《2018版高中数学第一章三角函数1.1.2蝗制学案新人教A版必修4201707241118.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第一章三角函数1.1.2蝗制学案新人教A版必修4201707241118.wps（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.1.21.1.2 弧 度 制 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系. 2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特 殊角的弧度数.(重点、难点) 3.“”“”角度制 与 弧度制 的区别与联系.(易错点) 基础初探 教材整理 1 角度制与弧度制的定义 阅读教材 P6P7第三行以上内容，完成下列问题. 1. 角度制与弧度制的定义 1 角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等于周角的 360 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧 弧度制 度，以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧
2、度制 2.角的弧度数的计算 如果半径为 r的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值是| l . r 判断(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧.( ) (2)1 弧度是长度为半径的弧.( ) (3)1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和.( ) (4)1 弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.( ) 【解析】 根据弧度制的定义知(4)正确. 【答案】 (1) (2) (3) (4) 教材整理 2 角度制与弧度制的换算 阅读教材 P7第四行至 P8例 3 以上内容，完成下列问题. 1.角度与弧度的互化 1 角度化弧度 弧
3、度化角度 3602 rad 2 rad360 180 rad rad 180 1 rad0.017 45 180 180 1 rad( ) rad 57.30 2.一些特殊角与弧度数的对应关系 120 135 150 180 270 360 度 0 1 30 45 60 90 弧 度 0 18 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 将下列角度与弧度进行互化. (1)20_；(2)15_； 7 11 (3) _；(4) _. 12 5 7 7 【解析】 (1)2020 ；(2)1515 ；(3) 180 9 180 12 12 12 180 11 11 180 ( ) 5 (
4、) 105；(4) 396. 5 【答案】 (1) (2) (3)105 (4)396 9 12 教材整理 3 扇形的弧长与面积公式 阅读教材 P8例 3 内容，完成下列问题. 设扇形的半径为 R，弧长为 l， 为其圆心角，则 为度数 为弧度数 R 扇形的弧长 l 180 lR R2 扇形的面积 S 360 1 1 S lR R2 2 2 圆心角为 弧度，半径为 6 的扇形的面积为_. 3 1 【解析】 扇形的面积为 62 6. 2 3 【答案】 6 2 小组合作型 角度与弧度的互化与应用 5 (1)把15730化成弧度为_， 化成度为_. 12 (2)在0,4中，与 72角终边相同的角有_.
5、(用弧度表示) 【精 彩点拨】 在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住 rad180，1 rad 180 这一关系. 315 7 5 【自主解答】 (1)15730157.5 rad rad. 2 180 8 12 5 180 12 ( )75. (2)因为终边与 72角相同的角为 72k360(kZ Z). 2 当 k0 时，72 ； 5 12 当 k1 时，432 ， 5 2 12 所以在0,4中与 72终边相同的角有 ， . 5 5 7 【答案】 (1) ，75 8 2 12 (2) ， 5 5 角度制与弧度制互化的关键与方法 1关键：抓住互化公式 rad180是关键； 180 2方法：度
6、数 弧度数；弧度数 ( ) 度数； 180 3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度. 再练一题 1.把 5615化为弧度是( ) 【导学号：00680003】 5 5 A. B. 8 4 5 5 C. D. 6 16 3 225 5 【解析】 561556.25 rad rad. 4 180 16 【答案】 D 用弧度数表示角 2 (1)与角 终边相同的角是( ) 3 11 2 A. B.2k (kZ Z) 3 3 10 2 C.2k (kZ Z) D.(2k1) (kZ Z) 3 3 (2)若 是第三象限的角，则 是( ) 2 A.第一或第二象限的角 B.第一或第三象限的角 C.第二
7、或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 【精彩点拨】 (1)可把选择题中角写成 2k(kZ Z，0,2)形式来判断； (2)可由 范围写出 范围后，根据 k 为奇数或偶数来确定 终边位置. 2 2 11 5 5 2 【自主解答】 (1)A 中， 2 ，与角 终边相同，故 A 错；B 中，2k 3 3 3 3 4 4 ，kZ Z，当 k1 时，得0,2)之间的角为 ，故与 有相同的终边，B 错；C 中，2k 3 3 10 2 2 ，kZ Z，当 k2 时，得0,2)之间的角为 ，与 有相同的终边，故 C 对；D 中，(2k 3 3 3 2 5 1) ，kZ Z，当 k0 时，得0,2)之间的角为
