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1、第 1919 讲 图形的相似 【知识梳理】 1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2.相似三角形的判定方法: 根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等） 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形 相似； 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似； 3.直角三角形相似判定定理: 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 直角三角形被斜边
2、上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直 角三角形也相似。 4.相似三角形的性质: 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半 径等）的比等于相似比。 相似三角形周长的比等于相似比。 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5.相似多边形的性质和判定: （1）相似多边形的性质： 相似多边形的对应线段的比等于相似比。 相似多边形的周长比等于相似比。 相似多边形的面积比等于相似比的平方。 （2）相似多边形的判定： 所有的边对应成比例，所有的角对应相等的两个多边形相似。 6.位似图形： 位似图形，首先必须是相似图形，其次对应点的连线（或延长线）
3、必交于一点。 【考点解析】 1 考点一：比例线段和图形的相似 【例 1 1】（2017张家界）如图，D，E 分别是ABC的边 AB，AC上的中点，如果ADE的周长是 6，则ABC的周长是（ ） A6 B12 C18 D24 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理 【分析】根据线段中点的性质求出 AD= AB、AE= AC 的长，根据三角形中位线定理求出 DE= AB，根据三角形周长公式计算即可 【解答】解：D、E 分别是 AB、AC的中点， AD= AB，AE= AC，DE= BC， ABC 的周长=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2（AD+AE+DE）=26=
4、12 故选 B 考点二、相似三角形的判定和性质 【例 2】如图，把ABC 沿着 BC 的方向平移到DEF 的位置，它们重叠部分的面积是ABC面 积的一半，若 BC= ，则ABC移动的距离是（ ） A B C D 【分析】移动的距离可以视为 BE或 CF 的长度，根据题意可知ABC 与阴影部分为相似三角形， 且面积比为 2：1，所以 EC：BC=1： ，推出 EC 的长，利用线段的差求 BE的长 【解答】解：ABC 沿 BC 边平移到DEF 的位置， ABDE， ABCHEC， 2 =（ ）2= ， EC：BC=1： ， BC= ， EC= ， BE=BCEC= 故选：D 【点评】本题主要考查相
5、似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证ABC 与阴影部分 为相似三角形 考点三、利用相似解决实际问题 【例 3 3】 考点四、位似图形 【例 4 4】（2017 山东滨州）在平面直角坐标系中，点 C、D 的坐标分别为 C（2，3）、D（1，0）， 现以原点为位似中心，将线段 CD 放大得到线段 AB若点 D 的对应点 B 在 x 轴上且 OB=2，则点 C 的对应点 A 的坐标为 （ 4 ， 6 ）或（ 4 ， 6 ） 【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质 【分析】根据位似变换的定义，画出图形即可解决问题，注意有两解 【解答】解：如图， 由题意，位似中心是 O，位似比为 2， O
6、C=AC， 3 C（2，3）， A（4，6）或（4，6）， 故答案为（4，6）或（4，6） 考点五、结合相似解决新定义问题 【例 5 5】 【中考热点】 如图，在等腰三角形 ABC 中，BAC=120，AB=AC=2，点 D 是 BC 边上的一个动点（不与 B、C 重合），在 AC 上取一点 E，使ADE=30 （1）求证：ABDDCE； （2）设 BD=x，AE=y，求 y 关于 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围； （3）当ADE是等腰三角形时，求 AE的长 【分析】（1）根据两角相等证明：ABDDCE； （2）如图 1，作高 AF，根据直角三角形 30的性质求 AF 的长，根据
