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1、第 4 4 讲 二次根式 知识梳理 1.二次根式 （1）二次根式：形如 a （a 0）的式子叫做二次根式。 （2）最简二次根式 被开方数的因数是整数，因式是整式； 被开方数不含能够开方的因数或因式； （3）将二次根式化成最简二次根式的一般步骤： 把根号下的带分数或小数化成假分数或者真分数； 被开方数是多项式的进行因式分解； 使被开方数不含分数； 将被开方数中能开得尽的因数或因式进行开方； 化去分母中的根号 约分。 （4）同类二次根式 将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。 （5）识别同类二次根式的方法： 要在理解的基础上记住最简二次根式的概念，判断时只需要
2、看被开方数； 要注意当被开方数是多项式时，要先分解因式，找一找有没有开得尽方的因式和因数。 （6）二次根式的性质： 把根号下的带分数或小数化成假分数或者真分数； a 0 ； ( a)2 a(a 0)； a(a0), |a|= a2 -a(a0)； 1 ab a b(a 0,b 0)； a a (a 0,b 0) b b 2.二次根式的运算 （1）分母有理化：把分母中的根号化去，使分母变成有理数，这个过程就叫做分母有理化。 （2）二次根式的加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式后，再合并同类二次根式。 （3）二次根式的乘法：两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。 乘法法则： a b ab(a
3、 0,b 0) （4）二次根式的除法：两个二次根式相除，括号里面被开方数相除。 a a 除法法则： (a 0,b 0) b b （5）二次根式的混合运算法则：先乘方后乘除，最后加减；若有括号，则先算括号里面的。 注意：二次根式运算的结果一定要化成最简二次根式。 【考点解析】 考点一：开方运算的应用 【例 1 1】（20172017内蒙古赤峰）能使式子 + 成立的 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx2 C1x2 Dx2 【考点】E4：函数自变量的取值范围 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，就可以求解 【解答】解：根据题意得： ， 解得：1x2 故选：C 考点二：二次根式的性质
4、【例 2 2】若|x24x+4|与 互为相反数，则 x+y 的值为（ ） A3 B4 C6 D9 【分析】根据相反数的定义得到|x24x+4|+ =0，再根据非负数的性质得 x24x+4=0， 2xy3=0，然后利用配方法求出 x，再求出 y，最后计算它们的和即可 【解答】解：根据题意得|x24x+4|+ =0， 所以|x24x+4|=0， =0， 2 即（x2）2=0，2xy3=0， 所以 x=2，y=1， 所以 x+y=3 故选 A 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n 的形式，再利 用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法也考查了非负数的
5、性质 考点三: :二次根式的运算 【例题 3】（2017 山东滨州）下列计算：（1） =2，（2） =2，（3）（2 ） 2=12，（4）（ + ）（ ）=1，其中结果正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】79：二次根式的混合运算 【分析】根据二次根式的性质对（1）、（2）、 （3）进行判断；根据平方差公式对（4）进行判断 【解答】解：（1） =2， （2） =2， （3）（2 ）2=12， （4）（ + ）（ ）=23=1 故选 D 【中考热点】 下列计算结果正确的是（ ） A2+ =2 B =2 C（ 2a2）3=6a6D（a+1）2=a2+1 【考点】二次根式的乘除法；幂的
6、乘方与积的乘方；完全平方公式 【分析】依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算 【解答】解：A、2+ 不是同类二次根式，所以不能合并，所以 A 错误； B、 =2，所以 B 正确； C、（2a2）3=8a66a6，所以 C 错误； D、（a+1）2=a2+2a+1a2+1，所以 D 错误 故选 B 【达标检测】 1. 下列运算正确的是（ ） 3 A（xy）2=x2y2 B| 2|=2 C = D（a+1）=a+1 【分析】根据完全平方公式，二次根式的化简以及去括号的法则进行解答 【解答】解：A、原式=x22xy+y2，故本选项错误； B、原式=2 ，故本选项正确；
7、 C、原式=2 ，故本选项错误； D、原式=a1，故本选项错误； 故选：B 【点评】本题综合考查了二次根式的加减法，实数的性质，完全平方公式以及去括号，属于基 础题，难度不大 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 【考点】74：最简二次根式 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就 不是 【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故 A 符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 B 不符合题意； C、被开方数含分母，故 C 不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 D 不符合题
8、意； 故选：A 3. （2016重庆市 B 卷4分）若二次根式 有意义，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 【考点】二次根式有意义的条件 【专题】计算题；实数 【分析】根据负数没有平方根列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集确定出 a 的范围即可 【解答】解：二次根式 有意义， a20，即 a2， 则 a 的范围是 a2， 故选 A 4 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开方数必须是 非负数，否则二次根式无意义 4. （2016山东潍坊3分）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ） A2a+b B2a
9、b Cb Db 【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴 【分析】直接利用数轴上 a，b 的位置，进而得出 a0，ab0，再利用绝对值以及二次根式 的性质化简得出答案 【解答】解：如图所示：a0，ab0， 则|a|+ =a（ab） =2a+b 故选：A 5. （2016内蒙古包头3分）计算：6 （ +1）2= 4 【考点】二次根式的混合运算 【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案 【解答】解：原式=6 （3+2 +1） =2 42 =4 故答案为：4 6. （2016山东潍坊3分）计算： （ + ）= 12 【考点】二次根式的混合运算 【分析】先把 化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算 【解答】解：原式= （ +3 ） = 4 =12 故答案为 12 5 7. （2017内江）计算：12017丨 1 丨+ （ ）2+0 【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函 数值 【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求出答案 【解答】解：原式=1|1 |+24+1 =10+8+1 =8 8. 6