 【解 交 l 于点 D，连接 AD，此时 AD+CD 的值最小，如图所示 4 ABC 与ABC为正三角形，且ABC 与ABC关于直线 l 对称， 四边形 CBAC为边长为 2 的菱形，且BAC=60， AC=2 AB=2 3 3 2 故选 C 2. （2017山东滨州）如图，在ABC 中，AB=AC，D 为 BC上一点，且 DA=DC，BD=BA，则B 的 大小为（ ） A40 B36 C30 D25 【考点】KH：等腰三角形的性质 【分析】根据 AB=AC可得B=C，CD=DA可得ADB=2C=
8、2B，BA=BD，可得BDA=BAD=2 B，在ABD中利用三角形内角和定理可求出B 【解答】解：AB=AC， B=C， CD=DA， C=DAC， BA=BD， BDA=BAD=2C=2B， 又B+BAD+BDA=180， 5B=180， B=36， 故选 B 3. （2017广西河池）已知等边ABC的边长为 12，D 是 AB上的动点，过 D 作 DEAC 于点 E， 过 E 作 EFBC于点 F，过 F 作 FGAB 于点 G当 G 与 D 重合时，AD 的长是（ ） 5 A3 B4 C8 D9 【考点】KK：等边三角形的性质；KO：含 30度角的直角三角形 【分析】设 AD=x，根据等
9、边三角形的性质得到A=B=C=60，由垂直的定义得到ADF= DEB=EFC=90，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：设 AD=x， ABC 是等边三角形， A=B=C=60， DEAC 于点 E，EFBC 于点 F，FGAB， ADF=DEB=EFC=90， AF=2x， CF=122x， CE=2CF=244x， BE=12CE=4x12， BD=2BE=8x24， AD+BD=AB， x+8x24=12， x=4， AD=4 故选 B 4.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是 等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原
10、三角形的“和谐分割 线”如图，线段 CD 是ABC 的“和谐分割线”，ACD 为等腰三角形，CBD 和ABC相似， A=46，则ACB 的度数为 113 或 92 6 【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质 【分析】由ACD 是等腰三角形，ADCBCD，推出ADCA，即 ACCD，分两种情形讨 论当 AC=AD时，当 DA=DC时，分别求解即可 【解答】解：BCDBAC， BCD=A=46， ACD 是等腰三角形，ADCBCD， ADCA，即 ACCD， 当 AC=AD时，ACD=ADC= =67， ACB=67+46=113， 当 DA=DC时，ACD=A=46， ACB=4
11、6+46=92， 故答案为 113或 92 二填空题： 5. （2017江西）如图 1 是一把园林剪刀，把它抽象为图 2，其中 OA=OB若剪刀张开的角为 30，则A= 75 度 【考点】KH：等腰三角形的性质 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论 【解答】解：OA=OB，AOB=30， A= =75， 7 故答案为：75 6. 有一面积为 5 的等腰三角形，它的一个内角是 30，则以它的腰长为边的正方形的面积 为 20 和 20 【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质 【分析】分两种情形讨论当 30 度角是等腰三角形的顶角，当 30度角是底角，分别作腰上 的高即可 【解答
12、】解：如图 1 中，当A=30，AB=AC 时，设 AB=AC=a， 作 BDAC 于 D，A=30， BD= AB= a， a a=5 ， a2=20 ， ABC 的腰长为边的正方形的面积为 20 如图 2 中，当ABC=30，AB=AC 时，作 BDCA 交 CA 的延长线于 D，设 AB=AC=a， AB=AC， ABC=C=30， BAC=120，BAD=60， 在 RTABD 中，D=90，BAD=60， BD= a， a a=5 ， a2=20， ABC 的腰长为边的正方形的面积为 20 故答案为 20 或 20 8 7. 如图，等边三角形的顶点 A（1，1）、B（3，1），规定把
13、等边ABC“先沿 x 轴翻折，再向左 平移1 个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016 次变换后，等边ABC 的顶点C 的坐标为 【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移 【分析】据轴对称判断出点 A 变换后在 x 轴上方，然后求出点 A 纵坐标，再根据平移的距离求 出点 A 变换后的横坐标，最后写出即可 【解答】解：解：ABC 是等边三角形 AB=31=2， 点 C 到 x 轴的距离为 1+2 = +1， 横坐标为 2， A（2， +1）， 第 2016次变换后的三角形在 x 轴上方， 点 A 的纵坐标为 +1， 横坐标为 2-20161=-2014， 所以，