7、勾股定理求 BF的长，则 可得 BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值； （3）分三种情况进行讨论： 当 AD=DE时，如图 2， 由（1）可知：此时ABDDCE，则 AB=CD，即 2=2 x； 当 AE=ED时，如图 3，则 ED= EC，即 y= （2y）； 当 AD=AE时，AED=EDA=30，EAD=120， 此时点 D 与点 B 重合，不符合题意，此情况不存在 【解答】证明：（1）ABC是等腰三角形，且BAC=120， ABD=ACB=30， ABD=ADE=30， 4 ADC=ADE+EDC=ABD+DAB， EDC=DAB， ABDDCE； （2）如图
8、 1，AB=AC=2，BAC=120， 过 A 作 AFBC于 F， AFB=90， AB=2，ABF=30， AF= AB=1， BF= ， BC=2BF=2 ， 则 DC=2 x，EC=2y， ABDDCE， ， ， 化简得：y= x+2（0x2 ）； （3）当 AD=DE 时，如图 2， 由（1）可知：此时ABDDCE， 则 AB=CD，即 2=2 x， x=2 2，代入 y= x+2， 解得：y=42 ，即 AE=42 ， 当 AE=ED时，如图 3， EAD=EDA=30，AED=120， DEC=60，EDC=90， 则 ED= EC，即 y= （2y）， 解得：y= ，即 AE=
9、 ， 当 AD=AE时， AED=EDA=30，EAD=120， 5 此时点 D 与点 B 重合，不符合题意，此情况不存在， 当ADE 是等腰三角形时，AE=42 或 【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角 三角形 30角的性质，本题的几个问题全部围绕ABDDCE，解决问题；难度适中 【达标检测】 一选择题： 1. 2. （20172017 湖南株洲）如图示，若ABC内一点 P 满足PAC=PBA=PCB，则点 P 为ABC 的 布洛卡点三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔 （ALCrelle 17801855
10、）于 1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 18451922）重新发现，并用他 的名字命名问题：已知在等腰直角三角形 DEF 中，EDF=90，若点 Q 为DEF的布洛卡点， DQ=1，则 EQ+FQ=（ ） 6 A5 B4 C D 【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形 【分析】由DQFFQE，推出 = = = ，由此求出 EQ、FQ 即可解决问题 【解答】解：如图，在等腰直角三角形DEF 中，EDF=90，DE=DF，1=2=3， 1+QEF=3+DFQ=45， QEF=
11、DFQ，2=3， DQFFQE， = = = ， DQ=1， FQ= ，EQ=2， EQ+FQ=2+ ， 故选 D 3. 如图，在 RtABC 中， ABC 90o ， AB 6， BC 8， BAC ， ACB 的平分线相 交于点 E ，过点 E 作 EF / /BC 交 AC 于点 F ，则 EF 的长为（ ） A 5 2 B 8 3 C 10 3 15 4 D 7 【考点】角平分线，相似，直角三角形内切圆半径 【分析】先求出直角三角形内切圆半径=2，再利用相似求 EF 【解答】解：延长 FE交 AB 于点 D，作 EDBC，EHAC AB BC AC 6 810 则 ED=EG=EH=
12、= =2 2 2 设 EF=FC=x ADFABC DF AF BC AC 2 x 10 x 8 10 10 即 x= 3 故选 C 4.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是 等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割 线”如图，线段 CD 是ABC 的“和谐分割线”，ACD 为等腰三角形，CBD 和ABC相似， A=46，则ACB 的度数为 113 或 92 【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质 【分析】由ACD 是等腰三角形，ADCBCD，推出ADCA，即 ACCD，分两种情形讨 论当 A
13、C=AD时，当 DA=DC时，分别求解即可 【解答】解：BCDBAC， BCD=A=46， ACD 是等腰三角形，ADCBCD， ADCA，即 ACCD， 8 当 AC=AD时，ACD=ADC= =67， ACB=67+46=113， 当 DA=DC时，ACD=A=46， ACB=46+46=92， 故答案为 113或 92 二填空题： 5. 6. 7. 8. 三解答题： 9. （20172017 湖南株洲） 如图示，正方形 ABCD的顶点 A 在等腰直角三角形 DEF 的斜边 EF 上，EF 与 BC相交于点 G，连 接 CF 求证：DAEDCF； 求证：ABGCFG 【考点】S8：相似三角