8、 ，故 D 错. 3 3 3 (2)因为 为第三象限的角，所以有 2k2k ，kZ Z， 2 3 k k ，kZ Z， 2 2 4 3 k k ，kZ Z， 4 2 2 故k k ，kZ Z. 4 2 2 当 k 为偶数时， 在第一象限； 2 当 k 为奇数时， 在第三象限，故选 B. 2 4 【答案】 (1)C (2)B 1.弧度制下与角 终边相同的角的表示： 在弧度制下，与角 的终边相同的角可以表示为|2k，kZ Z，即与角 终边相同的角可以表示成 加上 2 的整数倍. 2.确定角范围时，k 的值的取法： 在表示角或角的范围时，通常会用到 k，如 2k(kZ Z)，k k 4 3 ，kZ
9、Z，在确定角 或 的范围时，要根据 k 的系数来取值，如中 k 的系数为 2， 6 则取 k 的任一个值如 0，得 在第一象限. 中 k 的系数为 ，则要分 k 为奇数、偶数两 4 2 5 种情况取值.k 为奇数时，取 k1，得 ( )，在第二象限；k 为偶数时，取 k0， ， 3 6 得 ( 6)，在第四象限，则 为第二或第四象限的角. ， 3 再练一题 2.用弧度表示终边落在如图 116 所示阴影部分内(不包括边界)的角 的集合. 图 116 7 【解】 因为 30 rad,210 rad， 6 6 这两个角的 终边所在的直线相同，因为终边在直线 AB 上的角为 k ，kZ Z，而终 6
10、边在 y 轴上的角为 k ，kZ Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为Error!. 2 探究共研型 弧长公式与扇形面积公式的应用 l 探究 1 用公式| 求圆心角时，应注意什么问题？ r 【提示】 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负. 5 探究 2“” 在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以 度 为单位，需注 意什么问题？ 【提示】 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出 错. (1)设扇形的周长为 8 cm，面积为 4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) 【导学 号：70512003】 A.1 rad B.
11、2 rad C.3 rad D.4 rad (2)已知扇形的周长为20 c 当m，它的半径和圆心角各取什么值时才，能使扇形的面积 最大？最大面积是多少？ 【精彩点拨】 (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2) 可通过建立扇形面积的目标函数来求解. l 【自主解答】 (1)设扇形半径为 r，弧长为 l，由题意得Error!解得Error!则圆心角 r 2 rad. 【答案】 B (2)设扇形的半径为 r，弧长为 l，面积为 S， 1 1 则 l202r，S lr (202r)rr210r(r5)225(0r10)， 2 2 当半径 r5 cm 时，扇形的面积最大，为 25 c
12、m2， l 202 5 此时 2 rad. r 5 当它的半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为 25 cm2. 弧度制下解决扇形相关问题的步骤： 1 1 (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，S r2和 S lr.(这里 必须是弧度 2 2 制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式. (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解. 再练一题 3.已知一扇形的圆心角为 ，所在圆半径为 R，周长为 4R，则扇形中所含弓形的面积是 _. 6 1 1 【解析】 由周长为 4R 可知扇形的弧长为 2R，面积为 S lR 2RRR2，圆心角弧 2 2
13、l 2R 度数为| 2，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为 Rcos 1，底 为 2Rsin 1，所 以此 R R 1 三角形面积为 S1 Rcos 12Rsin 1R2sin 1cos 1，从而弓形面积为 S2SS1R2(1sin 2 1cos 1). 【答案】 R2(1sin 1cos 1) 1.下列转化结果错误的是( ) 10 A.2230化成弧度是 B. 化成度是600 8 3 7 C.150化成弧度是 D. 化成度是 15 6 12 10 10 180 【解析】 对于 A,223022.5 ，正 确；对 于 B， ) 3 ( 180 8 3 5 180 600，正确；对于 C，15
14、0150 ，错误；对于 D， ) 12 ( 180 6 12 15，正确. 【答案】 C 2.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( ) A.(2k，2k 2)(kZ Z) B.(k，k 2)(kZ Z) C.2k，2k 2(kZ Z) D.k，k 2)(kZ Z) 3 【解析】 B 中，k1 时为(， )，显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的 2 角，故 C，D 均错，只有 A 正确. 【答案】 A 3.与 30角终边相同的角的集合是( ) A.Error! 7 B.|2k30，kZ Z C.|2k36030，kZ Z D.Error! 【解析】 3030 rad rad， 180
15、 6 与 30终边相同的所有角可表示为 2k ，kZ Z，故选 D. 6 【答案】 D 4.在半径为 10的圆中，240的圆心角所对弧长为( ) 【导学号：00680004】 40 20 A. B. 3 3 200 400 C. D. 3 3 4 【解析】 240240 rad rad， 180 3 4 40 弧长 l|r 10 ，选 A. 3 3 【答案】 A 5.一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数. 【解】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 ， 则 2Rl4. 1 1 由扇形的面积公式 S lR，得 lR1. 2 2 l 由 得 R1，l2， 2 rad. R 扇形的圆心角为 2 rad. 8