14、点 A 的对应点 A的坐标是(-2014， +1) 故答案为：(-2014， +1) 9 8. 如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB=8，AD=7，E 为 AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰 三角形纸片（AEP），使点 P 落在长方形 ABCD 的某一条边上，则等腰三角形 AEP的底边长 是 【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理 【分析】分情况讨论：当 AP=AE=5时，则AEP 是等腰直角三角形，得出底边 PE= AE=5 即可； 当 PE=AE=5时，求出 BE，由勾股定理求出 PB，再由勾股定理求出等边 AP即可； 当 PA=PE时，底边 AE=5；即可得出结论 【
15、解答】解：如图所示： 当 AP=AE=5时， BAD=90， AEP 是等腰直角三角形， 底边 PE= AE=5 ； 当 PE=AE=5时， BE=ABAE=85=3，B=90， PB= =4， 底边 AP= = =4 ； 当 PA=PE时，底边 AE=5； 综上所述：等腰三角形 AEP的对边长为 5 或 4 或 5； 故答案为：5 或 4 或 5 10 三解答题： 9.爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中 “线互相垂直的三角形称为 中垂三角形”如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是ABC的 中线，ANBN 于点 P，像ABC“这样的三角形均
16、为 中垂三角形”设 BC=a，AC=b，AB=c 【特例探究】 （1）如图 1，当 tanPAB=1，c=4 时，a= 4 ，b= 4 ； 如图 2，当PAB=30，c=2 时，a= ，b= ； 【归纳证明】 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想 a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利 用图 3 证明你的结论 【拓展证明】 （3）如图 4，ABCD中，E、F 分别是 AD、BC的三等分点，且 AD=3AE，BC=3BF，连接 AF、BE、 CE，且 BECE 于 E，AF 与 BE相交点 G，AD=3 ，AB=3，求 AF的长 【考点】四边形综合题 【分析】（1）首先证明APB
17、，PEF 都是等腰直角三角形，求出 PA、PB、PE、PF，再利用 勾股定理即可解决问题 连接 EF，在 RTPAB，RTPEF 中，利用 30性质求出 PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即 可解决问题 （2）结论 a2+b2=5c2设 MP=x，NP=y，则 AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出 a2、b2、c2即 可解决问题 （3）取 AB 中点 H，连接 FH并且延长交 DA 的延长线于 P 点，首先证明ABF 是中垂三角形， 利用（2）中结论列出方程即可解决问题 【解答】（1）解：如图 1 中，CE=AE，CF=BF， EFAB，EF= AB=2 ， tanPAB=1， 1
18、1 PAB=PBA=PEF=PFE=45， PF=PE=2，PB=PA=4， AE=BF= =2 b=AC=2AE=4 ，a=BC=4 故答案为 4 ，4 如图 2 中，连接 EF， ，CE=AE，CF=BF， EFAB，EF= AB=1， PAB=30， PB=1，PA= ， 在 RTEFP 中，EFP=PAB=30， PE= ，PF= ， AE= = ，BF= = ， a=BC=2BF= ，b=AC=2AE= ， 故答案分别为 ， （2）结论 a2+b2=5c2 证明：如图 3 中，连接 EF AF、BE 是中线， EFAB，EF= AB， FPEAPB， = = ， 设 FP=x，EP=
19、y，则 AP=2x，BP=2y， a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2， b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2， c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2， a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2 （3）解：如图 4 中，在AGE 和FGB 中， 12 ， AGEFGB， BG=FG，取 AB 中点 H，连接 FH并且延长交 DA 的延长线于 P 点， 同理可证APHBFH， AP=BF，PE=CF=2BF， 即 PECF，PE=CF， 四边形 CEPF是平行四边形， FPCE， BECE， FPBE，即 FHBG， ABF 是中垂三角形， 由（2）可知 AB2+AF2=5BF2， AB=3，BF= AD= ， 9+AF2=5（ ）2， AF=4 13 14