14、形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；LE： 正方形的性质 【分析】由正方形 ABCD与等腰直角三角形 DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用 SAS 即可得证； 9 由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到BAG=BCF，再由对顶角相等， 利用两对角相等的三角形相似即可得证 【解答】证明：正方形 ABCD，等腰直角三角形 EDF， ADC=EDF=90，AD=CD，DE=DF， ADE+ADF=ADF+CDF， ADE=CDF， 在ADE 和CDF中， ， ADECDF； 延长 BA到 M，交 ED 于点 M， ADECDF， EAD=FCD，即EAM+
15、MAD=BCD+BCF， MAD=BCD=90， EAM=BCF， EAM=BAG， BAG=BCF， AGB=CGF， ABGCFG 10. 已知，在 RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=2，D 是 AC 边上的一个动点，将ABD 沿 BD 所在直线折叠，使点 A 落在点 P 处 10 （1）如图 1，若点 D 是 AC 中点，连接 PC 写出 BP，BD的长； 求证：四边形 BCPD是平行四边形 （2）如图 2，若 BD=AD，过点 P 作 PHBC 交 BC的延长线于点 H，求 PH 的长 【考点】LO：四边形综合题 【分析】（1）分别在 RtABC，RtBDC中，求出 AB、B
16、D即可解决问题； 想办法证明 DPBC，DP=BC即可； （2）如图 2 中，作 DNAB 于 N，PEAC 于 E，延长 BD交 PA 于 M设 BD=AD=x，则 CD=4x， 在 RtBDC中，可得 x2=（4x）2+22，推出 x= ，推出 DN= = ，由BDN BAM，可得 = ，由此求出 AM，由ADMAPE，可得 = ，由此求出 AE= ，可得 EC=ACAE=4 = 由此即可解决问题 【解答】解：（1）在 RtABC 中，BC=2，AC=4， AB= =2 ， AD=CD=2， BD= =2 ， 由翻折可知，BP=BA=2 如图 1 中， 11 BCD 是等腰直角三角形， B
17、DC=45， ADB=BDP=135， PDC=13545=90， BCD=PDC=90， DPBC，PD=AD=BC=2， 四边形 BCPD是平行四边形 （2）如图 2 中，作 DNAB 于 N，PEAC 于 E，延长 BD交 PA 于 M 设 BD=AD=x，则 CD=4x， 在 RtBDC中，BD2=CD2+BC2， x2=（4x）2+22， x= ， DB=DA，DNAB， BN=AN= ， 在 RtBDN中，DN= = ， 由BDNBAM，可得 = ， 12 = ， AM=2， AP=2AM=4， 由ADMAPE，可得 = ， = ， AE= ， EC=ACAE=4 = ， 易证四边
18、形 PECH是矩形， PH=EC= 11. （20172017绥化）如图，在矩形 ABCD中，E 为 AB边上一点，EC平分DEB，F 为 CE 的中点， 连接 AF，BF，过点 E 作 EHBC 分别交 AF，CD于 G，H 两点 （1）求证：DE=DC； （2）求证：AFBF； （3）当 AFGF=28 时，请直接写出 CE的长 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到DCE=DEC，进而得出 DE=DC； （2）连接 DF，根据等腰三角形的性质得出DFC=90，再根据直角三角形斜边上中
19、线的性质 得出 BF=CF=EF= EC，再根据 SAS判定ABFDCF，即可得出AFB=DFC=90，据此可得 AF BF； （3）根据等角的余角相等可得BAF=FEH，再根据公共角EFG=AFE，即可判定EFG 13 AFE，进而得出 EF2=AFGF=28，求得 EF=2 ，即可得到 CE=2EF=4 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是矩形， ABCD， DCE=CEB， EC 平分DEB， DEC=CEB， DCE=DEC， DE=DC； （2）如图，连接 DF， DE=DC，F 为 CE的中点， DFEC， DFC=90， 在矩形 ABCD中，AB=DC，ABC=90， BF=CF=EF= EC， ABF=CEB， DCE=CEB， ABF=DCF， 在ABF 和DCF中， ， ABFDCF（SAS）， AFB=DFC=90， AFBF； 14 （3）CE=4 理由如下：AFBF， BAF+ABF=90， EHBC，ABC=90， BEH=90， FEH+CEB=90， ABF=CEB， BAF=FEH， EFG=AFE， EFGAFE， = ，即 EF2=AFGF， AFGF=28， EF=2 ， CE=2EF=4 15